Ma trận độ cứng động lực của vành bậc có n bậc làm bằng vật liệu FGM được xây dựng theo sơ đồ ghép nối như hình 3.15.
Hình 3. 15.Ma trận độ cứng động lực của vành bậc được ghép nối từ các ma trận độ
cứng động lực của các phần tử vành đơn.
Tương tự như mục 3.1.2 ta có ma trận độ cứng tổng cho vành có n bậc là K()1-n,m
có cỡ là ma trận vuông cấp 5×(n+1). (3.10)
Giải hệ phương trình (3.10) bằng phương pháp đường cong đáp ứng ta xác định được tần số dao động tự do của kết cấu. Đường cong đáp ứng cho kết cấu đang khảo sát được vẽ trong Matlab như hình 3.16. Đường cong đáp ứng có trục hoành biểu diễn các giá trị tần số, còn trục tung biểu diễn chuyển vị w của kết cấu. Đường cong đáp ứng trên được xây dựng cho vành có 3 bậc làm bằng vật liệu FGM tương tác với nền đàn hồi thuần nhất Winkler-Pasternak có kw=107N/m3, kp=5×106N/m với điều kiện biên ngàm-tự do,
FGM3I(a=1/b=0/c=2/p=100). Vành có các thông số hình học là: R0 = 0,25m; h1 = 0,24m; R1 = 1m; h2 = 0,2m; R2 = 2m; h3 = 0,16m; R3 = 4m.
với giá trị các tần số của mode n=1, m=0-4 lần lượt là: f10=26,2 Hz; f11=27,0 Hz; f12=34,0 Hz; f13=49,5 Hz; f14=72,2 Hz. 20 *l og 10 (w ) f( Hz)
Hình 3. 16.Đường cong đáp ứng của vành bậc FGM với điều kiện biên ngàm-tự do.
* Để tính được các mode dao động ta lần lượt thay đổi các giá trị của mode m trong chương trình tính.
* Để xác định được các tần số dao động ta thay đổi các vị trí đặt lực xung quanh vành nút của kết cấu (bằng cách lần lượt thay đổi các giá trị góc quay trong chương trình tính).
3.2.3 Kết quả và thảo luận
Trên cơ sở mô hình đã thiết lập chương trình PTLT để nghiên cứu dao động tự do của vành bậc FGM đã được xây dựng.
3.2.3.1. Kiểm tra độ tin cậy của kết quả
Để khẳng định độ tin cậy của mô hình nghiên cứu, tác giả so sánh các kết quả số của phương pháp PTLT với các kết quả tính toán bằng giải tích sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin và kỹ thuật phân tích miền của Shahrokh Hosseini-Hashemi [113] cùng với các kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần mềm Ansys. Các kết quả so sánh được trình bày trong bảng 3.5.
Tần số dao động được kiểm định cho kết cấu vành có hai bậc làm bằng vật liệu FGM3I(a=1/b=0/c/p=1) không tương tác với nền đàn hồi có các thông số hình học: R0
= 0,25m; h1 = 0,2m; R1 = 1m; h2 = 0.1m; R2 = 2m.
Bảng 3. 5So sánh 9 tần số đầu tiên của vành có hai bậc không tương tác với nền đàn hồi Điều Mode kiện (m, n) biên Ref.[113]110,283 F-C PTHH (Shell 281) PTLT Sai khác(%) Mode (m, n) S-S Ref.[113]190,507 PTHH (Shell 281) PTLT Sai khác(%)
* Sai khác (%)=(PTLT− Ref.[113])/ Ref.[113]×100%.
Từ các kết quả so sánh trong bảng 3.5 ta thấy sự sai khác của kết quả tính bằng phương pháp PTLT là nhỏ so với các kết quả tính của các phương pháp khác (nhỏ hơn 5%). Điều đó khẳng định rằng độ tin cậy của phương pháp được sử dụng.
3.2.3.2.Ảnh hưởng của các tham số đến tần số dao động riêng của vành bậc có và không tương tác với nền đàn hồi
* Ảnh hưởng của số mũ p và điều kiện biên đến tấn số dao động của vành bậc.
Xét vành có ba bậc, các bậc có cùng kiểu vật liệu FGM, hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ là FGM3II(a=1/b=0/c=2/p). Vành có các thông số hình học như sau: R0 = 0,25m; h1 = 0,24m; R1 = 1m; h2 = 0,2m; R2 = 2m; h3 = 0,16m; R3 = 4m.
Từ các dữ liệu đã cho ta lập chương trình phần tử liên tục để tính toán tần số dao động tự do cho kết cấu. Kết quả tính toán cho 10 mode dao động đầu tiên theo chu vi của vành với điều kiện biên C-C và C-F được chỉ ra trong hình 3.17.
Hình 3. 17.Ảnh hưởng của số mũ p và điều kiện biên đến tần số dao động
Nhận xét:
* Hình 3.17 a và b cho thấy tần số dao động của kết cấu ứng với điều kiện biên C-C cao hơn so với điều kiện biên C-F. Kết quả nhận được hoàn toàn hợp lý vì với các kết cấu vành được ngàm chặt hai đầu thì độ cứng vững cao hơn kết cấu có một đầu ngàm một đầu tự do.
* Số mũ p của hàm tỉ lệ thể tích tăng làm cho tần số dao động riêng giảm là hoàn toàn phù hợp đối với các kết cấu làm bằng vật liệu FGM. Khi p = 0 thì vật liệu FGM lúc này trở thành vật liệu đồng nhất là gốm có độ cứng cao nên kết cấu cũng cứng vững nhất và dẫn đến kết quả tần số dao động nhận được cũng là cao nhất. Khi p tăng thì tỉ phần kim loại của vật liệu FGM tăng làm cho độ cứng của kết cấu giảm dần và khi p = thì vật liệu FGM trở thành hoàn toàn là kim loại lúc đó kết cấu có độ cứng nhỏ nhất nên vành có tần số dao động cũng là nhỏ nhất.
* Ảnh hưởng của thuộc tính vật liệu FGM ở các bậc của vành và kiểu hàm tỉ lệ thể tích.
Đối tượng nghiên cứu ở mục này là vành có ba bậc với các thông số hình học là
R0 = 0,25m; h1 = 0,24m; R1 = 1m; h2 = 0,2m; R2 = 2m; h3 = 0,16m; R3 = 4m. Các bậc của vành được làm từ vật liệu FGM1, FGM2 hoặc FGM3 và có cùng kiểu hàm tỉ lệ thể tích là FGMI(a=1/b=0,5/c=1/p=2). Bằng cách thay đổi thứ tự vật liệu FGM ở các bậc ta đưa ra năm kiểu vành như sau:
- Kiểu A: bậc thứ nhất làm bằng FGM3, bậc thứ hai làm bằng FGM2 và bậc thứ ba làm bằng FGM3; - Kiểu B: bậc thứ nhất làm bằng FGM3, bậc thứ hai làm bằng FGM2 và bậc thứ ba làm bằng FGM2; - Kiểu C: bậc thứ nhất làm bằng FGM3, bậc thứ hai làm bằng FGM2 và bậc thứ ba làm bằng FGM1; - Kiểu D: bậc thứ nhất làm bằng FGM3, bậc thứ hai làm bằng FGM1 và bậc thứ ba làm bằng FGM2; - Kiểu E: bậc thứ nhất làm bằng FGM1, bậc thứ hai làm bằng FGM2 và bậc thứ ba làm bằng FGM3.
Các kết quả số về tần số dao động riêng của các kiểu vành trên được thể hiện trong bảng 3.6.
* Nhận xét:
Ảnh hưởng của các kiểu vành đến 10 tần số dao động riêng đầu tiên trong bảng 3.6 là hợp lý và điều này được giải thích như sau:
Bảng 3. 6Ảnh hưởng của thuộc tính vật liệu FGM ở các bậc đến tần số dao động của vành có hai bậc với điều kiện biên C-C
Tần số (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10
Mỗi bậc của vành được làm bằng một loại vật liệu FGM khác nhau, do đó độ cứng của các bậc cũng khác nhau. Bằng sự hoán đổi ba loại vật liệu FGM ở ba bậc là vật liệu FGM1, FGM2 và FGM3 ta tạo ra năm kiểu vành A, B, C, D, E có độ cứng khác nhau. Kết cấu vành kiểu E có độ cứng cao nhất do đó 10 tần số dao động riêng đầu tiên thu được cũng cao nhất và tần số dao động riêng giảm dần theo thứ tự: vành kiểu A, kiểu C và kiểu B. Kết cấu vành kiểu D có độ cứng thấp nhất nên tần số dao động riêng thu được cũng nhỏ nhất.
Tiếp theo, ta nghiên cứu ảnh hưởng của số mũ p và thuộc tính vật liệu FGM đến tần số dao động của vành có ba bậc không tương tác với nền đàn hồi với điều kiện biên C-F, các bậc được làm bằng cùng một loại vật liệu FGM, có cùng kiểu hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ là FGMI(a=1/b=0/c=2/p). Các thông số của vành là: R0 = 0,25m; h1 = 0,24m; R1 = 1m; h2 = 0,2m; R2 = 2m; h3 = 0,16m; R3 = 4m.
Hình 3. 18.Ảnh hưởng của thuộc tính vật liệu FGM và số mũ p đến tần số dao động của
vành có ba bậc
Các kết quả số và đồ thị biểu diễn tần số dao động của mười mode đầu tiên theo chu vi được biểu diễn trong hình 3.18.
* Nhận xét:
Ảnh hưởng của số mũ p đến tần số dao động đối với vành làm bằng vật liệu FGM3 và vật liệu FGM2 là như nhau: cụ thể là khi số mũ p của hàm tỉ lệ thể tích tăng làm cho tỉ lệ thể tích kim loại tăng và tỉ lệ thể tích gốm giảm làm cho độ cứng của vành giảm dẫn đến tần số dao động giảm. Khi p = 0 vành hoàn toàn làm bằng gốm nên có độ cứng cao nhất và kết quả tần số dao động nhận được cũng cao nhất . Trái lại, khi p= thì vật liệu của vành hoàn toàn là nhôm nên có độ cứng bé nhất và khi đó tần số dao động nhận được cũng bé nhất.
Khi các mode cheo chu vi tăng thì tần số dao động của vành tăng.
Hơn nữa, có thể thấy rằng tần số dao động riêng của vành làm bằng vật liệu FGM1 là cao hơn so với vành làm bằng vật liệu FGM2 vì vật liệu FGM1 có mô đun đàn hồi cao hơn vật liệu FGM2.
Ưu điểm của Phương pháp PTLT so với PTHH là cho kết quả tính toán có độ chính xác cao đối với cả các miền tần số trung bình và cao, tốc độ tính toán nhanh, không gian lưu trữ nhỏ. Các kết quả thu được trong bảng 3.5, hình 3.17 và hình 3.18 là mới đối với các kết cấu được nghiên cứu và có thể sử dụng nó làm tham chiếu để so sánh với các kết quả nghiên cứu bằng các phương pháp khác.