FGM tương tác với nền đàn hồi
Tương tự, ma trận độ cứng động lực cho vỏ liên hợp nón-vành-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi được sơ đồ hóa ghép nối như trên hình vẽ. Như vậy ma trận độ cứng động lực của vỏ liên hợp nón-vành-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi
K()m được ghép từ ba phần tử vỏ như hình 4.13. Với ma trận độ cứng của phần tử 1 là K1m() cỡ 10x10 cho phần tử vỏ trụ, ma trận độ cứng của phần tử 2 là K2m() cho phần tử vành tròn và ma trận độ cứng của phần tử 3 là K3m() cho phần tử vỏ nón tương tác với nền đàn hồi. Với kết cấu vỏ liên hợp nón-vành-trụ FGM tương tác với nền đàn hồi như trên hình vẽ ta chỉ cần dùng ba phần tử liên tục, với cách ghép nối tương tự như trên, khi ghép ma trận độ cứng động lực cho phần tử 1, phần tử 2 và phần tử 3 như trên hình vẽ ta sẽ được ma trận độ cứng tổng là K()m có cỡ ma trận là 20x20, với véc tơ chuyển vị lúc này là UT=(u1, v1, w1,x1,1, u2, v2, w2,
x2,2, u3, v3, w3,x3,3).
K()m =
K1m()
K2m()
K3m()
Hình 4. 13.Mô hình ghép nối ma trận động lực của vỏ liên hợp nón-vành-trụ FGM tương
tác với nền đàn hồi.
Hình 4. 14.Phương pháp thu nhận đường cong đáp ứng cho vỏliên hợp nón-trụ-nón FGM
tương tác với nền đàn hồi.
Từ ma trận độ cứng động lực, ta có phương trình biểu diễn quan hệ giữa lực và chuyển vị:
(4.5) Tương Qx (L) tự, để 1 cos R1m thu me được it
đường cong đáp ứng ta đặt một lực đơn vị một điểm M ở nút đầu tự do của kết cấu như hình vẽ:
Khi đó hệ phương trình (4.5) được biểu diễn như sau:
R 1 R 2 ... Q (L) x 0 0 (4.6)
Áp dụng điều kiện biên và giải hệ phương trình (4.6) bằng phương pháp đường cong đáp ứng để tính logw-, ta xác định được tần số dao động tự do của kết cấu. Đường cong đáp ứng được vẽ trong Matlab như sau:
20 *l og 10 (w ) f( Hz)
Hình 4. 15.Đường cong đáp ứng của vỏ liên hợp trụ-vành-nón làm bằng FGM được bao
quanh bởi nền đàn hồi Pasternak với điều kiện biên tự ngàm-ngàm.
Đường cong đáp ứng trên hình 4.15 có trục hoành biểu diễn các giá trị tần số, còn trục tung biểu diễn chuyển vị w của kết cấu. Đường cong đáp ứng trên được
xây dựng cho vỏ liên hợp trụ-vành-nón làm bằng FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak với điều kiện biên tự ngàm-ngàm (C-C). Các thông số hình học của
vỏ là: R1=0,5m; R2=1m; h=0,01m; L1=L3 = 1m, góc bán đỉnh của vỏ nón=30o, các
phần tử vỏ trụ, vành và nón đều làm bằng vật liệu FGM3(gốm (Al2O3):=0,3;
E=3,8x1011Nm-2;=3800kgm-3; kim loại(Al):=0,3; E=70x1011Nm-2;=2707kgm-
3
). Các bậc có cùng hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ là: FGMI(a=1/b=0/c=1/p=1). Các
hệ số nền đàn hồi: kw = 2,5×106 N/m3 và kp = 5×106 N/m. Giá trị mười tần số tự nhiên đầu tiên của kết cấu tại các mode n, m lần lượt là: f1=470,5 Hz; f2=488,5 Hz; f3=502,5 Hz; f4=547 Hz; f5=562 Hz; f6=614 Hz; f7=632 Hz; f8=685,5 Hz, f9=725 Hz; f10=728Hz.
Để tính được các mode dao động ta lần lượt thay đổi các giá trị của mode m trong chương trình tính.
Để xác định được các tần số dao động ta thay đổi các vị trí đặt lực xung quanh vành nút của kết cấu (bằng cách lần lượt thay đổi các giá trị góc quay trong chương trình tính).
4.3.4. Kết quả và thảo luận
Chương trình PTLT có tên là ThesisFGMshellTVN được xây dựng để nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ liên hợp trụ-vành-nón FGM tương tác với nền đàn hồi.
* Khảo sát ảnh hưởng của số mũ p:
Xét vỏ liên hợp trụ-vành-nón làm bằng FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak. Vỏ chịu liên kết ngàm-ngàm. Các thông số hình học của vỏ là: R1=0,5m; R2=1m; h=0,02m; L1=L3 = 1m, góc bán đỉnh của vỏ nón=20o, các phần tử vỏ trụ, vành và nón đều làm bằng vật liệu FGM3(gốm (Al2O3):=0,3; E=3,8x1011Nm-2;
=3800kgm-3; kim loại(Al):=0,3; E=70x1011Nm-2;=2707kgm-3).
Bảng 4. 6.Ảnh hưởng của số mũ p đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp trụ-vành-nón làm
bằng FGM3I(a=1/b=0,5/c=2/p) với điều kiện biên C-C
p 0 f 1 582 2 637,5 3 651,5 4 694,5 5 695,5 6 721 7 784,5 8 806 9 844,5 10 908
Các bậc có cùng hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ là: FGMI(a=1/b=0,5/c=2/p). Các hệ
số nền đàn hồi: kw = 5×106 N/m3 và kp = 5×106 N/m.
Vỏ gồm ba phần tử liên tục tương ứng với kết cấu vỏ như hình 4.12, bằng chương trình PTLT đã thiết lập, ta dễ dàng tính được các tần số dao động riêng của vỏ. Các kết quả trong bảng 4.6 cho thấy khi p tăng thì tần số tự nhiên của vỏ liên hợp trụ- nón-vành giảm và ngược lại. Điều này đã được giải thích rõ trong các kết cấu vỏ FGM tương tác với nền đàn hồi trong các phần trước của luận án.
* Khảo sát ảnh hưởng của góc α, điều kiện biên C-C, C-F, F-C và kiểu hàm tỉ lệ thể tích đến tần số tự nhiên của kết cấu.
Xét kết cấu vỏ liên hợp trụ-vành-nón làm bằng FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak. Các thông số hình học của vỏ là: R1=0,5m; R2=1m; h=0,01m; L1=L3 = 1m, góc bán đỉnh của vỏ nón = 10o, 20o,30o, các phần tử vỏ trụ, vành và nón đều làm bằng vật liệu FGM3. Các bậc có cùng hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ. Các hệ số nền đàn hồi: kw = 2,5×106 N/m3 và kp = 5×106 N/m. Các kết quả tính toán của mười tần số tự nhiên đầu tiên ứng với các mode m, n được cho trong bảng 4.7 và bảng 4.8.
Bảng 4. 7.Ảnh hưởng của góc α và điều kiện biên C-C, F-C, C-F đến tần số tự nhiên của
vỏ liên hợp trụ-vành-nón làm bằng FGM3I(a=1/b=0/c=1/p=1) α f C-C f1 480 f2 506,5 f3 512 f4 557 f5 594 f6 620,5 f7 682 f8 688,5 f9 690 f10 733
Các kết quả tính toán trong các bảng 4.7 và bảng 4.8 đã làm rõ sự ảnh hưởng của góc α, điều kiện biên và kiểu hàm tỉ lệ thể tích của vỏ liên hợp trụ-vành-nón FGM tương tác với nền đàn hồi Pasternak như sau:
-Khi góc α tăng thì tần số tự nhiên của kết cấu có su hướng giảm dần nhưng sự thay đổi này không lớn lắm và ít ảnh hưởng đến tần số tự nhiên của vỏ.
- Kết quả tần số tự nhiên ứng với điều kiện biên liên kết vỏ C-C cao nhất, tiếp theo là F-C và nhỏ nhất là C-F điều đó hoàn toàn hợp lý bởi vì khi vỏ được ngàm chặt hai đầu sẽ có độ cứng vững cao hơn, còn trường hợp một đầu ngàm, một đầu tự do
thì khi đầu ngàm ở phần tử nón(F-C) sẽ cho độ cứng vững của kết cấu cao hơn khi ngàm ở phần tử trụ(C-F).
- Vỏ có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMI có kết quả tần số tự nhiên cao hơn vỏ có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMII. Tuy nhiên, sự chênh lệch về tần số này là rất nhỏ bởi lẽ chiều dày của vỏ nhỏ.
Bảng 4. 8.Ảnh hưởng của hàm tỉ lệ thể tích và góc α đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp
trụ-vành-nón làm bằng FGM3I,II(a=1/b=0/c=1/p=1) với điều kiện biên C-C α f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
* Khảo sát ảnh hưởng của chiều dày vỏ đến tần số tự nhiên của kết cấu
Xét kết cấu vỏ có các thông số hình học là: R1=0,5m; R2=1m; h=0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05m; L1=L3 = 1m, góc bán đỉnh của vỏ nón=30o, các phần tử vỏ trụ, vành và nón đều làm bằng vật liệu FGM3 (gốm (Al2O3): =0,3; E=3.8x1011Nm-2;
=3800kgm-3; kim loại (Al):=0,3; E=70x1011Nm-2;=2707kgm-3). Các bậc có cùng hàm tỉ lệ thể tích, các hệ số và số mũ. Các hệ số nền đàn hồi: kw = 2,5×106 N/m3 và kp = 5×106 N/m.
Bảng 4. 9.Ảnh hưởng của chiều dày đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp trụ-vành-nón làm
bằng FGM3I(a=1/b=0/c=1/p=1) với điều kiện biên C-C
h(m) f(Hz) 0,01 1 470,5 2 488,5 3 502 4 547 5 562 6 614 7 632 8 685 9 724,5 10 728
Thực tế đã chứng minh khi vỏ dầy thì tăng độ cứng cho kết cấu làm cho tần số dao động của vỏ tăng nhưng nó lại làm tăng khối lượng của vỏ và lại làm giảm tần số dao động của kết cấu. Kết quả số trong bảng 4.9 cho ta thấy chiều dày h của vỏ tăng làm tăng tần số tự nhiên, khi h = 0,01m tần số tự nhiên của vỏ là nhỏ nhất và với h = 0,05m thì tần số tự nhiên tính toán nhận được là cao nhất. Sở dĩ tần số tự nhiên tăng khi tăng chiều dày vỏ là do đường kính vỏ lớn mà chiều dày nhỏ cho nên khi tăng chiều dày không làm cho khối lượng vỏ thay tăng nhiều mà chủ yếu làm tăng độ cứng của vỏ do đó sẽ làm cho tần số tự nhiên của vỏ tăng. Từ các kết quả số trong bảng 4.9 ta vẽ được đồ thị như hình 4.16 để thấy rõ ảnh hưởng này.
m
Hình 4. 16.Ảnh hưởng của chiều dày đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp trụ-vành-nón
làm bằng vật liệu FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak
* Khảo sát ảnh hưởng của các hệ số nền đàn hồi Pasternak đến tần số tự nhiên
của vỏ:
- Trường hợp 1: Hệ số kp=5106N/m3, kw thay đổi, góc nửa đỉnh nón α = 20o
m
Hình 4. 17.Ảnh hưởng của hệ số kw đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp trụ-vành-nón
làm bằng FGM3I(a=1/b=0,5/c=2/p=2) được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak, F-C
- Trường hợp 2: Hệ số kp=5106N/m3, kp thay đổi và góc nửa đỉnh tử nón α = 30o
(H
z)
f
Hình 4. 18.Ảnh hưởng của hệ số kp đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp
trụ-vành-nón làm bằng FGM3II(a=1/b=0,5/c=2/p=2) được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak, F-C
- Trường hợp 3: Hệ số nền kp, kw thay đổi và góc nửa đỉnh của phần tử nón α = 20o
f (Hz)
kw
Hình 4. 19.Ảnh hưởng của hệ số kw, kp đến tần số tự nhiên của vỏ liên hợp trụ-vành-nón
làm bằng FGM3II(a=1/b=0,5/c=2/p=2) được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak.
Trong phần này luận án khảo sát kết cấu có các thông số tương tự phần trên cho ba trường hợp khác nhau. Bằng sự thay đổi các giá trị kw, kp của nền đàn hồi
ta thu được kết quả tần số dao động vẽ các đồ thị như hình 4.17 - 4.19 biểu diễn sự ảnh hưởng của các hệ số nền đến tần số tự nhiên của kết cấu.
Từ các đồ thị hình 4.17 - 4.19, ta có nhận xét sau:
* Khi hệ số cứng của nền pasternak 0< kw < 1108N/m3 thì sự thay đổi của hệ số cứng ít ảnh hưởng tần số dao động của vỏ liên hợp trụ-vành-nón FGM. Khi
kw > 1108N/m3 thì sự tăng của hệ số cứng có ảnh hưởng lớn đến tần số dao động của kết cấu. Cụ thể là kw tăng làm cho tần số dao động của kết cấu tăng nhanh.
* Mức độ ảnh hưởng của hệ số trượt kp đến tần số dao động của kết cấu cũng
được làm rõ từ đồ thị hình 4.18 cụ thể là:
Khi 0 < kp < 2,5107N/m thì hệ số trượt có ảnh hưởng không đáng kể đến tần số dao động của kết cấu. Tuy nhiên, khi kp 2,5107N/m thì sự tăng của nó làm cho tần số dao động của kết cấu tăng rõ rệt và được thể hiện rõ bởi sự tách biệt của ba đường cong biểu diễn sự thay đổi của tần số tự nhiên của kết cấu ứng với kp = 5106, 2,5107 và 1108N/m.
* Đặc biệt, đồ thị hình 4.19 đã chỉ ra được sự ảnh hưởng đồng thời của cả hai hệ số kw, kp đến tần số tự nhiên của kết cấu: Với 0 < kp 1107N/m thì sự thay đổi hệ số trượt có ảnh hưởng rất nhỏ đến tần số tự nhiên của vỏ và khi đó ảnh hưởng của nền đàn hồi Pasternak đến tần số tự nhiên chủ yếu là do kw thay đổi. Khi 0 < kw < 2,5107N/m3 thì sự thay đổi của kw cũng gần như chưa có ảnh hưởng đến tần số dao động của vỏ, khi kw 2,5107N/m3 thì sự ảnh hưởng của hệ số cứng của nền đến tần số tự nhiên là rất rõ ràng( khi kw tăng thì tần số tự nhiên của vỏ tăng và khi
kw đạt giá trị giới hạn thì nó cũng không còn ảnh hưởng đến tần số dao động của kết cấu nữa). Khi kp > 1107N/m thì sự ảnh hưởng của hệ số trượt đến tần số tự nhiên của kết cấu khá rõ rệt, nó được thể hiện trên đồ thị là các đường cong biểu diễn tần số dao động ứng với kp = 1108, 5108N/m là hoàn toàn cách xa nhau và kp tăng thì làm cho tần số tự nhiên của kết cấu tăng nhanh.
4.3.5. Nhận xét
Trong nội dung của mục 4.4, luận án đã xây dựng được thuật toán và chương trình tính tần số dao động cho vỏ trụ-vành-nón làm bằng FGM tương tác với nền đàn hồi (tên chương trình ThesisFGMshellTVNF).
Kết quả số thu được trong nghiên cứu dao động tự do của vỏ trụ-vành-nón làm bằng FGM tương tác với nền đàn hồi làm sáng tỏ ảnh hưởng của số mũ p của hàm tỉ lệ thể tích, chiều dày vỏ, góc α của phần tử nón cụt, các điều kiện biên liên kết vỏ C-C, C-F, F-C, các hệ số của nền đàn hồi Pasternak đến tần số dao động của v ỏ l i ê n h ợ p trụ-vành-nón làm bằng FGM tương tác với nền đàn hồi cụ thể như sau:
- Khi p tăng thì tần số tự nhiên của vỏ liên hợp trụ-nón-vành giảm và ngược lại. Điều đó đã được giải thích rõ trong các kết cấu vỏ FGM tương tác với nền đàn hồi trong các phần trước của luận án.
giảm dần nhưng sự thay đổi này không lớn lắm và ít ảnh hưởng đến tần số tự nhiên của vỏ.
- Kết quả tần số tự nhiên ứng với điều kiện biên liên kết vỏ C-C cao nhất, tiếp theo là F-C và nhỏ nhất là C-F điều đó hoàn toàn hợp lý bởi vì khi vỏ được ngàm chặt hai đầu sẽ có độ cứng vững cao hơn, còn trường hợp một đầu ngàm, một đầu tự do thì khi đầu ngàm ở phần tử nón (F-C) sẽ cho độ cứng vững của kết cấu cao hơn khi ngàm ở phần tử trụ (C-F).
- Vỏ có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMI có kết quả tần số tự nhiên cao hơn vỏ có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMII. Tuy nhiên, sự chênh lệch về tần số này là rất nhỏ bởi chiều dày của vỏ nhỏ.
- Đối với các kết cấu có chiều dày vỏ nhỏ thì khi tăng chiều dày vỏ trong một phạm vi nhất định sẽ làm cho tần số tự nhiên của kết cấu tăng.
- Khi hệ số cứng của nền Pasternak 0< kw < 1108N/m3 thì sự thay đổi của hệ số cứng ít ảnh hưởng tần số dao động của vỏ liên hợp trụ-vành-nón FGM. Khi kw >
1108N/m3 thì sự tăng của hệ số cứng có ảnh hưởng lớn đến tần số dao động của kết cấu. Cụ thể là kw tăng làm cho tần số dao động của kết cấu tăng nhanh.
- Mức độ ảnh hưởng của hệ số trượt kp đến tần số dao động của kết cấu như sau: Khi 0 < kp < 2,5107N/m thì hệ số trượt có ảnh hưởng không đáng kể đến tần số