a. Sử dụng ℓ0:
̂ = ‖ ‖
Với điều kiện: .
Ở đây ‖ ‖ = |{ }|. Phƣơng pháp này có thể cho phép khôi phục chính xác dữ liệu bằng cách kiểm tra từng dữ liệu để thỏa mãn hai phƣơng trình trên, tuy nhiên tốc độ tính toán của phƣơng pháp là chậm. Nên thuật toán này ít đƣợc sử dụng trong thực tế và không sử dụng trong lấy mẫu nén.
b. Sử dụng ℓ2:
̂= || || = ∑ | |
Với điều kiện:
.
Phƣơng pháp này không khôi phục đúng dữ liệu.
c. Sử dụng ℓ1
̂= || || = ∑ | |
Với điều kiện: .
Thuật toán này có thể khôi phục chính xác tín hiệu thƣa K sử dụng M phép đo tuyến tính không thích nghi với M cKlog(N/K). Phƣơng pháp này sử dụng trong lấy mẫu nén cho việc khôi phục dữ liệu.
Nghiên cứu mới đây (tháng 9 năm 2007) của Emmanuel J.candes, Michael B.Walkin và Stephen P.Boyd đã cải tiến phƣơng pháp này cho phép khôi phục tín hiệu chính xác hơn gọi là phƣơng pháp ℓ1-minimization đƣợc trọng số hóa (Reweighted ℓ1- minimization). Phƣơng pháp này khôi phục tín hiệu bằng phƣơng trình sau:
̂ = || || =
∑ | |
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh36
.
Ở đây ma trận W là ma trận chéo với wl,w2...wn là các trọng số dƣơng nằm trên đƣờng chéo, các trọng số còn lại bằng 0.
Các trọng số dƣơng của ma trận W này đƣợc tính toán sử dụng các bƣớc trong thuật toán sau đây:
1. Thiết lập đặt l=0 và , i= 1,…,N 2. Tính:
= min‖ ‖
với
3. Cập nhập các giá trị trọng số: với i=1,…,n:
=| | +
4. Kết thúc thuật toán nếu w hội tụ hoặc khi l đạt tới một số cực đại, ngƣợc lại tăng l lên 1 đơn vị và quay trở lại bƣớc 2.
Phƣơng pháp này khôi phục tín hiệu chính xác hơn, để minh họa điều này ta xét ví dụ sau:
cho = | | (sơ đồ 1(a) thể hiện tín hiệu gốc x) và :
= * +
Ta có tín hiệu thu đƣợc : Y = x = | |
Nhìn vào sơ đồ bên dƣới, với phƣơng pháp ℓ1-minimization, ℓ1 biểu thị nhƣ một quả bóng giao với đƣờng biểu diễn tại vị trí ̂ | | giá trị này cho chúng ta kết quả không chính xác. Sơ đồ 1(b)
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh37
Bây giờ nếu chúng ta đƣa vào ma trận trọng số W = diag | | sơ đồ 1(c) thể hiện quả bóng "weighted ℓ1 " hội tụ tới điểm tín hiệu nguồn một cách chính xác.
Hình 2.6: So sánh phương pháp ℓ1-minimization và weighted ℓ1-minimization