Từ sự hỗ trợ của Φ (t; θ) nằm trong khoảng [0, TB (θ)), tại TB (θ) ≤ T, chúng ta có thể xác định chuỗi Fourier Φ (t; θ) đối với khoảng [0 , T). Biểu thị bởi cj hệ số kjth chuỗi Fourier Φ (t; θ), chúng ta có:
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh92
∫ [ ) (20)
Tại đó là hàm chỉ thị, nói lên giá trị 1 cho và 0 nếu ngƣợc lại. Cắm các hàm chỉ thị trong (20) có vẻ không cần thiết. Tuy nhiên, khi chuyển (20) thành một toán tử áp dụng trực tiếp{ } , nó thỏa mãn một vai trò quan trọng trong khoảng thời gian zeroing, mà đƣợc giả định bằng không theo (5), nhƣng trong bất kỳ quá trình thực hiện thực tế, chứa nhiễu. Thay (4) vào (20), chúng ta có thể viết
∑ (21) Từ (3) ta có: ∫ [ ) (22) = ∫ Và [| | ) . / { } (23)
Quá trình xác định trong (21) - (23) có thể đƣợc chuyển sang một sơ đồ lấy mẫu đa kênh, chẳng hạn nhƣ trong hình. 4. Mỗi υm tín hiệu (t) đƣợc tăng lên một bank của nhân xác định bởi (23) và tích hợp trên [0,T). Kết quả này dẫn đến một vector . Vector { } sau đó đƣợc lấy trung bình trong
. trong đó có đòi hỏi cải thiện tính chất của SNR, và cung cấp một cơ sở cho việc trích xuất các hệ số 2L trong đó xác định Φ (t; θ). Vì Φ (t; θ) thỏa mãn (9), chúng ta áp dụng một gốc tƣơng tự :
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh93
Trong đó H là ma trận đƣờng chéo với jth phần tử đƣờng chéo ( ), V chứa
nhƣ phần tử của nó (j,l)th, và b là vector có chiều dài L, với phần tử . Ma trận V có thể đƣợc ƣớc tính bằng cách áp dụng các kỹ thuật phân tích quang phổ, cho phép vector các hệ số b để đƣợc giải quyết bằng phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu [19]. Hình 5 sẽ làm rõ ý hình dạng của kết quả nhân thiết lập θ = 0 và chọn hai giá trị tùy ý của kj. Đối với mỗi sự lựa chọn của kj ta vẽ đồ thị nhân tƣơng ứng với 7 phần tử nhận, đƣợc chọn từ một dãy gồm 64 phần tử, đặt cách 0.49mm về một bên.
Hình 2.5 phần thực của , cho T=210 và kj thỏa mãn: kj = 3, b) kj = 5.
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh94
Chúng ta giả định một dãy gồm M=64 phần tử, đặt cách nhau 0.49 mm về một phía, và vẽ 7 đƣờng giao nhau tại các giá trị {m0, m0 + 5, m0 + 10, ..., m0 + 30}
2.4. Cơ chế lấy mẫu thông thƣờng
Trong phần trƣớc, chúng ta đã phát triển một phƣơng pháp tiếp cận Xampling để trích xuất các hệ số chuỗi Fourier của Φ (t; θ). Tuy nhiên, sự phức tạp của kết quả nhân tƣơng tự, cùng với sự phụ thuộc vào θ, làm cho việc thực hiện phần cứng của sơ đồ mô tả trong hình 2.4 phức. Ở đây, chúng ta có một bƣớc bổ sung, cho phép xấp xỉ của, - và do đó , -,tốc độ lấy mẫu thấp của thu đƣợc một cách đơn giản hơn nhiều. Chúng ta bắt đầu bằng cách thay υm (t) của (22) của chuỗi Fourier của nó,tính toán liên quan đến [0, T) với. Ký hiệu Fourier thứ n hệ số [n], ta có:
∑ ] ∫
=∑ ] ] (25)
Tại đó Qj, m; θ [n] là các hệ số chuỗi Fourier qj, m (t; θ), cũng đƣợc xác định trên [0, T). Chúng ta thay thế vô hạn tổng của (25) bằng cách xấp xỉ hữu hạn của nó:
̂ ∑ [ ] ] (26)
Các mệnh đề sau đây cho thấy rằng xấp xỉ này có thể đƣợc thực hiện đầy đủ chặt chẽ. Mệnh đề 1: Giả thiết rằng ∫ | | thì mọi giá trị ,cho bất kỳ sự lựa chọn trong khoảng (j,m; ), do đó tồn tại hữu hạn sao cho | ̂ | .
Chứng minh: Đặt l2 là không gian của chuỗi vuông khả tích. Với mẫu‖ ‖ ∑ | | . Cho a = { [ ]} và b = { ]} . Vì có năng lƣợng hữu hạn,
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh95
(23), kết quả là ‖ ‖ . Điều này ngụ ý rằng b l2 là chính xác. Cho btđƣợc cắt ngắnchuỗi b trong khoảng N1 ≤ n ≤ N2 và không thay đổi. Chúng ta có thểviết các lỗi xấp xỉ nhƣ sau:
| ̂ | |〈 〉| ‖ ‖ ‖ ‖ (27)
Tại đó 〈 〉 là kết quả bên trong đƣợc định nghĩa là 〈 〉=∑ . Việc biến đổi cuối trong (27) là kết quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwartz. Theo định nghĩa của bt và b,
nó là dễ dàng thấy rằng ‖ ‖ =‖ ‖ ‖ ‖ biểu thị = ‖ ‖ ‖‖ , (27) trở thành:
| ̂ | ‖ ‖ ‖ ‖ (28)
Vì ‖ ‖ , có thể tiệm cận đến 1 nhƣ chúng ta mong muốn bằng các lựa chọn phù hợp của N1 và N2. Cho giá trị bất kỳ, tồn tại . Mà vế phải của (28) nhỏ hơn . Chọn N1 và N2mà ‖ ‖
‖ ‖ , kết quả | ̂ | nhƣ yêu cầu. Hơn nữa, thiết lập một giới hạn trên cho năng lƣợng của υm (t), và do đó trên ‖ ‖ N1 và N2 có thể đƣợc chọn hoạt động ngoại tuyến, chịu sự phân tách thuộc tính của chuỗi
]} .Sử dụng mệnh đề 1, chúng ta có thể tính toán ̂ là một xấp xỉ tốt của cj,m. Giờ chúng ta cần tìm là làm thế nào ̂ có thể thu đƣợctrực tiếp từ hệ số chuỗi Fourier ] của mỗiυm (t).
Đầu tiên chúng ta ƣớc lƣợng N1 và N2 cho lựa chọn xác định của m và . Nhƣ vậy cj,m có thể đƣợc xấp xỉ với mong muốn độ chính xác sử dụng nhƣ (26). Tƣơng tự, chúng ta có tập con tối thiếu của hệ số chuỗi Fourier υm (t). Cần thiết cho việc xấp xỉ cj,m. thực hiện điều này cho tất cả giá trị 1 ≤ j ≤ K, chúng ta có đƣợc K tập con nhƣ vậy.
Biểu diễn tập hợp của các tập con km. chúng ta có thể tính toán đồng thời { ̂ } từ
{ ]} bởi một biến đổi tuyến tính. Xác định độ dài Kmvector , với lth phần tử ], và kl là phần tử thứ k trong km. Sử dụng (26) chúng ta có thể viết lại nhƣ sau:
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh96
̂ Φ (29)
Tại đó ̂ là vector độ dài K với jth phần tử ̂ , và là một ma trận với phần tử
{ [ ]
(30)
Chú ý rằng chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc của N1 và N2 trên , m và θ, Vì vậy, không giống nhƣ kj, những vẫn không đổi trong suốt quá trình thiết lập Am(θ). kết quả sơ đồ Xampling đƣợc mô tả trong hình 2.6.
Hình 2.6: Sơ đồ lấy mẫu sử dụng mẫu Fourier của φm (t).
Dựa trên [12], chúng ta đề xuất một cơ chế đơn giản để đạt đƣợc các hệ số Fourier trong mỗi phần tử riêng biệt: một biến đổi tuyến tính, Wm, đƣợc áp dụng để lấy mẫu theo từng điểm của tín hiệu, lấy mẫu dƣới mức tần số Nyquist, sau khi lọc nó với một nhân thích hợp, (-t), chẳng hạn nhƣ tổng của Sincs. trong sơ đồ này, trong khi chúng ta cần phải giải nén số lƣợng lớn các mẫu ở đầu ra của mỗi phần tử, nhƣ Km> K, chúng ta tránh việc sử dụng nhân tƣơng tự phức tạp.
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh97
2.5. Beamforming sử dụng lấy mẫu nén
Một thuật toán đƣợc đề xuất cho ƣớc lƣợng định hƣớng bị động với số lƣợng các nguồn và tín hiệu của các nguồn đó đƣợc coi là không biết trong khi có sự xuất hiện của nhiễu. Mặc dù chƣa biết nhƣng giới hạn số lƣợng mục tiêu đƣợc giả định là nằm trong bearing (góc quan sát) với các bearing chƣa biết và biên độ. Bên nhận bao gồm một dãy tuyến tính (hoặc nằm ngang hoặc thẳng đứng) mà có khoảng cách giữa các phần tử là tùy ý. Gọi r là vector của các vị trí bên nhận. Phƣơng trình rời rạc hóa cổ điển cho beamformer là:
] (1)
Với A là pha và biên độ các trọng số đƣợc tính toán cho tần số bất kì = /2 , và c là tốc độ âm thanh trong môi trƣờng. Quan sát các hƣớng, trong khoảng từ 0 đến với /2 đƣợc định nghĩa là hƣớng đi vào dãy. Với một dãy M phần tử, các hƣớng quan sát N đƣợc giả định nằm trong miền của chùm. Ở đây ta giả định thừa nhận > . Nghiệm thƣa x bao gồm thông tin về các góc và biên độ của < đối tƣợng và có thể đƣợc ƣớc lƣợng theo bài toán 1 minimization:
̂ ‖ ‖ Tùy theo Ax = y (2)
Với là một vector của các phép đo = [ 1, 2, … , ] và là nghiệm.
2.5.1 Ƣớc lƣợng băng thông rộng của một nguồn tín hiệu chƣa biết
Trong các vấn đề về âm thanh thụ động, nguồn của đối tƣợng ta quan tâm thƣờng đƣợc coi là chƣa biết. Do đó, một ma trận băng rộng liên tục A không thể đƣợc xây dựng để tìm kiếm vector hƣớng thƣa thớt . Cách tiếp cận sử dụng ở đây để giải cho mỗi tần số độc lập, và để trung bình các nghiệm rời rạc thu đƣợc ở đầu ra cuối cùng của beamformer
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh98
2.5.2 Sự ổn định của A
Đặc tính hạn chế đẳng cự (RIP) liên quan đến sự trực giao của các cột của ma trận A cho phục hồi thƣa. Điều kiện RIP là cần thiết, mặc dù không phải là điều kiện đủ, nhƣng là điêu kiện để khôi phục tín hiệu. Hằng số giới hạn đẳng cự k đƣợc định nghĩa là giá trị nhỏ nhất k mà thỏa mãn:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ (3)
Với mọi vector b thƣa k. Ngoài ra, hằng số hạn chế trực giao k, k’ Θ ,′ đƣợc định nghĩa là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn:
|〈 〉| (4)
Với tất cả b và b’ tƣơng ứng thƣa k và thƣa k’, và có hỗ trợ tách rời. Với việc phân tích dữ liệu đƣợc tình bày ở đây, điều kiện RIP luôn thỏa mãn chỉ tiêu nghich đảo mà không có nhiễu, cụ thể là 1.75 < √2 − 1, với = 4. Sự khôi phục tín hiệu thƣa trong sự hiện diện của lỗi bị chặn là có thể nếu 1.25 + Θ ,1.25 < 1. Giá trị 1.05 thu đƣợc đối với trƣờng hợp đầy đủ phần tử dãy. Mặc dù vậy, số các nghịch đảo còn lại ổn định với nhiễu mà không dùng giới hạn 2.Hầu hết các dãy tuyến tính có khoảng cách giữa các phần tử đƣợc thiết kế cho một tần số riêng biệt. Khi một dãy nhƣ vậy đƣợc thiết kế thấp hơn tần số thiết kế, ma trận Atrở thành ma trận điều kiện xấu. Nghịch đảo lấy mẫu nén đƣợc sử dụng với một ƣớc lƣợng 2, dó đó thậm chí trong trƣờng hợp một dãy mà các phần tử cách nhau tùy ý, hạng của ma trận A có thể không đủ, dẫn đến sự nghịch đảo 2 không ổn định và một điểm khởi đầu kém đƣợc xác định. Để cải thiện hạng của A, trong khi vẫn giữ lại dữ liệu có giá trị trong y, việc sử dụng một singular value decomposition (SVD) để thiết lập cơ sở điều kiện tiên quyết và dữ liệu đƣợc sử dụng ở đây. SVD của A(với H là chuyển vị liên hợp) là:
USVHx = y (5)
Đƣờng chéo của S bao gồm các giá trị đơn của A. Đối với việc phân tích dữ liệu ở đây, mọi giá trị đơn < 1/100 giá trị lớn nhất đƣợc cho bằng không. Do đó, kích thƣớc ma trận A sẽ giảm từ × thành × 𝑃 với 𝑃 là số lƣợng các giá trị đơn đƣợc giữ
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh99
lại của S. Sau khi giảm các ma trận U và S thành các hàng và cột khác không (kí hiệu là: ̃và ̃):
̃ ̃ ̃ ̃ hoặc tƣơng đƣơng ̃ (6)
‖ ‖ phụ thuộc vào ̃ ̃
Vì vậy, ma trận 𝐀 đảm bảo có một sô điều kiệu ổn định cho nghịch đảo và tất cả dữ liệu (dữ liệu dƣ thừa) đƣợc sử dụng tối đa. Ngoài ra, giảm kích thƣớc của Avà y cũng có tác dụng làm giảm thời gian tính toán cần thiết cho giá trị nghich đảo. SVD cũng có thể tạo ra trực giao, và qua đó cải thiện điệu kiện RIP.
2.6 Hình ảnh SONAR sử dụng lấy mẫu nén
Hình ảnh SONAR là một kỹ thuật có thể xác định vị trí các đối tƣợng trong một khung cảnh từ sự phản xạ âm thanh.Nó sử dụng nhiều phép đo từ góc độ khác nhau để tạo ra một hình ảnh 2D. Các thuật toán hình ảnh thông thƣờng nhƣ backprojection(BP) đòi hỏi một số lƣợng lớn các phép đo để tạo ra hình ảnh chính xác. Lý thuyết chỉ ra rằng một phƣơng pháp khác đƣợc gọi là lấy mẫu nén có thể tạo ra hình ảnh chính xác bằng cách sử dụng một phần nhỏ của các phép đo. Lấy mẫu nén yêu cầu không gian khả nén và mỗi phép đo riêng lẻ cung cấp thông tin về khung cảnh, không chỉ là một địa điểm cụ thể. Thí nghiệm hình ảnh sonar phải đƣợc thiết kế để đáp ứng các yêu cầu này.Mục đích của nghiên cứu này để cho thấy rằng khuôn khổ lấy mẫu nén có thể đƣợc sử dụng trong hình ảnh sonar với kết quả đƣợc so sánh với các phƣơng pháp thông thƣờng. Một thử nghiệm SONAR vị trí đƣợc xây dựng có thể đo phản xạ âm thanh từ một khung cảnh. Một nhiễu mã giả ngẫu nhiên (PN) đƣợc sử dụng để truyền.4 loa và 16micro đƣợc gắn dao động ngẫu nhiên từ một vòng tròn xung quanh khung cảnh. Phần mềm đƣợc phát triển để tạo ra một hình ảnh từ dữ liệu này thông qua FBP. Ngoài ra,một thuật toán lấy mẫu nén đã đƣợc phát triển để tái tạo lại một hình ảnh từ các phép đo giới hạn. Thuật toán này sử dụng một tập hợp con ngẫu nhiên các mẫu từ mỗi lần
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh100
đo.Kết quả ban đầu cho thấy hiệu quả FBP có thể đƣợc sử dụng để hình ảnh một cảnh sử dụng sóng âm thanh. Các thuật toán lấy mẫu nén mang lại một chất lƣợng hình ảnh tƣơng tự nhƣng sử dụng ít hơn 10% của các phép đo.Những kết quả này cho thấy lấy mẫu nén có thể đƣợc sử dụng trong hình ảnh SONAR để giảm đáng kể số lƣợng các phép đo cần đƣợc thu thập. Đây là một bƣớc đột phá trong nghiên cứu cho cả quân sự và dân sự.
2.6.2 Backprojection (ánh xạ ngƣợc)
Là một kỹ thuật hình ảnh truyền thống sử dụng cho nhiều chế độ hình ảnh khác nhau.Nó đƣợc dựa trên các nguyên tắc trong các vị trí không rõ ràng, dữ liệu sẽ chỉ đơn giản là đƣợc"smeared"trên toàn bộ không gian của địa điểm có thể. Những smeared (vết bẩn) đƣợc gọi là ánh xạ(projections).Các ánh xạ đƣợc cộng lại từ tất cả các dạng hình học khác nhau và hình ảnh cuối cùng có sự giao thoa trong vị trí của sự phản xạ và giao thoa triệt tiêu ở những vị trí khác.Trong khi các nguyên tắc của backprojection là nhƣ nhau cho tất cả các chế độ của hình ảnh, hình thức các ánh xạ phụ thuộc vào thu thập dữ liệu. Hình 2.7 cho thấy một sơ đồ mô tả các phƣơng pháp tiếp cận của backprojection.