Trên cơ sở tính toán đã trình bày, ta xây dựng chương trình PTLT để nghiên cứu dao động tự do của kết cấu vỏ nón cụt FGM.
3.1.3.1. Kiểm tra độ tin cậy của kết quả
Để khẳng định độ tin cậy của phương pháp nghiên cứu tác giả so sánh các kết quả số của phương pháp PTLT với các kết quả tính toán bằng giải tích (phương trình điều chỉnh theo lý thuyết của Donnell và được giải bằng phương pháp Galerkin) của Sofiyev [29], phương pháp phân tích miền của Yegao Qu.[38], phương pháp giải tích của Kun Xie [111] và kết quả tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần mềm Ansys. Các kết quả số so sánh được trình bày trong các bảng 3.1, 3.2 và 3.3.
Tần số không thứ nguyên
nón cụt làm bằng vật liệu FGM1 được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler- Pasternak có các thông số hình học: h=0,01; R1 = 1m; L = 2m; α = 30◦, với điều kiện biên C-F (một đầu ngàm, một đầu tự do) và kết cấu vỏ nón cụt bốn bậc làm bằng vật liệu FGM5 (có kim loại là nhôm có E = 70Gpa; µ = 0,3; = 2707 kg/m3 và gốm là hợp kim có E = 211Gpa; µ = 0,3; = 7800 kg/m3) có các thông số hình
học: góc bán đỉnh α1 = α2 = α3 = α4 = 18°, tỉ số chiều dày các bậc h1:h2 =1/2, h1: h3 = 1/3, h1: h4 = 1/4, tỉ số chiều dài các bậc L1: L2 = 1, L1: L3 = 1, L1: L4 = 1, chiều dày bậc thứ nhất h1 = 0,01m, và bán kính đáy nhỏ, đáy lớn lần lượt là R1 = 0,5m; R2 = 1m.
Bảng 3. 1So sánh tần số không thứ nguyên cơ bản của vỏ nón cụt FGM tương tác với nền
đàn hồi với số mũ p thay đổi
kw kp (N/m3) (N/m) 0 0 5x106 0 1x105 2,5x105 5x105 1x107 0 1x105 2,5x105 5x105 5x107 0 1x105 2,5x105 5x105
Bảng 3. 2So sánh tần số không thứ nguyên nhỏ nhất của vỏ nón cụt làm bằng vật liệu
FGM1I và FGM1II được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak.
kw kp (N/m3) (N/m) 0 0 5x106 0 1x105 2,5x105 1x107 5x10 5 0 1x105 2,5x105 5x107 5x10 5 0 1x105 2,5x105 5x105
* Sai khác (%)=(PTLT− Sofiyev)/ Sofiyev×100%.
Qua các bảng 3.1, 3.2 và 3.3 ta thấy sai số của kết quả tính bằng phương pháp PTLT là rất nhỏ so với các kết quả tính của các phương pháp khác (giá trị lớn nhất
là 3,78%). Điều đó khẳng định rằng độ tương đồng và tin cậy của phương pháp được sử dụng.
Bảng 3. 3So sánh tần số không thứ nguyên của vỏ nón cụt bốn bậc (FGM5I(a=1/b=0/c=2/p=0)).
n m Qu.[112] 0 1 1,0560 2 1,0876 3 1,2156 4 1,3493 5 1,3796 6 1,4990 1 1 0,6240 2 0,9848 3 1,1397 4 1,3050 5 1,4203 6 1,5529 2 1 0,3372 2 0,6610 3 0,9483 4 1,1456 5 1,3554 6 1,5261
* Sai khác (%)=(PTLT− Qu)/ Qu.×100%
3.1.3.2. Ảnh hưởng của các tham số vỏ đến tần số dao động của vỏ nón cụt FGM tương tác với nền đàn hồi
Bảng 3.4 trình bày kết quả tính toán tám tần số đầu tiên của vỏ nón cụt bốn bậc, mỗi bậc làm bằng một loại vật liệu FGM có thuộc tính khác nhau với điều kiện biên C-C. Các thông số hình học của vỏ: R1=0,5m; R2=1m, h1:h2:h3:h4=1:2:3:4; L1:L2:L3:L4=1:1:1:1; h1=0,01m, các bậc có cùng một kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMI (a=1/b=0.5/c=1/p=2). Từ bảng 3.4 ta thấy khi góc bán đỉnh α = 10o thì tần số dao động riêng của các vỏ là nhỏ nhất, khi góc α tăng làm tăng tần số dao động riêng của các vỏ, khi góc bán đỉnh α = 30o các vỏ có tần số dao động riêng cao nhất. Tần số dao động riêng của vỏ tăng khi tăng góc bán đỉnh là đúng như mong đợi, vì khi góc bán đỉnh tăng làm tăng độ cứng của kết cấu và dẫn đến tần số dao động riêng tăng. Việc thay đổi kiểu vật liệu FGM ở các bậc cũng làm cho tần số dao động riêng của vỏ thay đổi. Ở đây, ta xét hai vỏ bậc. Vỏ thứ nhất vật liệu FGM ở các bậc được bố trí theo thứ tự FGM1/FGM2/FGM3/FGM4 và vỏ thứ hai thứ tự vật liệu FGM là FGM4/FGM3/FGM2/FGM1. So sánh kết quả ta thấy vỏ thứ nhất cho tần số dao động riêng cao hơn vỏ thứ 2, sở dĩ như vậy là do thứ tự vật liệu FGM của vỏ thứ
nhất làm cho kết cấu có độ cứng cao hơn.
Bảng 3. 4Ảnh hưởng của góc nửa đỉnh α và kiểu vật liệu FGM ở các bậc đến tần số
dao động riêng của vỏ.
f Sự thay đổi vật liệu FGM ở
(HZ) các bậc của vỏ f1 FGM1/FGM2/FGM3/FGM4 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f1 FGM4/FGM3/FGM2/FGM1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8
Tiếp theo, ta xét ảnh hưởng của độ dày các bậc của vỏ nón cụt bốn bậc làm bằng vật liệu FGM đến tần số dao động riêng của kết cấu. Xét vỏ nón cụt có bốn bậc không tương tác với nền đàn hồi có các thông số kích thước như sau: L1 : L2 : L3
: L4 = 1 : 1 : 1 : 1; R1 = 0,5m; R2 = 1m; h1 = 0,01 m; α=18o, các bậc của vỏ có cùng kiểu vật liệu FGM, hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ a, b, c, p là FGM1I (a=1/b=0/c=2/p=0), vỏ được ngàm ở hai đầu.
Hình 3. 7.Ảnh hưởng của tỉ số độ dày các bậc đến tần số dao động riêng của vỏ nón cụt
có bốn bậc làm bằng vật liệu FGM.
Các tần số dao động riêng của vỏ ứng với năm tỉ số chiều dày các bậc khác nhau được khảo sát là: h1 : h2 : h3 : h4 = 1 : 2 : 3 : 4; h1 : h2 : h3 : h4 = 2 : 2 : 3 : 4; h1 : h2
: h3 : h4 = 3 : 2 : 3 : 4; h1 : h2 : h3 : h4 = 4 : 2 : 3 : 4; h1 : h2 : h3 : h4 = 4 : 3 : 2 : 1. Kết quả tính toán thể hiện trong hình 3.7. Từ hình vẽ ta thấy vỏ có tỉ số chiều dày các bậc là h1 : h2 : h3 : h4 = 1 : 2 : 3 : 4 có kết quả tần số dao động riêng cao nhất và vỏ có tỉ số chiều dày các bậc là h1 : h2 : h3 : h4 = 4 : 3 : 2 : 1 cho kết quả tần số dao động riêng thấp nhất. Điều đó được lý giải như sau: Đối với các vỏ nón cụt dạng
bậc thì chiều dày các bậc giảm dần từ mặt đáy lên đỉnh nón cho ta kết cấu vỏ cứng vững nhất và ngược lại. Vì vậy, vỏ có tỉ số chiều dày h1 : h2 : h3 : h4 = 1 : 2 : 3 : 4
sẽ có tần số dao động riêng cao nhất.
3.1.3.3. Ảnh hưởng của nền đàn hồi đến tần số dao động riêng của vỏ
Trước tiên, ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi Winkler lên tần số dao động riêng của kết cấu được khảo sát bằng việc xét kết cấu vỏ nón cụt có bốn bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler với điều kiện biên Tự do-Ngàm.
Hình 3. 8.Ảnh hưởng của hệ số đàn hồi Winkler (kw) đến tần số dao động riêng của vỏ
nón cụt bốn bậc có thuộc tính vật liệu FGM ở các bậc khác nhau.
Các thông số hình học của vỏ là: h1:h2:h3:h4=1:2:1:2; h1=0,01m, L1:L2:L3:L4=1:1:1:1; R1=0,5m; R2=1m; α=20o. Thuộc tính vật liệu FGM tại các bậc 1, 2, 3, 4 tương ứng là FGM1, FGM2, FGM4 và FGM3. Các bậc có cùng hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ là: FGMI(a=1/b=0,5/c=4/p=2). Kết quả tần số dao động tự do của vỏ tại mode n=1, m từ 1 đến 10 được chỉ ra trong hình 3.8.
Nhận xét:
Sự biến đổi của tần số dao động riêng khi kw (0; 2,5×104; 5×106; 2,5×107, 5×108; 109 N/m3) thay đổi được chỉ ra trong đồ thị hình 3.8 như sau: Khi kw5×106 N/m3 sự thay đổi độ cứng nền đàn hồi ít ảnh hưởng đến tần số dao động riêng. Quan sát trên đồ thị ta thấy các đường cong biểu diễn sự biến thiên của tần số dao động riêng ứng với giá trị của kw trong đoạn này gần như trùng nhau. Khi giá trị của độ cứng nền đàn hồi Winkler kw≥2,5×107 N/m3 thì ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi đến tần số dao động riêng được thể hiện rất rõ ràng và ta thấy rằng tần số dao động riêng của vỏ tăng khi hệ số kw tăng. Tuy nhiên, khi giá trị kw tăng đến một giá trị đủ lớn khi đó nền trở nên tuyệt đối cứng và nếu kw tiếp tục tăng thì tần số dao động riêng cũng không có sự thay đổi.
Tiếp theo, ta xét ảnh hưởng của nền đàn hồi Winkler-Pasternak đến tần số dao động riêng của vỏ có cùng các thông số hình học, thuộc tính vật liệu và điều kiện biên như trên. Tuy nhiên, luận án chỉ khảo sát ảnh hưởng của kp trong trường hợp
kw không đổi. Chọn giá trị kw = 5×106 N/m3 và kp = 102; 2,5×104; 5×106; 2,5×107; 108 (N/m) ta nhận được kết quả tần số dao động tự do của kết cấu tại mode dao động n=1, m từ 1 đến 10 như trên hình 3.9.
Hình 3. 9.Ảnh hưởng của nền đàn hồi Winkler- Pasternak đến tần số dao động riêng của
vỏ nón cụt bốn bậc có thuộc tính vật liệu FGM ở các bậc khác nhau.
Nhận xét:
* Tần số dao động riêng của vỏ tăng nhanh khi kp > 5×106 N/m.
* Khi m tăng thì ảnh hưởng của hệ số trượt của nền lên tần số dao động của vỏ cũng lớn hơn.
* Khi kp2,5×104 N/m thì hệ số trượt của nền hầu như không có ảnh hưởng lên tần số dao động của vỏ.
Cuối cùng, luận án xét ảnh hưởng đồng thời của hệ số đàn hồi Winkler và hệ số
trượt của nền đàn hồi Pasternak đến tần số dao động tự do của kết cấu vỏ nón cụt bốn bậc với điều kiện biên Tựa-Tựa (S-S). Vỏ có các thông số hình học như sau:
h1:h2:h3:h4=1:2:3:4; h1=0,01m; L1:L2:L3:L4=1:1:1:1; R1=0,5m; R2=1m; α=20o, thuộc
tính vật liệu FGM ở các bậc 1, 2, 3, 4 lần lượt là FGM1, FGM2, FGM4 và FGM3.
Hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ ở các bậc được xét là FGMI(a=1/b=0,5/c=1/p=4).
Nghiên cứu được tiến hành với các giá trị độ cứng nền đàn hồi là kw = 10-2; 102; 104; 106; 107; 5×107; 108; 2,5×108; 5×108; 109; 2,5×109; 5×109; 1010; 5×1010; 1011; 5×1011; 1012 N/m3 và kp = 0; 106; 2,5×106; 5×106; 107 N/m.
Hình 3. 10.Ảnh hưởng của kw và kp đến tần số dao động riêng của vỏ nón cụt bốn bậc có
thuộc tính vật liệu FGM ở các bậc khác nhau.
* Nhận xét:
Từ các kết quả trên đồ thị hình 3.10 ta thấy rằng khi các hệ số đàn hồi Winkler và hệ số trượt của nền đạt đến một giá trị đủ lớn thì ảnh hưởng của nó đến tần số dao động tự do của kết cấu mới rõ ràng. Cụ thể trong trường hợp này khi kw > 2,5×108 N/m3 và kp >
5×106 N/m bắt đầu thấy rõ sự ảnh hưởng của nền đến tần số dao động của vỏ, khi cho
kw tăng từ 2,5×108 N/m3 đến 5×1010 N/m3 thì tần số dao động riêng của kết cấu cũng tăng nhanh. Đến khi kw> 5×1010 N/m3 thì tần số dao động của vỏ không thay đổi mặc dù hệ số đàn hồi Winkler tiếp tục tăng và lúc này ảnh hưởng của hệ số trượt của nền đến tần số dao động của vỏ cũng không còn nữa bởi vì khi đó độ cứng của nền đã rất cao do nền gần như tuyệt đối cứng. Với kw < 2,5×108 N/m3 và kp < 5×106 N/m thì độ cứng của nền thay đổi ít ảnh hưởng đến tần số dao
động của kết cấu. Khi kp > 5×106 N/m thì hệ số trượt bắt đầu ảnh hưởng đến tần số dao động của kết cấu vì trên đồ thị ta thấy lúc này đường cong ứng với kp = 107 N/m
đã có sự tách biệt rõ ràng so với các đường cong khác.
3.1.3.4. Ảnh hưởng của số mũ p và hệ số b của hàm tỉ lệ thể tích đến tần số dao động riêng
Trong mục này, luận án nghiên cứu ảnh hưởng của số mũ p ( từ 0 đến 100) và hệ số
b( từ 0 đến 1) của hàm tỉ lệ thể tích đến bốn tần số đầu tiên của vỏ nón cụt bốn bậc, thuộc tính vật liệu FGM của các bậc 1,2, 3, 4 lần lượt là FGM1, FGM2, FGM4 và
FGM3. Các thông số hình học của vỏ là: h1:h2:h3:h4=1:2:3:4, h1=0.01m, L1:L2:L3:L4=1:1:1:1; R1=0,5m; R2=1m; α=30o. Kiểu hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ của vỏ như sau: FGMI (a=1/0b1/c=3/p). Vỏ không tương tác với nền đàn hồi.
Từ các thông số trên, tác giả xây dựng chương trình PTLT tính tần số dao động tự do cho kết cấu. Ma trận độ cứng động lực được ghép nối từ ma trận của 4 phần tử vỏ nón đơn với thuật toán ghép nối đã được trình bày ở trên. Sau khi chạy chương trình và vẽ đồ thị ta thu được kết quả trong hình 3.11.
Hình 3. 11.Ảnh hưởng của hệ số b và số mũ p của hàm tỉ lệ thể tích đến tần số dao động
của kết cấu vỏ nón cụt có bốn bậc với điều kiện biên F-C
* Nhận xét:
* Tần số dao động của vỏ có giá trị lớn nhất ứng với p = 0 (vật liệu hoàn toàn là gốm) và có giá trị nhỏ nhất khi p = 100 (vật liệu gần như hoàn toàn là kim loại). Khi
p tăng thì thành phần gốm trong hàm tỉ lệ thể tích giảm, thành phần kim loại tăng làm cho độ cứng của kết cấu giảm dẫn đến tần số dao động riêng của vỏ giảm, điều đó hoàn toàn đúng như mong đợi.
* Tần số dao động của kết cấu giảm khi tăng hệ số b của hàm tỉ lệ thể tích. Tuy nhiên, ảnh hưởng này chỉ được thấy rõ khi p > 40. Khi p >100 thì b gần như không ảnh hưởng gì đến tần số dao động của kết cấu do lúc này hàm tỉ lệ thể tích đã gần tiến tới 0 và vật liệu lúc này đồng nhất là kim loại.