T z X-p S'/VK
2.2.3. Trường hợp chưa biết quy luật phân phối củ aX trên đám
đơng, nhưng kích thước mẫu n> 30
Theo mục 5.2 chương VI thì khi kích thước mẫu n > 30 ĐLNN
trung bình mẫu X có phân phối xấp xỉ chuẩn với các tham số E( X) =
— n2
p Và Var( X) = —. Do đó
(7.17)
U=^L=N(O,1) ơ/Vn
Khi đó ta có thể tìm được phân vị ua/2 sao cho
P(|u|<ua/2)«l-a (7.18)
Thay biểu thức của u ở (7.17) vào (7.18) và biến đổi ta được
P(|X-(i|<-ỉ.uoZ2)«l-a A/n
Hay P(X-£<p<X+£)«l-a
Trong đó £ = ->a/2 Vn
Ta có khoảng tin cậy đối xứng của p. là: (X - 8; X + 8)
Các phần còn lại được giải quyết tương tự như trong trường hợp 2.2.1.
Riêng đối với bài toán 3 (bài tốn ước lượng kích thước mẫu), vì chưa
biết quy luật phân phối xác suất của X, kích thước mẫu cũng chưa biết (đang cần tìm) nên ta phải giả thiết X có phân phối chuẩn. Bằng cách này ta lại quay về trường hợp 2.2.1.
Chú ỷ: Nếu ơ chưa biết, vì n > 30 nên ta có thể lấy ơ « s’.
Ví dụ: Để xác định thời gian cần thiết sản xuất ra một loại sản
phẩm, người ta theo dõi thời gian làm ra sản phẩm đó của 100 cơng nhân thì thấy thời gian trung bình là 125 giây và phương sai mẫu điều
chỉnh là 2,25 (giây)2.
a/ Nếu lấy thời gian trung bình trên làm thời gian trung bình cần thiết sản xuất ra một sản phẩm, với độ tin cậy 99% thì sai số gặp phải
là bao nhiêu?
b/ Để bảo đảm khi ước lượng đạt độ tin cậy 90% và sai số không
Bài giải:
a/ Gọi X là thời gian cần thiết sản xuất ra một sản phẩm.
Gọi X là thời gian trung bình cần thiết sản xuất ra một sản phẩm trên mẫu.
Gọi p là thời gian trung bình cần thiết sản xuất ra một sản phẩm trên đám đơng.
Vì n = 100 > 30 nên X có phân phối xấp xỉ chuẩn:
X-N(p,—). Do đó = N(0,l)
n ơ/Vn
Vì vậy ta có thể tìm được phân vị ua/2 sao cho
P( IUI < ua/2) « 1 - a
Hay P(|X-p|<-^ua/2)» 1 - a vn
Từ đó ta có e=_/=ua/2 (7.19)
Vn
Vì ơ chưa biết, kích thước mẫu lớn nên ta lấy ơ » s’ = ự2,25 = 1,5. Theo giả thiết ta có 1 - a = 0,99 => a/2 = 0,005. Tra bảng ta có
u0í)05 = 2,58. Thay vào (7.19) ta được £ « bf- .2,58 = 0,387(giây). V100
Vậy nếu lấy thời gian trung bình trên làm thời gian trung bình cần thiết sản xuất ra một sản phẩm, với độ tin cậy 99% thì sai số gặp phải là 0,387 giây.
— 2
b/ Giả thiết Xcó phân phối chuẩn: x= N(|1,—). Khi đó
n
U = Ặ=£ = N(0,l)
Ta tìm được phân vị chuẩn ua/2 sao cho P( I u I < ua/2) = 1 - a
Hay P(|X-p|<-T=ua/2)= 1-a A/n
Từ đó ta có £ = -/=ua/2 => n = (— ua/2)2
■ựn £
Vì ơ chưa biết ta lấy ơ « s’ = 1,5 có trong mẫu của câu a/. Mặt khác, ta có 1-a = 0,90 => a/2 = 0,05 => ua/2 =u()()5 = 1,65. Do đó ta có
n= (ị|.l,65)2 = 153,14
0,2
Kết luận: Để bảo đảm khi ước lượng đạt độ tin cậy 90% và sai số
không vượt quá 0,2 giây ta cần theo dõi thêm ít nhất 154 - 100 = 54
cơng nhân nữa.