CHƢƠNG 2 : Beamforming sử dụng phƣơng pháp lấy mẫunén
2.5. Beamforming sử dụng lấy mẫu nén
2.5.2 Sự ổn định của A
Đặc tính hạn chế đẳng cự (RIP) liên quan đến sự trực giao của các cột của ma trận A cho phục hồi thƣa. Điều kiện RIP là cần thiết, mặc dù không phải là điều kiện đủ, nhƣng là điêu kiện để khôi phục tín hiệu. Hằng số giới hạn đẳng cự k đƣợc định nghĩa là giá trị nhỏ nhất k mà thỏa mãn:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ (3)
Với mọi vector b thƣa k. Ngoài ra, hằng số hạn chế trực giao k, k’ Θ ,′ đƣợc định nghĩa là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn:
|〈 〉| (4)
Với tất cả b và b’ tƣơng ứng thƣa k và thƣa k’, và có hỗ trợ tách rời. Với việc phân tích dữ liệu đƣợc tình bày ở đây, điều kiện RIP luôn thỏa mãn chỉ tiêu nghich đảo mà không có nhiễu, cụ thể là 1.75 < √2 − 1, với = 4. Sự khôi phục tín hiệu thƣa trong sự hiện diện của lỗi bị chặn là có thể nếu 1.25 + Θ ,1.25 < 1. Giá trị 1.05 thu đƣợc đối với trƣờng hợp đầy đủ phần tử dãy. Mặc dù vậy, số các nghịch đảo còn lại ổn định với nhiễu mà không dùng giới hạn 2.Hầu hết các dãy tuyến tính có khoảng cách giữa các phần tử đƣợc thiết kế cho một tần số riêng biệt. Khi một dãy nhƣ vậy đƣợc thiết kế thấp hơn tần số thiết kế, ma trận Atrở thành ma trận điều kiện xấu. Nghịch đảo lấy mẫu nén đƣợc sử dụng với một ƣớc lƣợng 2, dó đó thậm chí trong trƣờng hợp một dãy mà các phần tử cách nhau tùy ý, hạng của ma trận A có thể không đủ, dẫn đến sự nghịch đảo 2 không ổn định và một điểm khởi đầu kém đƣợc xác định. Để cải thiện hạng của A, trong khi vẫn giữ lại dữ liệu có giá trị trong y, việc sử dụng một singular value decomposition (SVD) để thiết lập cơ sở điều kiện tiên quyết và dữ liệu đƣợc sử dụng ở đây. SVD của A(với H là chuyển vị liên hợp) là:
USVHx = y (5)
Đƣờng chéo của S bao gồm các giá trị đơn của A. Đối với việc phân tích dữ liệu ở đây, mọi giá trị đơn < 1/100 giá trị lớn nhất đƣợc cho bằng không. Do đó, kích thƣớc ma trận A sẽ giảm từ × thành × 𝑃 với 𝑃 là số lƣợng các giá trị đơn đƣợc giữ
GVHD:PGS.TS Nguyễn Thúy Anh SVTH:Đoàn Khánh Linh99
lại của S. Sau khi giảm các ma trận U và S thành các hàng và cột khác không (kí hiệu là: ̃và ̃):
̃ ̃ ̃ ̃ hoặc tƣơng đƣơng ̃ (6)
‖ ‖ phụ thuộc vào ̃ ̃
Vì vậy, ma trận 𝐀 đảm bảo có một sô điều kiệu ổn định cho nghịch đảo và tất cả dữ liệu (dữ liệu dƣ thừa) đƣợc sử dụng tối đa. Ngoài ra, giảm kích thƣớc của Avà y cũng có tác dụng làm giảm thời gian tính toán cần thiết cho giá trị nghich đảo. SVD cũng có thể tạo ra trực giao, và qua đó cải thiện điệu kiện RIP.