Một mô hình liên quan chặt chẽ đến sự rời rạc là tập hợp các ma trận bậc thấp:
{ }
Thiết lập gồm cócác ma trận M sao cho
∑
Khi là các giá trị đơn lẻ khác 0, và ,
là các vector đơn lẻ tƣơng ứng. Thay vì hạn chế số lƣợng các yếu tố đƣợc sử dụng để xây dựng các tín hiệu, chúng tôi hạn chế số lƣợng các giá trị đơn lẻ khác không.
Ta có thể dễ dàng quan sát rằng các thiết lập có bậc tự do bằng cách đếm số lƣợng các tham số tự do trong quá trình phân tích giá trị đơn. Đối với nhỏ, số bậc này thấp hơn đáng kể so với số bậc trong ma trận . Ma trận bậc thấp phát sinh trong một loạt các thiết lập thực tế. Ví dụ, ma trận bậc thấp Hankel tƣơng ứng tuyến tính bậc thấp, hệ thống thời gian bất biến. Trong nhiều vấn đề dữ liệu nhúng, chẳng hạn nhƣ cảm biến định vị, ma trận khoảng cách theo cặp thƣờng sẽ có bậc hai hoặc ba. Cuối cùng, gần nhƣ ma trận bậc thấp phát sinh một các tự nhiên trong điều kiện các hệ thống lọc cộng tác nhƣ hệ thống Netflix đề xuất và cácvấn đề liên quan hoàn thành ma trận, nơi mà một ma trận thứ hạng thấp đƣợc phục hồi từ một mẫu nhỏ của bản thân nó. Mặc dù chúng tôi không hoàn toàn tập trung chuyên sâu về ma trận hoặc các vấn đề tổng quát hơn về phục hồi ma trận bậc thấp, chúng tôi lƣu ý rằng nhiều
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh23
khái niệm và các công cụ xử lý trong cuốn sách này là rất phù hợp với lĩnh vực mới nổi này, cả hai đều từ một lý thuyết và thuật toán quan điểm.
2.4.6.Các mô hình tham số và đa tạp (manifold)
Mô hình tham số và đa tạp hình thành theo cách khác, nhiều lớp chung của các mô hình tín hiệu ít chiều hơn. Những mô hình này phát sinh khi một tham số liên tục có giá trị -chiều có thể đƣợc xác định rằng các sóng mang có chứa tín hiệu và tín hiệu f(ɵ) ϵ Rn thay đổi nhƣ là một chức năng liên tục (thƣờng là phi tuyến) của những tham số này. Ví dụ điển hình là một tín hiệu một chiều đã dịch chuyển bởi một khoảng thời gian trễ chƣa xác định (tham số hóa bởi biến dịch), một bản ghi của tín hiệu nói (tham số hóa bởi các âm vị cơ bản đƣợc nói), và một ảnh của một vật thể 3 chiều (3D) tại một vị trí chụp và góc chụp ko xác định (tham số hóa bởi tọa độ 3 chiều của vật thể và trục, khoảng cách và độ lệch của nó). Trong trƣờng hợp này và nhiều trƣờng hợp khác, lớp tín hiệu hình thành một đa tạp phi tuyến chiều trong Rn
{ }
Với là không gian tham số chiều. Các phƣơng pháp dựa trên sự đa tạp dùng trong xử lý ảnh đã thu hút đc sự chú ý đáng kể, đặc biệt là trong cộng đồng trí tuệ nhân tạo. Chúng có thể đc áp dụng cho các ứng dụng đa dạng bao gồm dữ liệu trực quan, phân loại và phát hiện tín hiệu, ƣớc lƣợng tham số, hệ thống kiểm soát, phân nhóm và trí tuệ nhân tạo. Các đa tạp ít chiều cũng đã đƣợc đề xuất nhƣ là mô hình gần đúng cho một số lớp tín hiệu phi tham số nhƣ hình ảnh của khuôn mặt ngƣời và ký tự số viết tay.
Mô hình đa tạp có liên quan chặt chẽ với tất cả các mô hình mô tả ở trên. Ví dụ, tập hợp các tín hiệu với ‖ ‖0 = hình thành một chiều đa tạp Riemannian. Tƣơng tự, tập hợp n1 × n2 các ma trận hạng r hình thành một r(n1 + n2 - r) chiều đa tạp Riemannian. Hơn nữa, nhiều đa tạp có thể đƣợc mô tả tƣơng đƣơng nhƣ sự kết hợp vô hạn của các không gian con. Tuy nhiên, đa tạp ít chiều có kết nối chặt chẽ với nhiều kết
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh24
quả trong lấy mẫu nén. Đặc biệt, nhiều ma trận cảm biến ngẫu nhiên đƣợc sử dụng trong lấy mẫu nén cũng có thể đƣợc hiển thị để bảo vệ cấu trúc trong đa tạp ít chiều.