Thông thường các kết cấu của chúng ta (dầm, vành, vỏ) thường tiếp xúc với môi trường đàn hồi hoặc đàn nhớt. Các công thức đưa ra để giải quyết các bài toán đó thường đưa các ảnh hưởng của nền vào trong các phương trình vi phân của kết cấu. Tuy nhiên nền thường là các môi trường phức tạp như sỏi, tuyết, dầu nhớt... Mối quan tâm của ta trong nghiên cứu của luận án là phản ứng của nền tại vùng tiếp xúc với kết cấu, mà ta không quan tâm đến các ứng suất cũng như chuyển vị xuất hiện trong vật liệu nền. Trên cơ sở đó, các công thức toán học để mô tả các tương tác của nền với kết cấu tại vị trí tiếp xúc được thiết lập.
Mô hình đơn giản nhất của nền đàn hồi được đưa ra bởi Winkler [103]. Ông coi nền đàn hồi như những lo xo tuyến tính riêng biệt song song. Mối liên hệ giữa lực tác dụng và chuyển vị của bề mặt nền, đều theo phương z pháp tuyến với mặt tiếp xúc, được biểu thị như sau:
px, yk
trong đó:
p- là lực đơn vị (N/m2)
kw -là độ cứng của nền đàn hồi Winkler (N/m3).
w- là chuyển vị của bề mặt tham chiếu theo hướng pháp tuyến (m)
(2.1)
Hình 2. 1.Mô hình nền đàn hồi Winkler
Chuyển vị tương ứng của bề mặt nền đàn hồi dưới tác dụng của lực được biểu diễn trong hình 2.1. Ta thấy rằng với mô hình này thì chuyển vị của vùng chịu tác dụng lực sẽ bằng hằng số nếu như lực tác dụng phân bố bằng hằng số. Ngoài vùng lực tác dụng thì chuyển vị bằng không. Tuy nhiên với hầu hết các vật liệu thì chuyển vị ở vùng lân cận là khác không. Vì vậy các nhà khoa học đã đưa ra các mô hình khác nhau để mô hình hóa nền đàn hồi.
Sau đây ta xét tiếp mô hình nền đàn hồi hai hệ số Pasternak. Đây là mô hình mở rộng của mô hình nền đàn hồi Winkler và được cho là mô hình thể hiện ứng xử cơ học gần với nền thực nhất. Pasternak cho rằng ngoài chuyển vị của bề mặt nền còn tồn tại biến dạng cắt tương tác giữa các lò xo. Nhân tố trượt này xuất hiện ở đầu lò xo phần tiếp xúc với kết cấu và được biểu diễn như hình 2.2. Khi đó mối liên hệ giữa lực tác dụng và biến dạng của nền được biểu diễn như sau [103]:
Sau đây ta xét tiếp mô hình nền đàn hồi hai hệ số Pasternak. Đây là mô hình mở rộng của mô hình nền đàn hồi Winkler và được cho là mô hình thể hiện ứng xử cơ học gần với nền thực nhất. Pasternak cho rằng ngoài chuyển vị của bề mặt nền còn tồn tại biến dạng cắt tương tác giữa các lò xo. Nhân tố trượt này xuất hiện ở đầu lò xo phần tiếp xúc với kết cấu và được biểu diễn như hình 2.2. Khi đó mối liên hệ giữa lực tác dụng và biến dạng của nền được biểu diễn như sau [103]:
pk
w
w - k
p
trong đó: kp là mô đun trượt của lớp mặt nền (N/m) (coi nền là đẳng hướng và đồng nhất).
Hình 2. 2.Mô hình nền đàn hồi Pasternak
Trong nội dung luận án này ta sẽ nghiên cứu ứng xử động lực học của các kết cấu vỏ FGM tròn xoay được bao quanh kín bởi nền đàn hồi hai hệ số Pasternak và cả trường hợp đặc biệt là nền đàn hồi một hệ số Winkler, giả thiết nền có tính chất đối xứng trục .