đàn hồi
Tương tự như chương 2, ma trận độ cứng động lực của vỏ nón-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi được sơ đồ hóa ghép nối như trên hình 4.4. Như vậy ma trận độ cứng động lực của vỏ nón-trụ FGM trực hướng, tương tác với nền đàn hồi
K()m được ghép từ hai phần tử vỏ. Ma trận độ cứng của phần tử 1 là K1m(), kích cỡ 10x10 cho phần tử vỏ trụ FGM tương tác với nền đàn hồi như ở chương 2; ma trận độ cứng của phần tử 2 là K2m() cho phần tử vỏ nón FGM tương tác với nền đàn hồi. Khi ghép ma trận độ của cứng phần tử 1 và phần tử 2 thì véc tơ chuyển vị lúc này là UT=(u0, v0, w0,x0,0, u1, v1, w1,x1,1, u2, v2, w2,x2,2), do đó ma trận độ cứng động lực cho phần tử 1 và phần tử 2 sẽ là ma trận 15x15. Ma trận độ cứng động lực cho vỏ nón-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi như trên hình vẽ được ghép nối từ hai phần tử liên tục. Như vậy, khi ghép ma trận độ cứng động lực cho phần tử 1, phần tử 2 như trên hình vẽ ta sẽ được ma trận độ cứng tổng là K()m
có cỡ ma trận là 15x15, với véc tơ chuyển vị lúc này là UT=(u0, v0, w0,x0,0, u1, v1, w1,x1,1, u2, v2, w2,x2,2).
Hình 4. 4.Mô hình ghép nối ma trận động lực vỏ nón-trụ FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi.
Từ ma trận độ cứng động lực ta có phương trương trình biểu diễn quan hệ giữa lực và chuyển vị: F (4.2)
Giải hệ phương trình (4.2) bằng phương pháp đường cong đáp ứng, ta xác định được tần số dao động tự do của kết cấu. Tương tự, để thu được đường cong đáp ứng
ta đặt một lực đơn vị
ở nút đầu tự do của kết cấu như hình 4.5:
Hình 4. 5.Phương pháp thu nhận đường cong đáp ứng cho vỏ nón-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi.
Áp dụng các điều kiện biên và giải hệ phương trình (4.2), dựng đường cong đáp ứng logw- như trong chương 3, ta sẽ xác định được tần số dao động tự do của kết cấu. Đường cong đáp ứng được vẽ trong Matlab như sau:
20 *l og 10 (w ) f( Hz)
Hình 4. 6.Đường cong đáp ứng của vỏ nón-trụ FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi
Winkler- Pasternak với điều kiện biên tự do-ngàm.
Đường cong đáp ứng trên hình 4.6 có trục hoành biểu diễn các giá trị tần số, còn trục tung biểu diễn chuyển vị w của kết cấu. Đường cong đáp ứng trên được xây dựng cho vỏ nón-trụ ghép nối làm bằng vật liệu FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler- Pasternak với điều kiện biên tự do-ngàm (F-C). Các thông số hình học của vỏ ghép nối là: R2=1m; L2/R2=1; h=0,01R2; L1=L2; R1=0,658R2, góc bán đỉnh của vỏ nón =200, phần tử vỏ trụ và nón đều làm bằng vật liệu FGM3(gốm (Al2O3): =0,3; E=3,8x1011Nm-2; =3800kgm-3; kim loại(Al): =0,3;
E=70x1011Nm-2;=2707kgm-3). Các bậc có cùng hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ là: FGMI(a=1/b=0/c/p=1). Nền đàn hồi thuần nhất có kw = 2,5×106 N/m3 và kp =
5×106 (N/m. Giá trị các tần số của mode n=1, m=1-10 lần lượt là: f11=849 Hz; f12=623 Hz; f13=521 Hz; f14=486,5 Hz; f15=496 Hz; f16=528,5 Hz; f17=566,5 Hz; f18=618 Hz; f19=706,5 Hz; f110=887 Hz (chi tiết các giá trị tần số được tính trong hình 4.7).
Để tính được các mode dao động ta lần lượt thay đổi các giá trị của mode m trong chương trình tính.
Để xác định được các tần số dao động ta thay đổi các vị trí đặt lực xung quanh vành nút của kết cấu (bằng cách lần lượt thay đổi các giá trị góc quay trong chương trình tính).
4.2.4. Kết quả và thảo luận
Từ thuật toán đã trình bày, chương trình PTLT có tên là VshellNT đã được xây dựng để nghiên cứu dao động tự do của vỏ nón-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi.
4.2.4.1. Kiểm tra độ tin cậy của kết quả
Để kiểm tra độ tin cậy của chương trình PTLT, luận án so sánh tần số dao động
không thứ nguyênR21
Đầu tiên, ta lập chương trình phần tử liên tục để tính toán tần số tự nhiên cho kết cấu vỏ liên hợp nón - trụ ghép nối với điều kiện biên tự do - ngàm như hình 4.2 với các kích thước và đặc tính vật liệu như sau: R2=1m; L2/R2=1; h=0,01R2; L1=L2; R1=0,4226R2; =300; FGM2(Gốm:=0,3; E=2,11x1011Nm-2;=7800kgm-3; kim loại:=0,3; E=70x1011Nm-2;=2707kgm-3). Chạy chương trình phần tử liên tục và thu được các kết quả số về tần số dao động của kết cấu. Từ kết quả thu được của tần số dao động ở các mode của kết cấu vỏ phức tạp nón-trụ bởi PTLT ta so sánh, đối chiếu với các kết quả ở các nghiên cứu của Irie và cộng sự [31] sử dụng cách tiếp cận ma trận truyền, Caresta và Kessissoglou [36] đã áp dụng giải pháp chuỗi lũy thừa và phương trình sóng và kết quả của Kouchakzadeh [114] sử dụng lý thuyết vỏ thoải thành mỏng của Donnell và nguyên lý Hamilton. Ngoài ra, ta giả còn so sánh với kết quả của phương pháp PTHH (chạy trên phần mềm Ansys với lưới chia 80
20) được trình bày trong bảng 4.1.
Bảng 4. 1.So sánh tần số không thứ nguyên của vỏ ghép nối nón-trụ làm bằng
FGM2I(a=1/b=0/c=2/p=0) với điều kiện biên F-C, kw = kp = 0.
n m Irie et al. [31] 1 1 0,2930 2 0,6368 3 0,8116 4 0,9316 5 0,9528 2 1 0,1010 2 0,5032 3 0,6916 4 0,8592 5 0,9164 3 1 0,09076 2 0,3921 3 0,5148 4 0,7537 5 0,7970 Từ bảng 4.1, ta có các nhận xét:
Kết quả số của phương pháp PTLT, phương pháp PTHH và các nghiên cứu khác cho 24 mode dao động là rất tương đồng.
Kết quả số của phương pháp PTHH phụ thuộc vào mật độ lưới chia, lưới chia càng mau thì độ chính xác càng cao và càng tiến tới kết quả của phương pháp PTLT và các kết quả giải tích khác.
Thuật toán và chương trình tính cho kết quả tin cậy.
4.2.4.2. Ảnh hưởng của số mũ lũy thừa p đến tần số dao động tự do của vỏ nón-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi
Để nghiên cứu ảnh hưởng của số mũ lũy thừa p đến tần số dao động tự do của vỏ nón-trụ FGM, luận án xét vỏ nón-trụ FGM . Vỏ chịu liên kết ngàm–tự do (C/F). Vật liệu của vỏ là FGM2 được cấu thành từ hai thành phần hợp kim (gốm) và nhôm(kim loại), vỏ có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMI với các tham số a = 1, b = 0, c = 2, p. Thông số hình học của vỏ: R2=1m; L2/R2=1; h=0,01R2; L1=L2; R1=0,4226R2;
=300. Vỏ được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler - Pasternak có hệ số nền
kw=2,5107 N/m3; kp=5106 N/m. Các kết quả số được cho trong bảng 4.2.
Bảng 4. 2.Mười tần số đầu tiên của vỏ ghép nối nón-trụ làm bằng
FGM2I(a=1/b=0/c=2/p) với điều kiện biên (C-F) và số mũ p thay đổi. f (Hz) 0 f1 257 f2 298 f3 365,5 f4 445,5 f5 487 f6 488,5 f7 489 f8 494,5 f9 527,5 f10 532,5
Từ các kết quả tính toán về tần số dao động trong bảng 4. 2 ta thấy rằng tần số tự nhiên giảm khi p tăng từ 0 đến ∞. Do các tính chất và thuộc tính vật liệu FGM được cho bởi kiểu hàm tì lệ thể tích. Ở đây, với kiểu hàm tỉ lệ thể tích được xét thì khi p = 0 thì vật liệu FGM lúc này hoàn toàn là gốm (hợp kim) Vc=1 nên có độ cứng cao nhất và tần số tự nhiên tính toán nhận được sẽ cao nhất, khi tăng p thì tỉ lệ thể tích của gốm giảm và tỉ lệ thể tích của kim loại(nhôm) tăng lên làm cho kết cấu vỏ giảm độ cứng dẫn đến tần số tự nhiên của vỏ giảm dần. Khi p = 100(∞) thì tỉ lệ thể tích của vật liệu FGM lúc này hoàn toàn là nhôm(Vc=0) nên vỏ có độ cứng nhỏ nhất do đó các kết quả tần số tự nhiên nhận được cũng nhỏ nhất điều đó cho thấy các kết
quả số tính toán tần số dao động của kết cấu vỏ non- trụ là hoàn toàn phù hợp. Từ kết quả trong các bảng 4. 2 ta vẽ đồ thị biểu diễn ảnh hưởng của số mũ p đến tần số dao động tự do của vỏ nón-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi hình 4.7
Hình 4. 7.Ảnh hưởng của số mũ p đến tần số dao động tự do của vỏ nón-trụ FGM tương
tác với nền đàn hồi.
4.2.4.3. Ảnh hưởng của nền đàn hồi đến tần tự nhiên của vỏ liên hợp nón-trụ FGM
Trong phần này luận án nghiên cứu ảnh hưởng của nền đàn hồi Winkler, Pasternak đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp nón-trụ với điều kiện biên tự do- ngàm(F-C) như hình 4.2, các thông số hình học của vỏ: R2=1m; L2/R2=1; h=0,01R2; L1=L2; R1=0,4226R2;=300. Thuộc tính vật liệu, kiểu hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ của hàm tỉ lệ thể tích được nghiên cứu là: FGM2I(a=1/b/c/p).
a) Ảnh hưởng của mô hình nền đàn hồi Winkler
Hình 4. 8.Ảnh hưởng của nền đàn hồi Winkler đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp nón-trụ
lằng bằng FGM2I(a=1/b=0,5/c=2/p=5).
Năm giá trị khác nhau của kw (2,5×104; 5×106; 2,5×107; 5×108; 109 N/m3) được lấy cho nghiên cứu và kết quả được minh họa trong hình 4.8. Dễ dàng nhận thấy rằng khi kw2,5×107 N/m3 thì ảnh hưởng của độ cứng móng Winkler đến tần số tự nhiên là rất nhỏ. Khi độ cứng của móng Winkler kw≥5×108 N/m3, tần số tự nhiên của vỏ tăng khi kw tăng và khi đó ảnh hưởng của kw đến tần số tự nhiên là rõ ràng. Khi kết cấu không tương tác với nền đàn hồi Winkler (kw, kp =0) thì tần số tự nhiên tính toán được là bé nhất, từ đó cho ta thấy nền đàn hồi có ảnh hưởng làm tăng giá trị của tần số tự nhiên của các kết cấu.
b) Ảnh hưởng của mô hình nền đàn hồi Pasternak
- Trường hợp 1: Xét ảnh hưởng của nền với kw không đổi còn kp có giá trị tăng dần f ( H z ) 1500 1000 500 0 0
Hình 4. 9.Ảnh hưởng của nền đàn hồi Pasternak đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp nón-
trụ lằng bằng FGM2I(a=1/b=0/c=2/p=1).
Ảnh hưởng của nền đàn hồi Pasternak đến tần số dao động của vỏ nón-trụ FGM cũng được luận án đề cập đến cho trường hợp kết cấu được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak, nền có độ cứng Winkler kw = 5×106 N/m3 và mô đun cắt(trượt) kp. Ở đây năm giá trị khác nhau của mô đun cắt của nền đàn hồi kp = 1×102; 2,5×104; 5×106; 2,5×107; 108 (N/m) được chọn để tính toán tấn số dao động, ứng với các giá trị kw, kp khác nhau ta nhận được kết quả tính toán tần số dao động như trong hình
4. 9 từ đồ thị ta thấy tần số tự nhiên của kết cấu tăng nhanh khi kp > 5×106 N/m. Khi các mốt chu vi m của vỏ tăng thì ảnh hưởng của mô hình nền Pasternak đến tần số tự nhiên càng lớn. Với kp 2,5×104 N/m thì mô hình nền đàn hồi Pasternak hầu như không ảnh hưởng đến tần số tự nhiên của vỏ. Khi kết cấu không tương tác với nền đàn hồi Pasternak (kw, kp =0) thì tần số tự nhiên tính toán được là bé nhất, từ đó cho ta thấy nền đàn hồi có ảnh hưởng làm tăng giá trị của tần số tự nhiên của các kết cấu.
- Trường hợp 2: Xét ảnh hưởng của nền với hệ số kw, kp có giá trị tăng dần Trước tiên, ta lập chương trình phần tử liên tục để tính toán tần số tự nhiên cho kết cấu vỏ liên hợp nón - trụ ghép nối với điều kiện biên tự do - ngàm(F-C) như hình 4.2 với các kích thước và đặc tính vật liệu như sau: R2=1m; L2/R2=1; h=0,01R2; L1=L2; R1=0,636R2; =200, FGM3 (Gốm (Al2O3): =0,3;
E=380x1011Nm-2; =3800kg.m-3; kim loại(Al): =0,3; E=70x1011Nm-2;
=2707kg.m-3), với kw, kp thay đổi. Kết quả tính toán của các tần số tự nhiên đầu tiên ứng với giá trị của kw, kp được lập trong đồ thị hình 4.10.
f (Hz)
kw
Hình 4. 10.Ảnh hưởng của nền đàn hồi Pasternak đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp
nón-trụ lằng bằng FGM3I(a=1/b=0,5/c=1/p=2).
Ảnh hưởng đồng thời của cả hai hệ số kw, kp đến tần số tự nhiên của kết cấu được chỉ ra trên đồ thị hình 4.10: Với 0 < kp 1108N/m thì sự thay đổi hệ số trượt có ảnh hưởng rất nhỏ đến tần số tự nhiên của vỏ và khi đó ảnh hưởng của nền đàn hồi Pasternak đến tần số tự nhiên chủ yếu là do kw thay đổi. Khi 0 < kw <
1106N/m3 thì sự thay đổi của kw cũng gần như chưa có ảnh hưởng đến tần số dao động của vỏ, khi kw 1106N/m3 thì sự ảnh hưởng của hệ số cứng của nền đến tần số tự nhiên là rất rõ rang (khi kw tăng thì tần số tự nhiên của vỏ tăng và khi kw đạt giá trị giới hạn thì nó cũng không còn ảnh hưởng đến tần số dao động của kết cấu nữa). Khi kp > 1107N/m thì sự ảnh hưởng của hệ số trượt đến tần số tự nhiên của kết cấu khá rõ rệt, nó được thể hiện trên đồ thị là đường cong biểu diễn tần số dao
động ứng với kp = 1108N/m đã tách biệt so với các đường cong khác và kp tăng thì làm cho tần số tự nhiên của kết cấu tăng nhanh.
d) Ảnh hưởng của góc, điều kiện biên liên kết vỏ, kiểu hàm tỉ lệ thể tích đến
tần số tự nhiên
Chương trình phần tử liên tục cũng được lập cho kết cấu vỏ liên hợp nón-trụ như phần c để tính toán tần số tự nhiên của kết cấu khi góc của phần tử nón, điều kiện biên liên kết của vỏ và kiểu hàm tỉ lệ thể tích thay đổi.
Kết quả tính toán nhận được trong bảng 4.3 cho ta thấy ảnh hưởng của góc
đến tần số tự nhiên.
Bảng 4. 3.Ảnh hưởng của góc đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp nón-trụ làm bằng
FGM3I(a=1/b=0/c/p=1); điều kiện biên C-F; kw=5106 N/m3, kp=5106 N/m.
Từ kết quả tính toán trong bảng 4.3 ta vẽ được đồ thị như hình 4.11
Hình 4. 11.Ảnh hưởng của góc đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp nón-trụ làm bằng
FGM3I(a=1/b=0/c/p=1); điều kiện biên C-F; kw=5106N/m3, kp=5106N/m.
Từ kết quả trong bảng 4.3 và hình 4.11 ta thấy rằng khi góc của phần tử vỏ nón tăng làm cho tần số tự nhiên của kết cấu tăng là hoàn toàn phù hợp vì khi góc
càng tăng thì kết cấu càng trở nên cứng vững hơn nên tần số nhận được tăng là đúng như mong đợi. Mặt khác, khi các mốt chu vi m (m>2) của của kết cấu vỏ liên hợp nón-trụ tăng cùng làm tăng tần số tự nhiên.
Bảng 4.4 cũng chỉ ra ảnh hưởng của điều kiện biên liên kết vỏ đến tần số tự nhiên. Các kết quả được tính toán cho các trường hợp góc của phần tử nón bằng
10°, 20°, 30° ứng với kết cấu một đầu ngàm, một đầu tự do(C-F) và kết cấu hai đầu dược ngàm chặt (C-C). Từ các kết quả ta nhận thấy với vỏ được ngàm chặt hai đầu thì tần số tự nhiên tính toán nhận được ở các mốt theo chu vi của kết cấu cao hơn so với kết cấu C-F, sở dĩ như vậy là do kết cấu ở dạng C-C cho độ cứng cao hơn.
Bảng 4. 4.Ảnh hưởng của góc và điều kiện biên liên kết đến tần số tự nhiên của vỏ liên
hợp nón-trụ làm bằng FGM3I(a=1/b=0/c=1/p=1); kw=5106N/m3, kp=5106N/m. m 1 2 3 4 5 6
Ảnh hưởng của kiểu hàm tỉ lệ thể tích đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp nón-trụ cũng được tính toán cho ba trường hợp với góc của phần tử nón bằng 10°, 20°, 30° ứng với kết cấu được ngàm chặt hai đầu (C-C). Các kết quả tính toán cho ba trường hợp được liệt kê trong bảng 4.5 cho ta thấy mức độ ảnh hưởng của kiểu hàm tỉ lệ thể tích của kết cấu vỏ trong trường hợp này ảnh hưởng không đáng kể đến tần