Vành tròn FGM đặt trên nền đàn hồi Winkler- Pasternak có các thông số hình học như hình 2.16, bán kính tại một điểm M trên vành là R(x): R(x) = R1 + x
Hình 2. 16.Mô hình vành tròn FGM trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak.
Để tìm tần số dao động tự do của vành bằng phương pháp phần tử liên tục ta cần xây dựng ma trận độ cứng động lực cho kết cấu theo các bước giải của phương pháp phần tử liên tục như mục 2.2 của vỏ nón với α = 90o. Với vành tròn FGM không tương tác với nền đàn hồi ta cũng làm tương tự như trên và khi đó trong các phương trình tính toán cho kw = 0 và kp = 0. Sau đó, áp dụng phương pháp đường cong đáp ứng để tính tần số dao động của kết cấu.
* Kết quả số và nhận xét
Trong phần này, một chương trình Matlab được viết ra sử dụng mô hình PTLT vừa xây dựng. Các tần số dao động tự do của kết cấu vành tròn FGM tính bằng phương pháp PTLT được so sánh và xác nhận độ tin cậy qua so sánh với nghiên cứu của Tornabene [106] sử dụng phương pháp GDQ. Sau đó luận án khảo sát ảnh hưởng của các tham số vỏ và nền đến tần số dao động riêng của kết cấu vành FGM có và không tương tác với nền đàn hồi Winkler-Pasternak.
a) Kiểm tra độ tin cậy của kết quả
Để khẳng định độ tin cậy của phương pháp nghiên cứu tác giả so sánh các kết quả số của phương pháp PTLT với các kết quả tính toán sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phương pháp GDQ của Tornabene [106].
Kết cấu vành tròn FGMI=II(a=0/b=-0,5/c=2/p) với các thông số hình học: R1=1m, h=0,1m, R2–R1=1,5m được khảo sát trong nghiên cứu này. Các kết quả so sánh được chỉ ra trong bảng 2.13 cho thấy sự sai khác giữa các kết quả của phương pháp PTLT và của tài liệu [106] không lớn điều đó khẳng định độ chính xác cao và tinh tin cậy của phương pháp nghiên cứu.
Bảng 2. 13Mười tần số đầu tiên của vành tròn có thuộc tính vật liệu
FGM2I– II(a=0/b=-0,5/c=2/p)với số mũ p khác nhau và điều kiện biên F-C.
Mode p=0,6 Ref.[106] 1 69,24 2 125,92 3 125,92 4 209,95 5 209,95 6 293,35 7 312,99 8 312,99 9 352,12 10 352,12
b) Ảnh hưởng của số mũ p đến tần số dao động riêng
Xét vành tròn làm bằng vật liệu FGM2I-II(a=1/b=0,5/c=4/p). Vành có bán kính R1 = 0,5m; h = 0,1m; R2-R1 = 1,5m và có điều kiện biên F-C. Kết quả so sánh với nghiên cứu [106] được biểu thị trong bảng 2.14. Từ các kết quả số nhận được trong bảng này ta thấy khi p=0 tần số dao động riêng của vành là cao nhất vì khi này vành hoàn toàn được làm bằng ceramic nên có độ cứng cao nhất và tần số nhận được cũng cao nhất. Khi p tăng tần số dao động riêng của vành giảm do khi p tăng thì Vc giảm (lượng ceramic giảm) làm giảm độ cứng của vành dẫn đến tần số của vành giảm. p= sẽ cho ta tần số dao động riêng nhỏ nhất vì khi đó vành hoàn toàn làm bằng
kim loại. Từ bảng 2.14 ta cũng thấy, đối với vành tròn thì tần số dao động riêng ứng với kiểu hàm tỉ lệ thể tích I và II là như nhau.
Bảng 2. 14Mười tần số đầu tiên của vành tròn có thuộc tính vật liệu
FGM2 I– II(a=1/b=0,5/c=4/p)với số mũ p khác nhau và điều kiện biên F-
C. f (Hz) f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10
c) Ảnh hưởng của kw và kp đến tần số dao động riêng của vành tròn FGM.
Xét vành tròn FGM có các thông số hình học R1 = 0,5m; h = 0,1m; R2-R1 = 1,5m. Vành được đặt trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak có các hệ số nền kw và kp.
Ảnh hưởng của các hệ số nền đến tần số dao động riêng của vành FGM được thể hiện trong bảng 2.15.
Bảng 2. 15Ảnh hưởng của nền đàn hồi Pasternak (kw, kp) đến tần số dao
động riêng của vành tròn FGM với điều kiện biên F-C. kw kp (N/m3) (N/m) 5x106 0 1x105 2,5x105 1x107 5x10 5 0 1x105 2,5x105 5x107 5x10 5 0 1x105 2,5x105 5x105 106 107 108 1x 108 108 1x 109 108 1x 1010 108
Từ các kết quả nhận được của tám tần số đầu tiên trong bảng 2.15 ta thấy: Khi
kw, kp tăng hoặc một trong hai hệ số này tăng, tần số dao động riêng của vành tăng. Tuynhiên, hệ số kw tăng khiến tần số tự nhiên tăng nhanh hơn. Hàm tỉ lệ thể tích I và II đều cho các kết quả tần số dao động riêng tương đồng nhau.
d) Ảnh hưởng của điều kiện biên và tỉ số h/R1 đến tần số dao động riêng đầu tiên của vành tròn FGM
Bảng 2.16 trình bày kết quả tần số dao động riêng của vành tròn FGM. Vành có các thông số hình học R1=0,5 m; R2–R1=1,5m. Kết quả cho thấy sự ảnh hưởng của tỉ số h/R1, số mũ p, và điều kiện biên đến tần số dao động riêng của vành như sau:
Khi tỉ số h/R1 tăng thì độ dày của vành cũng tăng làm tăng tần số dao động riêng. Khi p tăng tần số dao động riêng của vành lại giảm. Điều kiện biên C-C cho liên kết cứng vững nhất nên cũng nhận được kết quả tần số dao động riêng cao nhất, tiếp đến là điều kiện biên SD-C, C-SD, SD-SD và SS-SS.
Bảng 2. 16Tần số dao động riêng đầu tiên của vành có thuộc tính vật liệu FGM2I-
II(a=0/b=-0,5/c=2/p)ứng với tỉ số h/R1, số mũ p và điều kiện biên khác nhau.
p h/R1 0,02 0 0,10 0,20 0,02 0,5 0,10 0,20 0,02 5 0,10 0,20 0,02 20 0,10 0,20 2.4. Kết luận chương 2
Trong chương 2, luận án đã xây dựng được mô đun tính toán các thông số của vật liệu FGM và thuật toán bằng phương pháp phần tử liên tục cũng như đưa ra chương trình tính bằng Matlab cho các bài toán dao động tự do của vỏ trụ, nón cụt và vành tròn FGM có và không tương tác với nền đàn hồi (tên chương trình ThesisFGMShell). Thuật toán và chương trình tính có độ tin cậy cao thông qua việc kiểm chứng với các kết quả giải tích của Jin và cộng sự [108] v à Tornabene
[106]. Các ưu điểm về độ chính xác và khả năng áp dụng phương pháp linh động
khi thay đổi đối tượng nghiên cứu cũng được khẳng định.
tham số a, b, c và số mũ p, các điều kiện biên, tỉ lệ kích thước, hệ số nền đàn hồi kw
và kp đến tần số dao động của các vỏ tròn xoay làm bằng FGM như sau:
-Kết cấu vỏ có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMI(a/b/c/p) cho kết quả tần số dao động tự do thấp hơn vỏ có kiều hàm thể tích FGMII(a/b/c/p). Riêng đối với vành tròn FGM thì hai kiểu hàm này đều có cùng một kết quả tần số dao động.
-Số mũ p tăng làm cho tần số dao động tự do giảm, p = (kim loại) cho tần số dao động nhỏ nhất, p = 0 (gốm) cho tần số dao động cao nhất.
- Tần số dao động tự do của các vỏ tròn xoay FGM có điều kiện biên ngàm-ngàm cao hơn đáng kể so với tần số dao động tự do của vỏ chịu điều kiện biên ngàm–tự do, tựa-tựa (đúng cả cho các vỏ có và không tương tác với nền đàn hồi).
- Đối với kết cấu vỏ nón FGM, khi góc bán đỉnh α < 45o thì tần số dao động của vỏ tăng khi α tăng và khi α > 45o thì tần số giảm khi góc bán đỉnh tăng.
- Tần số dao động của các vỏ FGM tròn xoay giảm khi tỉ lệ h/R, L/R tăng.
- Các kết cấu tròn xoay tương tác với nền đàn hồi Winkler và Pasternak thì đều cho
kết quả tần số dao động cao hơn so với các kết cấu không tương tác với nền đàn hồi. Khi kw 1x107 N/m3 thì kw thay đổi ít ảnh hưởng đến tần số dao động riêng, khi 107 N/m3< kw <1010 N/m3, kw tăng làm cho tần số dao động riêng tăng nhanh và khi
kw1010 N/m3 nền đàn hồi là rất cứng và trong khoảng này mọi sự thay đổi của hệ sốnền không làm cho tần số dao động của vỏ thay đổi. Nếu tăng giá trị kp thì tần số dao động của vỏ tăng. Tuy nhiên, hệ số kp ảnh hưởng ít đến tần số dao động.
Nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đến tần số dao động riêng của vỏ tròn xoay FGM là cần thiết và có ý nghĩa trong tính toán, thiết kế các kết cấu vỏ FGM. Kết quả nghiên cứu được sử dụng cho các nghiên cứu về kết cấu vỏ FGM phức tạp hơn như: vỏ liên hợp dạng bậc FGM, vỏ liên hợp ghép nối được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler và Pasternak. Nghiên cứu đã xây dựng được mô hình PTLT để giải quyết bài toán phân tích dao động cho kết cấu vỏ tròn xoay FGM có và không tương tác với nền đàn hồi ở miền tần số trung bình và cao, các kết quả tính toán cho độ chính xác cao và hiệu quả cao, trong khi hầu hết các phương pháp hiện tại khác đều gặp khó khăn rất lớn do số lượng phần tử chia lưới gây ra sai số tích luỹ. Tuy nhiên, công thức (2.24) phải lấy gần đúng với k bằng một giá trị nhất định. Phải tìm tần số bằng phương pháp đường cong đáp ứng khó đạt độ chính xác cao.
Các kết quả nghiên cứu chính trong chương 2 đã được báo cáo và đăng trong: Tuyển tập Hội nghị cơ học vật rắn 2018; Tuyển tập Hội nghị cơ học kỹ thuật toàn quốc năm 2019; Tuyển tập Hội nghị quốc tế lần thứ 3 về Cơ sở hạ tầng giao thông và phát triển bền vững năm 2019. Các bài báo trong “Danh mục các công trình đã được công bố của luận án”: các công trình 6, 7, 8, 9, 10 trang 129, 130 của luận án.
CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA CÁC KẾT CẤU VỎ FGM ĐỐI XỨNG TRỤC DẠNG BẬC CÓ VÀ
KHÔNG TƯƠNG TÁC VỚI NỀN ĐÀN HỒI
Trong Chương 3, luận án xây dựng công thức để tính tần số dao động tự do của các kết cấu vỏ FGM đối xứng trục dạng bậc (trụ bậc, nón bậc, vành bậc) có và không tương tác với nền đàn hồi Winkler-Pasternak. Trên cơ sở các công thức tính toán cho các kết cấu đó, thuật toán ghép nối và chương trình tính toán bằng Phương pháp phần tử liên tục trong môi trường Matlab được đưa ra. Chương trình PTLT đã xây dựng sẽ cho ta các kết quả về tần số dao động và đường cong đáp ứng của các kết cấu khảo sát. Kết quả tính toán số của chương trình PTLT được so sánh với kết quả của một số tác giả sử dụng các phương pháp khác để xác nhận tính đúng đắn và độ chính xác của mô hình và chương trình PTLT đã thiết lập. Trên cơ sở chương trình tính PTLT, luận án khảo sát ảnh hưởng của các các thông số: thông số hình học của vỏ, thuộc tính vật liệu FGM, điều kiện biên, số mũ p, kiểu hàm tỉ lệ thể tích, độ cứng của nền đàn hồi,… đến dao động tự do của các kết cấu vỏ nón bậc, trụ bậc, vành bậc đối xứng trục dạng bậc làm bằng vật liệu FGM.
3.1. Mô hình tính dao động tự do của vỏ nón cụt dạng bậc FGMcó và không tương tác với nền đàn hồi có và không tương tác với nền đàn hồi
Trong mục này, việc thiết lập ma trận độ cứng động lực cho vỏ nón cụt có tương tác với nền đàn hồi Winkler-Pasternak được lựa chọn để đại diện cho các vỏ tròn xoay thông dụng: vỏ trụ, vỏ nón và vành. Xét mô hình vỏ nón cụt FGM có n bậc được bao quanh nền đàn hồi Winkler-Pasternak như hình 3.1 với các thông số hình học : chiều dài các bậc L1, L2,…,Li,…,Ln; chiều dầy các bậc h1, h2,…,hi,…,hn ; bán kính đáy nhỏ R1, bán kính đáy lớn R2, góc nửa đỉnh α và độ cứng của nền đàn hồi Winkler-Pasternak kw, kp. Trong mô hình nghiên cứu, hệ tọa độ trụ tọa độ trụ (x,, z) được sử dụng với x là tọa độ theo chiều dài đường sinh của vỏ, là tọa độ vòng của vỏ, z là tọa độ theo chiều dày của bề mặt vỏ như hình vẽ. Để tính tần số dao động tự do của kết cấu vỏ nón cụt dạng bậc nói trên theo phương pháp PTLT, ta phải chia mỗi bậc của vỏ thành một phần tử vỏ nón đơn như hình 3.2 (phần tử liên tục) được bao quanh bởi nền đàn hồi đã được tính toán ở Chương 2.
- Giả thiết các bậc có mặt trung bình trùng nhau.
- Tỉ số hmax/R1 của vỏ nón cụt nhỏ.
Hình 3. 1. Mô hình PTLT tính dao động tự do của vỏ nón bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi.
Hình 3. 2.Chia vỏ thành các phần tử liên tục
Ma trận độ cứng động lực chung của kết cấu vỏ nón cụt dạng bậc làm bằng vật liệu FGM được bao quanh bởi nền đàn hồi sẽ được xây dựng từ ma trận độ cứng động lực của các phần tử vỏ nón cụt đơn bằng thuật toán ghép nối các ma trận độ cứng động lực. Vì ma trận độ cứng động lực cho các phần tử nón cụt đơn đã được xây dựng trong Chương 2 nên trong phần này luận án sẽ tập trung vào thuật toán ghép nối các phần tử để xây dựng ma trận độ cứng động lực cho vỏ bậc.
3.1.1. Điều kiện cân bằng và liên tục giữa các bậc của vỏ nón cụt dạngbậc FGM bậc FGM
Khi ghép nối phải đảm bảo các điều kiện liên tục về chuyển vị và liên tục về lực và mô men giữa các phần tử nón cụt tại vị trí ghép nối. Điều kiện liên tục sẽ được áp dụng cho các chuyển vị và nội lực tại mặt trung hòa của các phần tử tại vị trí ghép nối như sau [36, 110]:
N M ui ( 1 ) u i N M 1 Q 1 )vi1( Q 0 ) i 1 ; (0 ); wi ( 1 ) N wi 1( 1 0 ) ) ; N φ ; φ x M i1 i ( 1 ) ) ; M ); φi ( 1 )φi1 θ θ
với (0), (1) tương ứng là trạng thái đầu và trạng thái cuối của mỗi phần tử nón cụt.
Hình 3. 3.Điều kiện cân bằng và liên tục tại mặt cắt ghép nối cho vỏ nón cụt dạng bậc.
3.1.2. Ma trận độ cứng động lực của vỏ nón cụt dạng bậc FGM
Ma trận độ cứng động lực cho vỏ nón cụt dạng bậc làm bằng vật liệu FGM được sơ đồ hóa ghép nối như hình 3.4. Để ghép nối được ma trận độ cứng động lực ta chia vỏ thành các phần tử, hệ tọa độ tổng thể, hệ tọa độ địa phương, chuyển vị nút và lực nút như sau:
Phần tử liên tục tròn xoay là một kết cấu tròn xoay đơn giản có đường sinh là một đường liên tục tạo thành một miền liên tục vô số bậc tự do (trong phần này luận án chỉ nghiên cứu phần tử vỏ nón).
Hệ tọa độ tổng thể là hệ tọa độ trụ (x,, z) tương ứng với chuyển vị tổng thể
Uu , v , w,
Hệ tọa độ địa phương là hệ tọa độ trụ
Lực nútFFRi
(xi,i, zi) tương ứng với chuyển vị địa
MiT
Hình 3. 4.Ma trận độ cứng dộng lực của vỏ nón cụt dạng bậc được ghép nối từ các ma
trận độ cứng động lực của các bậc
Như vậy ma trận độ cứng động lực của nón cụt dạng bậc FGM K()m được ghép từ
với véc tơ chuyển vị là UT=(u0, v0, w0,x0,0, u1, v1, w1,x1,1). Khi ghép ma trận độ của cứng phần tử 1 và phần tử 2 là K1-2,m() thì véc tơ chuyển vị lúc này là UT=(u0, v0, w0,x0,0, u1, v1, w1,x1,1, u2, v2, w2,x2,2), do đó ma trận độ cứng động lực cho phần tử 1 và phần tử 2 sẽ là ma trận vuông cấp 15. Tổng quát, khi ghép ma trận độ của cứng của 1,2,3,…,i,…,n phần tử ta có ma trận độ cứng tổng là K1-n,m() thì véc