T z X-p S'/VK
2.4. ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối theo quy luật chuẩn
Giả sử trên một đám đơng ĐLNN X có phân phối chuẩn với phương sai ơ2 chưa biết. Để ước lượng ơ2, từ đám đông ta lấy ra mẫu ngẫu nhiên kích thước n: w = (X], X2,...» Xn). Từ mẫu này ta tìm được
s'2 = —!-? Ề (Xi - X)2 • The0 (6.9)ta có n-ltĩ' ■
2=(n-l)S'2 a..,, (7.30)
ơ
+ Khoảng tin cậy của ơ2 (lây 0,1 = a2= ƠÌ2)
Với độ tin cậy 1 - a cho trước ta tìm được các phân vị X^Ơ/2 va
ữi'sao cho
P(x2 > zỉr,'í) = 1 - a/2 và P(x2 >x«";,)) = ctữ
Từ đó ta có P( xỉ!;;';’ < X2 < XÍ,ĩ”) = 1 - a (7.31) Thay biểu thức của X2 ở (7.30) vào (7.31) rồi biến đổi tương đương
ta có PÍ(n-l)S'2 v v2(n-l) A.a/2 <ơ2 < (n-l)S>2 v2(n-l) Ăi-a/2 ) = 1-a
ở đây 1 - a là độ tin cậy của ước lượng. Khoảng tin cậy của ơ2 là
(n-l)S'2 (n-l)S'2
' „2(0-1) ’ 2(n-l) '
Ấ.a/2 Ăl-a/2
Chú ý: Khoảng tin cậy này không đối xứng qua gốc toạ độ.
Ví dụ: Giả sử sản lượng của một giống lúa là một ĐLNN phối
ta tính được phương sai mẫu điều chỉnh của sản lượng lúa là s’2 ± 5,1529(kg)2. Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng phương sai của sản lượng của giống lúa đó.
Giải: Gọi X là sản lượng của giống lúa.
Vì X có phân phối chuẩn nên
%2 Jn-l)S'2 . x2(n.n ơ
Ta tìm được các phân vị x2lâ/2 và xẩ/2 ’> sao cho
2(n-l)
l-a/2 <x2< X2(n-l) a/2 ) = 1 - a Thay biểu thức của X2 vào cơng thức trên ta có:
(n-l)S'2
ơ2
2(n-l) <x/2
< X ) = 1 - a Biến đổi tương đương ta được
pf(n-l)S'2 k v2(n-l) X-a/2 < ơ2 < (n-l)Sf2 2(n-l) Xl-a/2 ) = l-a
Tra bảng ta có X2(n-l) a/2 Xo, 052(9) = 3,325. Thay
số vào ta được: — ’ 9.5,1529 < ơ2 <, 16,92
9.5,1529 3,325
Vậy khoảng tin cậy 90% của ơ2 là (2,74; 13,95)
+ Khoảng tin cậy phải của ơ2 (lấy a, = 0, a2 = a; dùng để ước
lượng giá trị tối thiểu của ơ2)
Ta vẫn dùng thống kê ở (7.30). Với độ tin cậy 1 - a cho trước ta
tìm được phân vị Xan-,) sao cho
Thay biểu thức của X2 từ (7.30) vào công thức trên và biến đổi tương đương ta có pf(n-l)S'2 1 „2(0-1) Xa < ơ2) = 1 - a
Vậy khoảng tin cậy phải 1 - a của ơ2 là (n-l)S'2
2(n-l>
Xa
; +°o)
+ Khoảng tin cậy trái của ơ2 {lấy (%! = a, a2 = 0; dùng để ước
lượng giá trị tối đa của ơ2) 1 •
Ta vẫn dùng thống kê ở (7.30). Với độ tin cậy 1 - a cho trước ta tìm được phân vị x^r'1 sao cho
P(xỉí:‘l><x2)=1 -«
Thay biểu thức của X2 từ (7.30) vào công thức trên và biến đổi
tương đương ta có
P(ơ2 < (n-l)S'2 <y2(n-l)
A.1-a
) = l-a
Vậy khoảng tin cậy trái 1 - a của ơ2 là
(-00; (n-l)S'2
v2(n-l) )
A-1-a
Ví dụ: Biết trọng lượng của các gói hàng do một máy tự động đóng
là một ĐLNN phân phối chuẩn. Cân 30 gói hàng do máy đóng ta được
kết quả
Trọng lượng (đ/v gam) 48 49 50 51 52
Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng phương sai tối đa của trọng
lượng của các gói hàng do máy đóng.
Giải: Gọi X là trọng lượng của các gói hàng do máy đóng.
Vì X có phân phối chuẩn, nên
^2 _ (n - l)s 2 ~ ^2(n-l)
ơ2
™___ 2 _ 29.1,60 ,
Thay sơ vào ta có: ơ < - _ _ hay ơ < 2,62. 17,71
Vậy với độ tin cậy 0,95 ta có thể nói rằng phương sai tối đa của trọng lượng của các gói hàng là 2,62 (gam)2.
Chương VIII