những trường hợp là hợp số.
89; 97; 125; 541; 2013; 2018; 2022 Bài 3. Các tổng sau là số nguyên tố hay hợp số?
a) 𝐴 = 12.13.15 + 13.7 b) 𝐵 = 5.6.7 + 10.11.13
Phân tích:
Đây là dạng bài tập bắt buộc đối với tất cả học sinh, nhằm giúp học sinh ghi nhớ và khắc sâu định nghĩa số nguyên tố và hợp số, tuy nhiên ở mỗi bài sẽ có một sự phức tạp nhất định để phù hợp với từng đối tượng học sinh. Ba bài trên được phân hóa như sau: Bài 1 và bài 2 là bắt buộc với toàn bộ học sinh, bài 3 dành cho đối tượng học sinh khá - tốt.
Với bài 1, học sinh cần áp dụng trực tiếp định nghĩa số nguyên tố để liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 50 bằng cách tìm ước của từng số tự nhiên nhỏ hơn 50, và đây cũng chính là những số nguyên tố thường gặp, giáo viên nên nhấn mạnh để học sinh ghi nhớ những số nguyên tố vừa tìm được.
Ở bài tập 2, việc xét xem các số là số nguyên tố hay hợp số trở nên khó khăn hơn so với bài trước vì chúng là những con số khá lớn, giáo viên cần giới thiệu cho học sinh một công cụ trợ giúp là Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000 có trong Sách giáo khoa. Học sinh có thể dễ dàng tra bảng và liệt kê được các số là số nguyên tố. Đồng thời có thể kết luận ln các số cịn lại là hợp số. Tuy nhiên, đề bài cịn u cầu giải thích với các trường hợp là hợp số, điều này đòi hỏi học sinh phải liên hệ với kiến thức về dấu hiệu chia hết đã học ở chủ đề trước để giải thích.
Bài tập 3 là một bài ở mức độ vận dụng, đề bài thay vì cho các số cụ thể như ở các bài trước, mà cho dưới dạng biểu thức, học sinh có thể sẽ gặp lúng túng vì khó để dự đốn được các biểu thức đó có là số nguyên tố hay khơng. Do đó, giáo viên nên đưa ra một số câu hỏi giúp định hướng cho học sinh đến đích của bài tốn. Chẳng hạn, giáo viên có thể gợi ý sử dụng tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích để xét tính chia hết của biểu thức.
67 Lời giải: Lời giải: Bài 1. Các số nguyên tố nhỏ hơn 50 là: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47. Bài 2.
- Bằng cách tra bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000, các số nguyên tố là: 89; 97; 541.
- Xét các số còn lại:
125 ⋮ 5, mà 1 < 5 < 125 nên 125 là hợp số.
2013 ⋮ 3 do có tổng các chữ số chia hết cho 3, mà 1 < 3 < 2013 nên 2013 là hợp số. 2018 ⋮ 2, mà 1 < 2 < 2018 nên 2018 là hợp số. 2022 ⋮ 2, mà 1 < 2 < 2022 nên 2022 là hợp số. Bài 3. a) Ta có: 13 ⋮ 13 nên (12.13.15) ⋮ 13 và (13.7) ⋮ 13. Do đó, (12.13.15 + 13.7) ⋮ 13, mà 1 < 13 < 𝐴. Vậy 𝐴 là hợp số. b) Ta có: 6 ⋮ 2 nên (5.6.7) ⋮ 2; 10 ⋮ 2 nên (10.11.13) ⋮ 2 Do đó, (5.6.7 + 10.11.13) ⋮ 2, mà 1 < 2 < 𝐵 Vậy 𝐵 là hợp số.
Dạng 2: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Bài 1. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
a) 180 b) 504 c) 2034
Bài 2. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: a) 20012012 b) 2.9.2012
Bài 3. Tìm ước của các số sau bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
68
a) 33 b) 81 c) 45
Bài 4. Tìm ba số lẻ liên tiếp có tích bằng 35 805.
Phân tích:
Đây cũng là dạng bài tập bắt buộc đối với tất cả học sinh, tuy nhiên học sinh chưa đạt chỉ yêu cầu làm được bài 1; học sinh đạt làm bài 1, 2, còn học sinh khá - tốt yêu cầu làm được tất cả các bài.
Bài 1 là một bài ở mức độ nhận biết, học sinh chỉ cần áp dụng trực tiếp phương pháp phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây hoặc sơ đồ cột đã được giáo viên hướng dẫn ở hoạt động Hình thành kiến thức. Hai phương pháp này đã được Sách giáo khoa Kết nối tri thức với cuộc sống trình bày rất dễ hiểu và khoa học.
Bài 2 với độ khó cao hơn so với bài 1, vì các số cần phân tích khơng phải là số cụ thể mà là một biểu thức gồm phép tính lũy thừa và phép nhân. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải hiểu bản chất của việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố, chứ không “học vẹt” hay “rập khuôn” theo cách phân tích theo sơ đồ cây hoặc sơ đồ cột. Chính vì vậy, đây là bài tập ở mức độ thông hiểu.
Bài 3 là một bài tập vận dụng, sử dụng phân tích một số ra thừa số ngun tố như một cơng cụ để tìm ước của một số tự nhiên. Giáo viên cần nhấn mạnh đây là một cách giúp tìm ước của một số một cách nhanh chóng, chính xác và hiệu quả, phù hợp khi tìm ước của các số tự nhiên tương đối lớn. Bài tập này khơng chỉ địi hỏi học sinh có kĩ năng thành thạo trong phân tích một số ra thừa số nguyên tố, mà cịn biết vận dụng kĩ năng đó để giải quyết các bài tốn liên quan, tạo điều kiện cho học sinh phát triển tư duy toán học.
Giống như bài 3, bài 4 địi hỏi học sinh phải có khả năng vận dụng kĩ năng phân tích một số ra thừa số nguyên tố để giải quyết. Ở đây, học sinh cần suy luận được để tìm được ba số một cách nhanh và chính xác nhất thì phân tích số đó ra thừa số nguyên tố là một giải pháp tối ưu. Nếu phân tích được số đó ra thừa số ngun tố, học sinh có thể tìm cách nhóm các thừa số để tìm ra ba số lẻ
69
liên tiếp thỏa mãn. Thơng thường, khi gặp những bài tốn tìm số chưa biết ở mức nâng cao, học sinh có xu hướng “đốn mị” ra kết quả, cách làm này kích thích được trí tị mị của học sinh tuy nhiên làm cho học sinh khơng hình thành được sự suy luận logic.
Lời giải:
Bài 1. Học sinh có thể dùng sơ đồ cột hoặc sơ đồ cây để phân tích, ở đây tác giả sử dụng sơ đồ cột. 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 7 7 1 2034 2 1017 3 339 3 113 113 1
Vậy 180 = 22. 32. 5 Vậy 504 = 23. 32. 7 Vậy 2034 = 2.32. 113 Bài 2.
a) Phân tích số 2001 ra thừa số nguyên tố, ta được: 2001 = 3.23.29 Từ đó suy ra: 20012012 = (3.23.29)2012 = 32012. 232012. 292012. b) Ta có: 2012 = 22. 503 và 9 = 32 Từ đó suy ra: 2.9.2012 = 2.32. 22. 503 = 23. 32. 503 Bài 3. a) 33 = 3.11, suy ra Ư(33) = {1; 3; 11; 33}. b) 81 = 34, suy ra Ư(81) = {30; 31; 32; 33; 34} = {1; 3; 9; 27; 81}. c) 45 = 32. 5, suy ra Ư(45) = {30; 31; 32; 5; 3.5; 32. 5} = {1; 3; 9; 5; 15; 45}. Bài 4. Ta có: 35 805 = 3.5.7.11.31 = 31. (3.11). (5.7) = 31.33.35
70
Vậy ba số lẻ liên tiếp cần tìm là 31; 33; 35.
Dạng 3: Tìm số nguyên tố, hợp số thỏa mãn điều kiện đề bài
Bài 1. Tìm chữ số 𝑎 để 13𝑎̅̅̅̅̅ là số nguyên tố? Là hợp số? Giải thích các trường hợp là hợp số.
Bài 2. Tìm hai số ngun tố có tổng bằng 2021.
Bài 3. Tìm số tự nhiên 𝑛 sao cho 𝑝 = (𝑛 − 2)(𝑛2+ 𝑛 − 5) là số nguyên tố.
Phân tích:
Dạng bài này khơng bắt buộc với đối tượng học sinh chưa đạt, học sinh đạt và học sinh khá - tốt cần làm được bài 1, học sinh khá - tốt cần làm được bài 2 và bài 3.
Với bài 1, học sinh chỉ cần tra bảng để tìm các giá trị 𝑎 thỏa mãn số 13𝑎̅̅̅̅̅ là số nguyên tố, dễ dàng suy ra được với các giá trị cịn lại thì 13𝑎̅̅̅̅̅ là hợp số. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu giải thích trường hợp là hợp số nên đòi hỏi học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết để lập luận.
Bài 2 và bài 3 là những bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Học sinh cần có khả năng tư duy nhạy bén, kết hợp được nhiều kĩ năng toán học cùng một lúc để giải quyết bài toán. Những bài tập này giáo viên nên đưa ra lần lượt các gợi ý nhỏ nhằm kích thích khả năng tư duy lập luận, tìm tịi khám phá của đối tượng học sinh khá - tốt.
Lời giải:
Bài 1.
- Bằng cách tra bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000, dễ dàng tìm được các số 131; 137; 139 là số nguyên tố. Do đó, để 13𝑎̅̅̅̅̅ là số nguyên tố thì 𝑎 ∈ {1; 7; 9}.
- Các trường hợp cịn lại thì 13𝑎̅̅̅̅̅ là hợp số. Giải thích:
𝑎 ∈ {0; 2; 4; 6; 8} thì 13𝑎̅̅̅̅̅ ⋮ 2, mà 1 < 2 < 13𝑎̅̅̅̅̅ nên 13𝑎̅̅̅̅̅ là hợp số. 𝑎 = 3 thì 13𝑎̅̅̅̅̅ = 133 ⋮ 7, mà 1 < 7 < 133 nên 133 là hợp số. 𝑎 = 5 thì 13𝑎̅̅̅̅̅ = 135 ⋮ 5, mà 1 < 5 < 135 nên 135 là hợp số.
71
Vậy, 13𝑎̅̅̅̅̅ là số nguyên tố thì 𝑎 ∈ {1; 7; 9}; 13𝑎̅̅̅̅̅ là hợp số thì 𝑎 ∈ {0; 2; 3; 4; 5; 6; 8}.
Bài 2.
Gọi hai số nguyên tố cần tìm là 𝑎, 𝑏. Ta có: 𝑎 + 𝑏 = 2021.
Vì 2021 là số lẻ nên trong hai số 𝑎, 𝑏 có một số chẵn, một số lẻ. Khơng mất tính tổng quát, giả sử 𝑎 chẵn, 𝑏 lẻ.
Nhận xét: 𝑎 là số nguyên tố, 𝑎 chẵn, dó đó 𝑎 = 2. Suy ra 𝑏 = 2021 − 𝑎 = 2019. Kiểm tra lại bằng các dấu hiệu chia hết, ta thấy 2019 chia hết cho 3 vì có tổng các chữ số chia hết cho 3, mà 1 < 3 < 2019, do đó 2019 là hợp số.
Vậy khơng tìm được số ngun tố 𝑎, 𝑏 nào thỏa mãn đề bài. Bài 3.
Từ 𝑝 = (𝑛 − 2)(𝑛2+ 𝑛 − 5) suy ra 𝑛 − 2 và 𝑛2+ 𝑛 − 5 là ước của 𝑝. Vì 𝑝 là số nguyên tố nên hoặc 𝑛 − 2 = 1 hoặc 𝑛2 + 𝑛 − 5 = 1.
Trường hợp 1: Nếu 𝑛 − 2 = 1 thì 𝑛 = 3. Thử lại: 𝑝 = 1. (32 + 3 − 5) = 7 là số nguyên tố (thỏa mãn).
Trường hợp 2: Nếu 𝑛2+ 𝑛 − 6 = 1, suy ra 𝑛2 + 𝑛 = 6, suy ra 𝑛(𝑛 + 1) = 6. Ta thấy 𝑛(𝑛 + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp, 6 = 2.3, do đó 𝑛 = 2.
Thử lại: 𝑝 = (2 − 2). 1 = 0 không là số nguyên tố (không thỏa mãn). Vậy 𝑛 = 3.