2.3.1.1 Kết cấu vỏ trụ FGM tương tác với nền đàn hồi
Xét mô hình vỏ trụ FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số theo mô hình Winkler-Pasternak với kw là hệ số đàn hồi Winkler và kp là hệ số trượt của nền như hình 2.5. Vỏ có chiều dài L, chiều dày h, bán kính R:
Hình 2. 5.Mô hình vỏ trụ FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak.
Để tìm tần số dao động tự do của mô hình vỏ nói trên bằng phương pháp phần tử liên tục ta cần xây dựng ma trận độ cứng động lực cho kết cấu này. Sau đó, áp dụng phương pháp đường cong đáp ứng để tính tần số dao động của kết cấu. Các bước xây dựng ma trận độ cứng động lực của vỏ trụ FGM tương tác với nền đàn hồi tương tự như mục 2.2 với α = 0o, chỉ khác ở bước 5 từ công thức (2.20) ta có thể biến đổi và tính chính xác ma trận truyền như sau:
Trong đó hàm
dụng hàm Matlab exp(A) để xác định hàm mũ ma trận
e
* Kết quả số và nhận xét
Trong phần này, tác giả lập trình Matlab để có được chương trình PTLT dựa theo các bước tính toán trong mục 2.2, sau đó chạy chương trình để có được kết quả tần số dao động tự do của kết cấu vỏ trụ FGM.
a) Kiểm tra độ tin cậy của kết quả
Để khẳng định độ tin cậy của phương pháp nghiên cứu, tác giả so sánh các kết quả số của phương pháp PTLT với các kết quả tính toán sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phương pháp Rayleigh-Ritz của Jin và công sự [108].
Nghiên cứu kết cấu vỏ trụ FGM với các thông số hình học: R=1m, h=0.1m, L=5m. Các kết quả so sánh được chỉ ra trong bảng 2.1. Sự sai khác giữa các kết quả của phương pháp PTLT và các kết quả của tài liệu [108] thay đổi từ 0,0% đến 4,74%. Các sai lệch này không lớn chứng tỏ sự đúng đắn của mô hình đã xây dựng.
Bảng 2. 1So sánh 3 tần số đầu tiên của vỏ trụ FGM với điều kiện biên C - C, kw = 0, kp =
0. Kiểu FGM FGM2I(a=1/ b=0,5/c=2/p) FGM2II(a=1/ b=0,5/c=2/p)
b) Ảnh hưởng của các thông số vỏ, số mũ p và hệ số kw, kp đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM
Các kết quả trong bảng 2.2 cho thấy ảnh hưởng của số mũ p, hệ số kw và kiểu hàm tỉ lệ thể tích đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM. Khi p tăng làm cho tần số dao động riêng của vỏ giảm và điều đó đã được giải thích với vật liệu FGM. Mặt khác, khi kw=0, kp=0 (nền không đàn hồi) tần số dao động riêng nhận được nhỏ hơn khi kết cấu được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler kw=107N/m3. Vỏ có thuộc tính vật liệu biến thiên theo kiểu hàm tỉ lệ thể tích 1 cho tần số dao động riêng thấp hơn kết cấu vỏ có kiểu hàm tỉ lệ thể tích 2.
Bảng 2. 2Ba tần số đầu tiên của vỏ trụ FGM với điều kiện biên ngàm-ngàm
Kiểu FGM
FGM2I(a=1/b=0,5 /c=2/p)
Ảnh hưởng của tỉ số h/R (h/R = 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,1; R=1m; L=5m) được thể hiện trong hình 2.6. Thuộc tính vật liệu FGM, kiểu hàm tỉ lệ thể tích và các hệ số a, b, c, p được khảo sát là: FGM2II(a=1/b=0,5/c=2/p=5). Vỏ được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số Winkler-Pasternak với kw=106 N/m3, kp = 108N/m. Từ hình vẽ ta thấy tần số dao động riêng của vỏ ứng với h/R=0,02 là cao nhất và tần số giảm dần khi h/R tăng. Tần số giảm khi tỉ số chiều dày và bán kính tăng là do khi tỉ số này tăng khiến kết cấu vỏ càng dày dẫn đến trọng lượng của vỏ tăng nhanh. Việc tăng trọng lượng chính là nguyên nhân dẫn đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM giảm. f (Hz) 700 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 m h/R=0.02 h/R=0.04 h/R=0.06 h/R=0.08 h/R=0.1 7 8 9 10 11 12
Hình 2. 6. Ảnh hưởng của tỉ số h/R đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak với điều kiện biên tự do-ngàm.
Hình 2.7 trình bày ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi kw, kp đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM. Các giá trị khảo sát của các hằng số độ cứng Winkler và Pasternak lần lượt là: kw = 10-2, 102, 104, 106, 107, 108, 109, 1010, 1011, 1012 N/m3 và
kp = 102, 104, 106, 108 N/m.
Hình 2. 7.Ảnh hưởng của kw, kp đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM với điều kiện
biên S-S, thuộc tính vỏ: FGM2I(a=1/b=0/c=2/p=0,6) L=5m, R=1m, h=0,02m.
Từ hình vẽ ta thấy với kw< 107 N/m3 và kp<106 N/m ảnh hưởng của hai hệ số này đến tần số dao động riêng là không đáng kể vì giá trị của chúng còn nhỏ. Khi kw từ
107 N/m3 đến 1010 N/m3 và kp từ 106 N/m đến 108 N/m thì ảnh hưởng của độ cứng Winkler và Pasternak đến tần số dao động riêng rõ rệt hơn và tần số dao động riêng tăng nhanh khi hai hệ số này tăng. Cuối cùng, khi giá trị của độ cứng Winkler đạt giới hạn kw>1010 N/m3 thì kw, kp không ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của vỏ nữa do lúc này nền đã trở nên rất cứng.
2.3.1.2 Kết cấu vỏ trụ FGM không tương tác với nền đàn hồi
Xét mô hình vỏ trụ FGM có bán kính R chiều dài L, chiều dày h với hệ tọa độ
(x,θ,z) như hình 2.5. Ma trận độ cứng của vỏ trụ FGM không tương tác với nền đàn hồi được xây dựng tương tự như đối với mô hình vỏ trụ FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler-Pasternak. Tuy nhiên, vì vỏ không tương tác với nền đàn hồi nên trong các công thức tính toán ta thay kw=0, kp=0 sẽ được ma trận độ cứng động lực của vỏ trụ FGM không tương tác với nền đàn hồi.
Hình 2. 8.Sự biến đổi của hàm tỉ lệ thể tích Vc theo chiều dầy vỏ với các giá trị khác nhau
của các hệ số a, b, c và số mũ p: (a) FGMI(a=1/b=0/c/p), (b) FGM II(a=1/b=0/c/p), (c) FGMI(a=1/b=0,5/c=2/p), và (d) FGMII(a=1/b=0,5/c=2/p).
* Kết quả số và nhận xét
Trong phần này tác giả trình bày ảnh hưởng của tỉ số h/R, số mũ p, điều kiện biên liên kết của vỏ (C-C, S-S, F-C) và kiểu hàm tỉ lệ thể tích Vc đến tần số dao động riêng của vỏ.
Xét kết cấu vỏ trụ làm bằng vật liệu FGM2 có các thông số hình học: R=1m, h= 0,1m; L=2m. Khảo sát tần số dao động riêng của một số kiểu hàm tỉ lệ thể tích Vc
ứng với các hệ số a, b, c và số mũ p như trong hình 2.8.
a)Ảnh hưởng của số mũ p và kiểu hàm tỉ lệ thể tích đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM.
Kết quả tần số dao động riêng trong bảng 2.3 và 2.4 cho ta thấy sự ảnh hưởng của số mũ p đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM như sau: Khi p = 0 (vật liệu hoàn toàn là ceramic), kết quả tần số dao động cao nhất là hoàn toàn như mong đợi vì khi đó độ cứng của vỏ là cao nhất. Khi p = (vật liệu hoàn toàn là kim loại) kết quả tần số nhỏ nhất vì lúc này độ cứng của vỏ là bé nhất. Các kết quả khác cũng cho thấy khi p tăng tần số dao động riêng giảm là do khi đó tỉ lệ thể tích ceramic giảm và hàm lượng kim loại tăng.
Bảng 2. 3.Mười tần số đầu tiên của vỏ trụ FGM có thuộc tính vật liệu là:
FGM2I(a=1/b=0,5/c=2/p) và điều kiện biên F-C
Mode p=0
Tornabene PTLT Tornabene PTLT Tornabene PTLT
[106] 1 152,93 2 152,93 3 220,06 4 220,06 5 253,78 6 253,78 7 383,55 8 383,56 9 420,51 10 431,45
Bảng 2.3 thể hiện kết quả tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM2 ứng với kiểu hàm tỉ lệ thể tích I có các hệ số a=1, b=0,5, c=2, p = 0, 1, 5, và trong bảng 2.4 là kết quả tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM2 ứng với kiểu hàm tỉ lệ thể tích II có các hệ số a=1, b=0,5, c=2, p = 0, 1, 5, . Ta thấy tần số dao động riêng của hai kiểu hàm tỉ lệ thể tích trong trường hợp này có sự tương đồng bởi vì hai kiểu hàm tỉ lệ thể tích này có sự chênh lệch không lớn về sự phân bố ceramic và kim loại theo hướng từ trong ra và từ ngoài vào. Hơn nữa lượng kim loại của hai kiểu hàm tỉ lệ thể tích này lớn cho nên độ cứng của vỏ ít thay đổi.
Bảng 2. 4.Mười tần số đầu tiên của vỏ trụ FGM có thuộc tính vật liệu là: FGM2II(a=1/b=0,5/c=2/p) và điều kiện biên F-C
Mode p=0
Tornabene PTLT Tornabene PTLT Tornabene
[106] 1 152,93 2 152,93 3 220,06 4 220,06 5 253,78 6 253,78 7 383,55 8 383,56 9 420,51 10 431,45
Trong hai bảng này tác giả cũng so sánh kết quả của phương pháp PTLT với kết quả sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phương pháp GDQ (Generalized
Differential Quadrature) của Tornabene [106]. Các kết quả cho sự sai khác nhỏ chứng tỏ sự đúng đắn của phương pháp nghiên cứu.
Ảnh hưởng của số mũ p và điều kiện biên đến tần số dao động riêng của vỏ trụ FGM được trình bày ở hình 2.9. Vỏ trụ FGM khảo sát có thuộc tính như sau:
FGM3II(a=1/b=0/c/p); R = 1m; L = 20m; h = 0,05 m, với điều kiện biên (C-C) và S-S.
Hình 2. 9.Ảnh hưởng của điều kiện biên và số mũ p đến tần số dao động
riêng của vỏ trụ FGM
Từ hình vẽ ta thấy ứng với các mode dao động từ 1 đến 3 tần số giảm và các mode từ 3 trở đi tần số tăng. p = 0 cho kết quả tần số cao nhất và tần số giảm dần khi p tăng, p = cho ta kết quả tần số dao động riêng nhỏ nhất điều đó đẵ được khẳng định cho vật liệu FGM. Các điều kiện biên của vỏ cũng có ảnh hưởng đến độ cứng vững của kết cấu và làm cho tần số dao động riêng thay đổi. Điều kiện biên C-
C làm cho kết cấu có liên kết chắc chắn nhất vì vậy cũng cho ta kết quả tần số dao động riêng cao nhất.
b) Ảnh hưởng của tỉ số h/R và kiểu hàm tỉ lệ thể tích
Tiếp theo, hình 2.10 đưa ra ảnh hưởng của tỉ số chiều dày vỏ trên bán kính h/R đến tần số dao động riêng. Kết quả tần số dao động riêng trên hình vẽ được tính toán cho kết cấu vỏ trụ làm bằng vật liệu FGM4 ( thép không rỉ có: E= 207,788 GPa, = 0,317756, = 8166 kg/m3 và Niken có E= 205,098 Gpa, = 0,31, = 8900 kg/m3) với hai kiểu hàm tỉ lệ thể tích Vc (I, II) có a = 1, b = 0, c, p = 1. Vỏ được ngàm chặt hai đầu (C-C) và có các thông số hình học R = 1m, L= 5m, h/R = 0,02; 0,05; 0,1; 0,2.
Hình 2. 10.Ảnh hưởng của tỉ số h/R và kiều hàm tỉ lệ thể tích đến tần số dao động riêng
của vỏ trụ FGM
Từ hình vẽ ta thấy tần số dao động riêng tăng khi tỉ số h/R tăng (vỏ tăng độ cứng). Tuy nhiên, với n = 1 (mode theo chu vi vỏ) thì tần số dao động riêng ít thay đổi và gần như không phụ thuộc vào tỉ số h/R. Ngoài ra, trong trường hợp này thì vỏ có hàm tỉ lệ thể tích loại II cho tần số dao động riêng nhỏ hơn chút ít so với vỏ loại I do sự chênh lệch về thuộc tính vật liệu giữa thép không rỉ và Niken không nhiều.