Tín hiệu thưa thớt
Cho một tín hiệu rời rạc chiều dài hữu hạn, có thể biểu diễn nhƣ một vector cột trong RN với các thành phần x[n], n=1,2…N. Bất kỳ tín hiệu trong RN nào
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh17
đều có thể biểu diễn thông qua một vector cơ sở trực chuẩn : { i} .Sử dụng ma trận cơ sở : =[ 1 2.... N], với các vectơ { i} là các vectơ cột, thì một tín hiệu x có thể biểu diễn nhƣ sau :
x = ∑
hoặc x = .s
Ở đây s là một vectơ cột của các trọng số Si x, x và .T là kí hiệu ma trận chuyển vị. Nói cách khác thì và là sự biểu diễn của cùng một tín hiệu, trong miền thời gian (hoặc không gian), trong miền .
Tín hiệu chiều dài đƣợc gọi là thƣa thớt nếu là một sự kết hợp tuyến tính của duy nhất vectơ cơ sở, do đó chỉ duy nhất trọng số si là khác 0 và ( ) trọng số là bằng 0. Trong trƣờng hợp mà thì tín hiệu gọi là thƣa thớt và có thể nén, tức là nó có thể đƣợc biểu diễn chỉ với trọng số lớn và nhiều trọng số nhỏ.
Tín hiệu nén
Một điểm quan trọng trong thực tế là có rất ít tín hiệu thực tế thực sự thƣa thớt; thay vào đó họ nén lại, có nghĩa là chúng có thể đƣợc coi xấp xỉ bằng một tín hiệu thƣa thớt. Tín hiệu nhƣ vậy đƣợc gọi là tín hiệu nén,với khoảng cách rải rác, hoặc tƣơng đối rải rác trong những bối cảnh khác nhau. Tín hiệu nén cũng đƣợc coi là gần đúng với các tín hiệu thƣa thớt trong cùng một chiều mà các tín hiệu lân cận nhau trong một không gian con đƣợc coi là xấp xỉ bởi vài thành phần chính đầu tiên. Trong thực tế, chúng ta có thể xác định số lƣợng mẫu nén bằng cách tính toán lỗi phát sinh bởi một tín hiệu gần đúng x bằng một số ̂ k :
k(x)p = ̂ ∑ ‖ ̂‖p (2.2)
Nếu x k, thì rõ ràng k(x)p = 0 với p bất kỳ. Hơn nữa, ta có thể dễ dàng thấy rằng ngƣỡng đƣợc cho sẵn mô tả ở trên (chỉ giữ lại hệ số k lớn nhất). Kết quả tối ƣu trong phép tính gần đúng đƣợc đo bằng công thức (2.2) cho tất cả chuẩn p.
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh18
Một cách khác để hiểu về tín hiệu nén là quan tâm đến hệ số suy hao của tín hiệu. Cho nhiều phần quan trọng của tín hiệu tồn tại các cơ số mà hệ số tuân theo một định luật hàm mũ suy hao, trong trƣờng hợp các tín hiệu đƣợc nén ở mức độ cao. Đặc biệt, nếu và chúng ta sắp xếp các hệ số ci nhƣ vậy sao cho |c1| |c2| … |cn|, sau đó chúng ta nói rằng hệ số đó tuân theo một định luật hàm mũ suy hao nếu có tồn tại các hằng số C1, , sao cho:
|ci| C1i-q
càng lớn thì mức độ suy hao càng nhanh, và tín hiệu nén càng nhiều. Vì hệ số suy hao rất nhanh nên tín hiệu nén có thể đƣợc biểu diễn chính xác bởi hệ số . Đặc biệt, với tín hiệu đã cho tồn tại hằng số C2, r 0 chỉ phụ thuộc vào C1 và q sao cho:
k(x)2 C2k-r
Trong thực tế ta có thể thấy rằng k(x)2 sẽ suy hao nhƣ k-r khi và chỉ khi hệ số suy hao ci bằng i-r+1/2