Trong một ứng dụng, tín hiệu có cấu trúc ko thể thể hiện một cách hoàn toàn khi sử dụng sparsity alone. Ví dụ, khi chỉ có một số mô hình hỗ trợ thƣa đƣợc cho phép trong tín hiệu, nó có thể tận dụng những hạn chế nhƣ vậy để xây dựng mô hình tín hiệu ngắn gọn hơn. Chúng tôi đƣa ra một vài ví dụ tiêu biểu dƣới đây:
Cho tín hiệu và hình ảnh piecewise-smooth, các hệ số chi phối trong biến đổi wavelet có xu hƣớng nhóm lại thành một nhánh nghiệm đã kết nối bên trong cây nhị phân cha -con wavelet.
Trong các ứng dụng nhƣ giám sát hoặc ghi âm, các hệ số có thể xuất hiện theo từng nhóm với nhau hoặc từng phần cách nhau riêng biệt. Khi nhiều tín hiệu thƣa thớt đƣợc ghi đồng thời, những hỗ trợ của chúng có thể liên quan theo các tính chất của môi trƣờng cảm biến. Một cấu trúc có thể dẫn đến việc đo lƣờng nhiều vấn đề về vector. Trong một số trƣờng hợp một số lƣợng nhỏ các tín hiệu thƣa thớt tƣơng ứng không tới các vector (cột của một ma trận ), nhƣng thay vì đó lại đến các điểm đã biết nằm
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh19
trong các không gian con riêng. Nếu chúng ta xây dựng một khung bằng cách ghép các chuẩn cho các không gian con thì các hệ số non - zero của tín hiệu đại diện hình thành các cấu trúc khối tại các điểm đã biết.
Ví dụ nhƣ cơ cấu bổ sung có thể đƣợc chụp trong điều kiện hạn chế tín hiệu khả thi hỗ trợ cho một tập hợp nhỏ các lựa chọn ( ) khả thi của các hệ số khác không cho một tín hiệu thƣa thớt. Các mô hình này thƣờng đƣợc gọi là mô hình cấu trúc thƣa thớt. Trong trƣờng hợp các hệ số khác không xuất hiện thành nhóm. Các cấu trúc có thể đƣợc diễn tả thỏa mãn điều kiện của một tập hợp các không gian con thƣa thớt. Cấu trúc thƣa thớt và tập hợp các mô hình không gian con mở rộng khái niệm thƣa thớt tới nhiều lớp rộng hơn của tín hiệu và có thể kết hợp cả hai đại diện chiều hữu hạn và chiều vô hạn.
Để xác định các mô hình này, nhớ lại các tín hiệu thƣa thớt kiểu mẫu, tập hợp Σk
bao gồm các không gian con mẫu Ui đƣợc liên kết vs bên ngoài hệ trục tọa độ n của Rn . Xem hình 2.5, với = 3 và = 2. Cho phép nhiều sự lựa chọn chung cho Ui dẫn đến sự biểu diễn mạnh hơn phù hợp với rất nhiều tín hiệu thú vị ban đầu. Đặc biệt, biết rằng x nằm trong một trong M không gian con khả thi U1, U2, … UM , ta có nằm trong tập hợp M không gian con
⋃
Lƣu ý rằng, nhƣ trong cấu hình thƣa thớt chung, tập hợp các mô hình là phi tuyến: tổng hai tín hiệu từ một tập hợp không còn thuộc . Thành phần phi tuyến này của tín hiệu làm cho bất kỳ một quá trình nào có lợi cho các mô hình này đều phức tạp hơn. Vì vậy, thay vì cố gắng xử lý tất cả các tập hợp theo một cách thống nhất, ta tập trung vào một số các trƣờng hợp đặc biệt của tập hợp các mô hình theo độ phức tạp.
Lớp đơn giản nhất của các tập hợp phát sinh khi một số các không gian con bao gồm các tập hợp là hữu hạn và mỗi không gian con đều có kích thƣớc hữu hạn. Ta gọi
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh20
đó là thiết lập một tập hợp mô hình không gian con hữu hạn. Trong kết cấu hữu hạn chiều, ta xem lại hai loại mô hình đã mô tả ở trên:
Cấu trúc hỗ trợ rải rác: lớp này bao gồm các vector rải rác đáp ứng hạn chế bổ sung cho sự hỗ trợ (i.e.. tập hợp các chỉ số cho các phần khác không của vector). Điều này tƣơng ứng với việc chỉ một không gian con đƣợc ra khỏi các không gian con ( ) hiện diện trong Σkđƣợc cho phép.
Tập hợp các không gian con rải rác: tại đó mỗi không gian con bao gồm tập hợp các tổng trực tiếp của các không gian con k ít chiều.
Ở đây Ai là một tập hợp các không gian con với kích thƣớc dim(Ai) = di và
chọn của các không gian con. Nhƣ vậy, mỗi không gian con tƣơng ứng với một sự lựa chọn khác nhau của bên ngoài M không gian con Ai bao gồm cả tổng. Cấu trúc này có thể mô hình sự rải rác tiêu chuẩn bằng cách để Ạ trở thành vùng không gian con một chiều với vector mẫu jth .Điều đó chỉ ra rằng mô hình này dẫn tới việc ngặn cản sự rải rác trong đó các khối xác định bên trong vector bằng không, và các phần còn lại khác không.
Có hai trƣờng hợp có thể kết hợp để cho phép một tổng nhất định của không gian con là một phần của tập hợp U. Cả hai mô hình trên đều có thể đƣợc tận dụng để làm giảm hơn nữa tỉ lệ lấy mẫu và cho phép lấy mẫu nén của một lớp rộng hơn của tín hiệu.