Var(X' )= Ị£(X,-X) 2= s
1.2.2. Ước lượng vững
Định nghĩa: Thống kê 0* được gọi là ước lượng vững của 0 nếu
khi kích thước mẫu n tăng lên vô hạn thi 0* hội tụ theo xác suất về 0. Tức là với mọi 8 > 0 nhỏ tuỳ ý ta ln có:
lim P(|e* -ỡ| < e) - 1
Ví dụ: Thèo định lý Trêbưsép (trường hợp đặc biệt) thì trung bình
mẫu X là ước lượng vững của trung bình đám đơng p, cịn theo định lý
Bemoulli thì tần suất mẫu f là ước lượng vững của tỷ lệ đám đông p. Trong trường hợp 0* là ước lượng không chệch của 0, để chứng
minh rằng đồng thời nó là ước lượng vững, ta có thể sử dụng địng lý
sau: Nếu 0* là ước lượng không chệch của 0 và
lim Var(0*) = O
n->ao
1.2.3. ước lượng hiệu quả (ước lượng không chệch tốt nhất)
Giả sử 0* là ước lượng khơng chệch của 0, nhưng nếu Var(0*) lớn thì từng giá trị cụ thể của 0* vẫn có thể sai khác rất nhiều so vói E(0*) = 0. Hiển nhiên trong số những ước lượng không chệch của 0 thì ước lượng nào có phương sai càng nhỏ thì càng tốt. Vì vậy, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa: Thống kê 0* được gọi là ước lượng hiệu quả của tham
số 0 của ĐLNN gốc X, nếu nó là ước lượng khơng chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng một mẫu.
Dựa vào bất đẳng thức Rao - Cramer dưới đây ta có thể chỉ ra rằng một ước lượng khơng chệch có phải là tốt nhất hay không.
Bất đẳng thức Rao - Cramer phát biểu như sau: Cho mẫu ngẫu nhiên
w = (Xb x2,..., Xn) được xây dựng từ ĐLNN gốc X có hàm mật độ xác suất f(x,0) và 0* là một ước lượng khơng chệch bất kỳ của 0 thì:
Var(0*) > —— -----—
rá dlnf(x,6) |_ ■ ae
Như vậy bằng cách thử trực tiếp, nếu ta chỉ ra được rằng: 1 ổlnf(x,0) ■ ae 1 ỡlnf(x,0) ãẽ Varíe’) = 1 _ ainf(x,6) L ỡe J
thì 0* là ước lượng hiệu quả của 0.
Ví dụ: Biết X ~ N(|1,Ơ2). Chứng minh rằng trung bình mẫu X là
ước lượng hiệu quả của kỳ vọng toán p của ĐLNN gốc X. Thât vậy:
+ Trước hết theo phần trên ta có X là ước lượng khơng chệch của p. + Mặt khác ta có
1 -(X-H)2f(x,0) = —^=e f(x,0) = —^=e ơa/2ti lnf(x,0) - -lnơVĩĩt - (x 2ơ =í> nE ỡlnf(x,0) _ ỡlnf(x,0) _ x-p ãẽ _ ãịĩ ” ơ2 ôlnf(x,0) 2 = nE x-p L ỡe J L ơ2 J 1 ổlnf(x,0) iẽ ^E(x-p)2 = ơ
Mà ta đã biết Var( X) = ơ2/n, tức là bằng biểu thức vế phải của bất đẳng thức Rao - Cramer. Vậy X là ước lượng hiệu quả của p.
Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh được rằng: tần suất mẫu f là ước lương hiệu quả của tỷ lệ đám đông p (xem [8], trang 286).
Đương nhiên nếu 0*! và 0*2 là hai ước lượng khơng chệch của 0 mà
Var(0*j) < Var(0*2) thì 0*! sẽ là ước lượng tốt hơn.