Var(X' )= Ị£(X,-X) 2= s
2.2.1. Trường hợp ĐLNN gố cX phân phối theo quy luật chuẩn,
ơ2 đã biết
Vì X ~ N(p,ơ2) nên theo (6.7) ta có X ~ N(p,ơ2/n). Khi đó
+ Khoang tin cậy đối xứng (lấy a, = a2 = a/2)
Với độ tin cậy 1 - a cho trước ta tìm được các phân vị chuẩn Uị.a/2
và ua/2 sao cho P(U > U].^) =1- a/2 và P(Ư > ua/2) = a/2. Vì hàm mật
độ của phân phối chuẩn hoá là hàm chẵn, nên Uị-O^ = - ua/2. Khi đó ta có
P(-ua/2 < ư < ua/2) = 1 - a Viết lại biểu thức trên dưới'dạng:
P( 1 u < ua/2) = 1 - a
Thay biểu thức của u từ (7.3) vào công thức trên đương ta có
và biến đổi tương
P(|X-p|<-^ua/2) = 1 -a Vn (7.4) <=> P(X-E<p<X+E)=l-a (7.5) Trong đó: E = -^ua/2 Vn (7.6) Từ (7.5) ta có:
Độ tin cậy của ước lượng là 1 - a. Khoảng tin cậy đối xứng của |1 là
(X-e;X+e) (7.7)
Độ dài của khọảng tin cậy là 2e.
Sai số của ước lượng là e, được tính bằng cơng thức (7.6).
Từ đó ta có sai số của ước lượng bằng một nửa độ dài của khoảng tin cậy. Vì vậy nếu biết khoảng tin cậy đối xứng (a, b) thì sai số được tính theo cơng thức:
ở đây ta có ba bài toần cần giải quyết:
Bài tốn 1: Biết kích thước mẫu n, biết độ tin cậy 1 - a, cần tìm sai
số hoặc khoảng tin cậy.
Nếu biết độ tin cậy 1 - a ta tìm được a/2, tra bảng ta tìm được ua/2
từ đó ta tính được E theo cơng thức (7.6) và cuối cùng nếu cần, ta có thể tìm được khoảng tin cậy (7.7) của p.
Chú ý r. Khoảng tin cậy (7.7) là khoảng tin cậy ngẫu nhiên, trong
khi p là một số xác đĩnh. Đối với mẫu ngẫu nhiên w = (Xị, x2,..., Xn),
vì độ tin cậy 1 - a khá gần 1 nên theo nguyên lý xác suất lớn có thể coi
biến cố (X - £ < p < X 4- fi) sẽ xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Nói một cách chính xác, với xác suất 1 - a khoảng tin cậy ngẫu nhiên (7.7) sẽ chụp đúng E(X) = p.
Trong một lần lấy mẫu ta được mẫu cụ thể w = (xb x2, ..., xn). Từ mẫu cụ thể này ta tìm được một giá trị cụ thể X của ĐLNN trung bình mẫu. Khi đó với độ tin cậy 1 - a, ta tìm được một khoảng tin cậy cụ thể của p là (x - s; X + £).
Bạn đọc hãy tự phân biệt giữa khoảng tin cậy ngẫu nhiên và khoảng
tin cậy cụ thể trong các bài toán ước lượng bằng khoảng tin cậy khác.
Bài toán 2: Biết kích thước mẫu n và sai số £ (nếu biết khoảng tin
cậy đối xứng (a,b) thì ta có thể tính được sai số E theo cơng thức (7.8)) cần tìm độ tin cậy. Từ (7.6) ta tìm được ua/2= e^n , tra bảng tìm được a/2 từ đó tìm được độ tin cậy 1 - a. a
Bài toán 3: Biết độ tin cậy 1- a, biết sai số £ cần tìm kích thước
mẫu n. Nếu biết độ tin cậy 1- a ta tìm được a, tiếp đến ta tìm được ua/2. Cuối cùng từ (7.6) ta tìm được
n =
E2 (7.9)
Chú ý 2: Từ biểu thức (7.6) cũng như (7.9) ta thấy: Nếu giữ nguyên
kích thước mẫu n và giảm sai số s thì ua/2 cũng giảm, có nghĩa là giảm độ tin cậy. Ngược lại, nếu giữ kích thước mẫu n khơng đổi và tăng độ tin cậy 1 - a thì sẽ làm tăng ua/2 dẫn đến sai số £ cũng tăng theo. Bạn đọc có
thể tự xét xem: nếu giữ nguyên một trong hai yếu tố sai số hoặc độ tin
cậy và thay đối kích thước mẫu n thì hiện tượng gì sẽ xảy ra?
Ví dụ: Giả sử đường kính của một loại chi tiết máy là một ĐLNN
phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn ơ = lcm. Lấy ngẫu nhiên một mẫu gồm 25 chi tiết và tính được đường kính trung bình của một chi tiết là lOcm.
a/ Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng đường kính trung bình của loại chi tiết máy đó.
b/ Để bảo đảm khi ước lượng đạt độ tin cậy 99% và sai số khơng
vượt q 0,2cm thì cần điều tra một mẫu gồm bao nhiêu chi tiết?
Giải:
a/ Gọi X là đường kính của chi.tiết máy.
Gọi X là đường kính trung bình của các chi tiết trên mẫu. Gọi |1 là đường kính trung bình của các chi tiết trên đám đơng. Vì theo giả thiết, X có phân phối chuẩn nên ĐLNN trung bình mẫu X cũng có phân phối chuẩn: X ~ N(p,ơ2 /n). Vì vậy
U = Ậ=i~N(0,l)
ơ/Vn
Ta tìm được ua/2 sao cho
P( I u I < ua/2) = 1 - a
Thay biểu thức của u vào công thức trên và biến đổi ta có P(|X-p|<-^ua/2)= 1 -oc
Vn
Trong đó (7.10)
Vì độ tin cậy 1 - a = 0,95 nên ua/2 = UO1O25 = 1,96. Theo giả thiết
ơ = 1; n = 25, từ (7.10) ta có
E = —Ẳ=.l,96 =0,392 V25
Theo đầu bài ra ta có X = 10, vậy với độ tin cậy 0,95 ta có khoảng
tin cậy cụ thể của p là (10 - 0,392; 10 + 0,392) hay (9,608; 10,392)
(đơn vị là cm).
b/ Theo câu a/ từ (7.10) ta có n =-----
VI độ tin cậy theo yêu cầu là 1 - a = 0,99 nên a/2 = 0,005. Tra
bảng ta có u0 005 = 2,58. Từ đó ta có n = 12.2,582
0,22 = 166,41.
Vậy để bảo đảm khi ước lượng đạt độ tin cậy 99% và sai số khơng
vượt q 0,2 thì cần điều tra một mẫu gồm ít nhất 167 chi tiết.
Chú ỷ 3: Trong trường hợp chưa biết ơ, nhưng kích thước mẫu lớn
(n > 30) mà biết độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh s' thì ta có thể lấy ơ
« s' (vì S’2 là ước lượng khơng chệch tốt nhất của ơ2).
Chú ý 4: Trong trường hợp đã biết p, cần ước lượng X thì từ cơng
thức (7.4) tạ có:
P(p Ị— .ua/2 < X < p + Ị— ,ua/2) — 1 ot
Vn Vn
Vậy khoảng tin cậy 1 - a của X tương ứng là
, ơ............. ơ . (p--^.ua/2;p + -^.ua/2)
+ Khoảng tin cậy phải (lấy 01] = 0, a2 = a; dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của p)
Ta vẫn dùng thống kê ở (7.3). Với độ tin cậy 1 - a cho trước ta tìm được phân vị chuẩn ua sao cho
P(Ư < ua) = 1 - a
Thay biểu thức của u từ (7.3) vào cơng thức trên ta có
P(ÄZ^<uo)=l-a
ơ/Vn
Hay P(X--S=ua< p) = 1 - a
Vn
Vậy khoảng tin cậy phải với độ tin cậy 1- a của p là
(X—iu.;*»)
Vn
+ Khoảng tin cậy trái (lâỷ a, = a, a2 = 0 dùng để ước lượng giá trị tối đa của p)
Ta vẫn dùng thống kê ở (7.3). Với độ tin cậy 1 - a cho trước ta tìm được ua sao cho
P(- ua < U) = 1- a
Thay biểu thức của Ư từ (7.3) vào cơng thức trên ta có
P(-u„<Ặ=^) = l-a ơ/Vn
Biến đổi tương đương ta được
P(p< X + -ịLua)= 1 -a Vn
Như vậy khoảng tin cậy trái 1 - a của p là
(-oo;X + -^ua) Vn
Ví dụ: Cân ngẫu nhiên 25 gói hàng do một máy tự động đóng ta
được kết quả:
Trọng lượng
(gam/gói) 980 990 1000 1010
SỐ gói 7 8 6 4
Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình tối đa của các gói hàng do máy đóng. Biết rằng trọng lượng của các gói hàng
do máy đóng là một ĐLNN phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là
lOgam.
Giải: Gọi X là trọng lượng của các gói hàng do máy đóng.
Gọi X là trọng lượng trung bình của các gói hàng trên mẫu.
Gọi p là trọng lượng trung bình của các gói hàng trên đám đơng. Vì X có phân phối chuẩn nên X ~ N(p,ơ2/n)
~N(O,1) ơ/Vn
Ta tìm được ua sao cho P(- ua < U) = 1 - a Thay biểu thức của u vào công thức trên ta có
P(- ua< -x ) = 1 -a ơ/Vn
Biến đổi tương đương ta được
P(|1< X + -^ua)= 1 - a
Vn
Từ mẫu cụ thể đã cho ta tính được X = 992,8.
Theo đầu bài ra ta có ua = u0 ()5 = 1,65; ơ = 10. Vậy khoảng tin cậy
1,65) hay (-00; 996,10). trái 95% của p là (-00; 992,8 + —7=.
V25
Kết luận: với độ tin cậy 95% ta có thể nói rằng trọng lượng trung
2.2.2. Trường hợp ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, phương sai ơ2 chưa biết