Để bắt đầu xét điểm A tự nhiên bằng cách xem xét một không gian rỗng A, kí hiệu
N(A) = {z : Az = 0}
Nếu chúng ta muốn phục hồi tất cả các tín hiệu thƣa thớt x từ các phép đo Ax, sau đó nó là ngay lập tức phân biệt rõ ràng cho bất kỳ cặp vector riêng biệt x, x’ k, chúng ta phải có Ax Ax’, vì nếu không sẽ không thể phân biệt x từ x’ chỉ dựa trên các phép đo y. Chính thức hơn, bằng cách quan sát rằng nếu Ax Ax’ sau đó A (x – x’) = 0 với x – x’ 2k, chúng ta thấy rằng A biểu diễn duy nhất cho tất cả x k khi và chỉ khi N (A) không chứa vectơ trong 2k. Trong khi có rất nhiều cách tƣơng đƣơng biểu diễn tính chất này, một trong những phổ biến đƣợc gọi là spark.
Định nghĩa 1.1. Các spark của một ma trận A đƣa ra là số lƣợng nhỏ nhất của cột A có phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa này cho phép chúng ta đặt ra sự đảm bảo đơn giản sau.
Định lý 1.1 Đối với bất kỳ vector y m, tồn tại nhiều nhất một tín hiệu x k sao cho y = Ax khi và chỉ khi spark (A) > 2 ...
Chứng minh: Trƣớc tiên chúng ta giả định rằng, đối với bất kỳ y m
, tồn tại nhiều nhất một tín hiệu x k sao cho y = Ax.Bây giả sử ta xét điều kiện ngƣợc lại (A) 2k. Điều này có nghĩa là tồn tại một vài bộ giá trị tuyến tính độc lập với khoảng 2k cột, do đó ngụ ý rằng có tồn tại một h N(A) sao cho h 2k. Trong trƣờng hợp này, vì h
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh26
2k nên chúng ta có thể viết h = x – x’, trong đó x, x’ 2 . Nhƣ vậy, vì h N(A) nên ta có: A (x – x’) = 0 và do đó Ax = Ax’. Nhƣng điều này mâu thuẫn với giả định rằng có tồn tại nhiều nhất một tín hiệu x k sao cho y = Ax. Vì vậy, chúng ta phải có spark(A)> 2k. Bây giờ giả sử rằng spark (A)> 2k. Giả thiết đối với một số y có tồn tại
x, x’ k sao cho y = Ax = Ax’. Do đó ta có A (x – x’) = 0. Cho h = x – x’, chúng ta có thể viết là Ah = 0. Từ spark(A)> 2k, tất cả các bộ giá trị lên đến 2k cột của A là độc lập tuyến tính, và do đó h = 0. Điều này sẽ có nghĩa x = x’, chứng minh định lý.
Dễ dàng thấy rằng spark(A) [2;m + 1]. Vì vậy, định lý 1.1 thỏa mãn yêu cầu . Khi xử lý các vector thƣa thớt có giá trị xác định, Spark sẽ cung cấp một cách hoàn chỉnh các đặc tính khi giá trị thô có thể khôi phục đƣợc. Tuy nhiên, khi xử lý với tín hiệu xấp xỉ thô chúng ta phải xem xét điều kiện phần nào hạn chế hơn trên không gian rỗng của A. Nói một cách khái quát, chúng ta cũng phải đảm bảo rằng N(A) không chứa bất kỳ vector có thể nén nhiều ngoài các vector thƣa thớt. Để làm rõ phát biểu trên, chúng tôi định nghĩa các ký hiệu sau đây sẽ chứng tỏ là hữu ích từ đầu đến cuối cuốn sách này. Giả thiết rằng {1,2,…,n} là tập con của số mũ và cho phép c = {1,2,…,n}\ .Bởi x
đƣợc hiểu là thu đƣợc vectơ có chiều dài n bằng cách thiết lập các chỉ số đầu vào x từ
c
về 0. Tƣơng tự nhƣ vậy, bằng Acó nghĩa là thu đƣợc ma trận bằng cách thiết lập chỉ số các cột của ma trận A từ cvề 0.
Định lý 1.2: Một ma trận A thỏa mãn tính chất không gian rỗng (NSP) trật tự k nếu có tồn tại một hằng số C> 0 sao cho,
1 2 || || || h || C h c k (**)
Sao cho tất cả h N (A) và tất cả sao cho | | k.
Theo quan điểm của NSP cụ thể cho rằng những vectơ trong không gian rỗng của A không nên quá tập trung vào một tập con của các số mũ. Ví dụ, một vectơ h là
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh27
giá trị k-thƣa thớt xác định, sau đó tồn tại một giá trị sao cho ||hc ||1 = 0 và do đó (**)
ngụ ý rằng h=0 là đúng. Vì vậy, nếu ma trận A thỏa mãn NSP thì chỉ K - vector thƣa thớt trong N(A) là có h=0.
Để làm rõ ý nghĩa của NSP trong việc khôi phục lại tín hiệu thƣa thới, giờ chúng ta sẽ tìm hiểu một cách ngắn gọn làm thế nào để đo đƣợc hiệu suất của thuật toán khôi phục tín hiệu thƣa khi xử lý những tín hiệu không thƣa thớt chung. Để giải quyết điều này, hãy xét : m n biểu diễn phƣơng pháp khôi phục rõ ràng. Chúng ta sẽ tập trung chủ yếu vào việc đảm bảo mẫu
1 2 ( ) x)-x|| k x C k (***)
Với mọi x, k(x)1 đƣợc xác định giống nhƣ mục (*). Điều này có thể đảm bảo phục hồi chính xác tất cả các tín hiệu K – thƣa thớt, nhƣng cũng đảm bảo một mức độ thô với các tín hiệu không thƣa trực tiếp phụ thuộc vào cách các tín hiệu đƣợc xấp xỉ bởi K - vectơ thƣa thớt. Nhƣ vậy sự đảm bảo này đƣợc gọi là minh chứng tối ƣu vì chúng đảm bảo hiệu suất tối ƣu cho từng trƣờng hợp của . Sự khác biệt này giữa chúng đảm bảo rằng chỉ giữ một số tập hợp con của tín hiệu có thể lấy mẫu, chẳng hạn nhƣ tín hiệu thƣa thớt hoặc nén - chất lƣợng của sự đảm bảo tƣơng thích để lựa chọn ra những đặc tính cụ thể của . Đây cũng đƣợc gọi chung là đảm bảo đồng bộ khi chúng giữ đồng bộ cho tất cả các giá trị của .
Chúng ta có thể dễ dàng tính toán đƣợc các lỗi khôi phục sử dụng các chuẩn p khác. Có thể chọn giá trị cho p, tuy nhiên, có thể sẽ làm hạn chế những tính chất của guarantee, và cũng có khả năng sẽ dẫn đến những thay đổi của công thức trong NSP. Hơn nữa, vế bên phải của (***) có vẻ hơi bất thƣờng trong đó chúng tôi đo lỗi xấp xỉ là
k(x)1/√ chứ không phải chỉ đơn giản là k(x)2. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy trong phần sau một sự bảo đảm nhƣ vậy thực sự là điều không thể nếu nhƣ không dùng đến
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh28
một lƣợng lớn các phép đo, và (***) là phép đảm bảo tốt nhất có thể biểu diễn mà chúng tôi hi vọng có đƣợc.
Chúng tôi lƣu ý rằng kí hiệu này thƣờng xuyên bị lạm dụng để xét chiều dài | | vector thu đƣợc bằng cách chỉ giữ lại các đầu vào tƣơng ứng với hoặc các | | ma trận thu đƣợc bằng cách chỉ giữ lại những cột tƣơng ứng với tƣơng đƣơng. Việc sử dụng phải rõ ràng từ ngữ cảnh, nhƣng trong nhiều trƣờng hợp không tồn tại sự khác biệt giữa hai kí hiệu này.
Chúng ta sẽ thấy rằng trong phần sau, NSP số bậc 2k là phù hợp hơn để thiết lập một bảo đảm theo mục (***) cho một thuật toán phục hồi thực tế ( 1- minimization).Hơn nữa, sự tƣơng thích sau đây của một định lý chứng minh rằng nếu có bất kỳ thuật toán phục hồi thỏa mãn (***), thì A nhất thiết phải thỏa mãn các NSP với số hàng là 2k.
Định lý 1.2 Cho A: n m
biểu diễn một ma trận mẫu và : n m
biểu diễn một thuật toán phục hồi tùy ý. Nếu cặp (A; ) thỏa mãn (***) thì A thỏa mãn NSP với số hàng 2 .
Chứng minh: Giả sử h N(A) và để đạt các chỉ số tƣơng ứng với lớn nhất 2k Đầu vào của h. Tiếp theo chúng tôi tách thành Λ0và Λ1 , sao cho |Λ |0 =|Λ |1 = k. Đặt
1 c
xh h và x' h0, do đó h = x – x’. Khi x’ k.Chúng ta có thể áp dụng công thực (***) để thu đƣợc x’ = (Ax’).Hơn nữa, vì h N(A), chúng ta có
Ah = A(x-x’) = 0
Vì vậy Ax’ = Ax. Do đó x’ = (Ax’).Cuối cùng ta thấy rằng
1 1 2 2 2 2 || || ( ) || || || || || ' || || (A ) || 2 2 c k x h h h x x x x C C k k
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh29