Ma trận độ cứng động lực của vỏ trụ FGM có gân gia cường K()m được ghép từ ba phần tử vỏ như hình 4.21. Với ma trận độ cứng của phần tử 1 là Kc() là 10x10 cho phần tử vỏ trụ FGM; ma trận độ cứng của phần tử 2 là Kr() cho phần tử gân gia cương dạng vành làm bằng FGM; ma trận độ cứng của phần tử 3 là Kc() cho phần tử vỏ trụ FGM. Với kết cấu vỏ vỏ trụ FGM có gân gia cường như trên hình vẽ ở đây ta dùng ba phần tử liên tục và ghép nối dạng chữ T. Đây là thuật toán ghép nối dạng chữ T (hay ghép nối song song) các phần tử liên tục được luận án ứng dụng, phát triển và được minh họa trên hình 4.21. Sau khi ghép ma trận độ cứng động lực cho phần tử 1, phần tử 2 và phần tử 3 như trên hình vẽ ta sẽ được ma trận độ cứng tổng là K()m có cỡ ma trận là 20x20, với véc tơ chuyển vị lúc này là
UT=(u1, v1, w1,x1,1, u2, v2, w2,x2,2, u3, v3, w3,x3,3).
Hình 4. 21.Thuật toán ghép nối dạng chữ T cho ma trậnK()mcủa vỏ trụ FGM có gân
gia cường dạng vành.
Tương tự, bằng phương pháp đường cong đáp ứng ta xác định được tần số dao động tự do của kết cấu. Để thu được đường cong đáp ứng ta đặt một lực đơn vị điều hòa tập trung vào điểm M ở nút đầu tự do của kết cấu.
Ta có phương trình biểu diễn quan hệ giữa lực và chuyển vị: R1 R2 ... Qx ( L) 0 0 K ... 1,2 K 2,2 ... K 18,2 ... K ... 19,2 K 20,2 ...
Áp dụng các điều kiện biên và giải phương trình (4.8) ta xác định được tần số dao động tự do của kết cấu, bằng phương pháp đường cong đáp ứng logw- như trong Chương 3, ta sẽ xác định được tần số dao động tự do của kết cấu. Đường cong đáp ứng được vẽ trong Matlab như sau:
20 *l og 10 (w ) f( Hz)
Hình 4. 22.Đường cong đáp ứng của vỏ trụ FGM có gân gia cường, F-C.
Đường cong đáp ứng trên hình 4.22 có trục hoành biểu diễn các giá trị tần số, còn trục tung biểu diễn chuyển vị w của kết cấu. Đường cong đáp ứng trên được xây dựng cho vỏ trụ FGM có gân gia cường được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak với điều kiện biên tự do-ngàm (F-C). Các thông số hình học của vỏ và cơ tính vật liệu như sau: R1 = 1m; L1 = L2 = 2m; h = 0,1m, và phần tử gân có Rr = 0,1m; hr = 0,1m. Vật liệu FGM1 có thuộc tính: gốm(Si3N4) có E = 322,27 Gpa; ρ = 2370
kg/m3; = 0,24; kim loại(Nickel) có E = 205,98 Gpa; ρ = 8900 kg/m3; = 0,31; có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMI có a=1, b=0, c=2, p=1. Điều kiện biên liên kết vỏ tự do - ngàm (F-C), kw=0, kp=0. Mười tần số tự nhiên đầu tiên ứng với các mốt n, m
lần lượt là: f1=126 Hz; f2=133 Hz; f3=138 Hz; f4=168,5 Hz; f5=249 Hz; f6=253 Hz; f7=262 Hz; f8=305 Hz; f9=348 Hz; f10=356 Hz (chi tiết các giá trị tần số được tính trong hình 4.22).
Để tính được các mode dao động ta lần lượt thay đổi các giá trị của mode m trong chương trình tính.
Để xác định được các tần số dao động ta thay đổi các vị trí đặt lực xung quanh vành nút của kết cấu (bằng cách lần lượt thay đổi các giá trị góc quay trong chương trình tính).
4.4.4. Kết quả và thảo luận
Từ các cơ sở lý thuyết về kết cấu vỏ trụ FGM có gân gia cường. Nghiên cứu đã xây dựng chương trình PTLT có tên là ThesisFGMJointnedshellTVT để tính tần số dao động tự do của vỏ trụ FGM có gân gia cường.
Chương trình sử dụng 3 phần tử liên tục: gồm hai phần tử vỏ trụ và phần tử gân gia cường (vành tròn), các kết quả có được như sau:
Trước tiên, nghiên cứu sử dụng chương trình trên để tính toán, so sánh cho vỏ trụ làm bằng kim loại và vỏ trụ FGM có gân gia cường của Chung [115] và Rahimi
[116]. Các thông số kích thước và cơ tính vật liệu vỏ như sau: L = 51,12 cm; R = 21,62 cm; h = 0,15 cm; E = 183 Gpa; ρ = 7492 kg/m3 ; = 0,3. Thuộc tính vật liệu FGM6: Gốm (Zirconia) có E = 244,27 Gpa; ρ = 5700 kg/m3; = 0,28; Kim loại(Strainless Steel) có E = 201,04 Gpa; ρ = 8166 kg/m3; = 0,3262; có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMII có a=1, b=0, c, p=1.
Bảng 4. 10.So sánh tần số dao động của vỏ trụ kim loại với điều kiện biên C-F
m n 2 3 4 1 5 6 7 8 9
Bảng 4. 11.So sánh tần số dao động của vỏ trụ FGM có gân gia cường, C-F
m n
1 1
Các kết quả tính toán tần số tự nhiên của vỏ trụ kim loại và vỏ trụ FGM có gân gia cường thu được từ phương pháp phần tử liên tục được so sánh với các kết quả tính toán đã được công bố trước đây của Chung [115] sử dụng biểu thức chuỗi Fourier với phép biến đổi Stokes và Rahimi [116] sử dụng lý thuyết vỏ mỏng của Sanders được cho trong bảng 4.10 và bảng 4.11 là hoàn toàn tương đồng, với sự sai khác không đáng kể. Để so sánh với kết quả tính của vỏ trụ kim loại chương trình tính chỉ cần chọn số mũ lũy thừa p của hàm tỉ lệ thể tích bằng 0 hoặc để vật liệu trở thành đồng nhất đẳng hướng tùy theo vật liệu muốn chọn.
Từ những so sánh đó ta có thể khẳng định độ chính xác cao, tin cậy của chương trình phần tử liên tục được lập để tính toán dao động cho vỏ liên hợp dạng trụ có gân gia cường làm bằng FGM và có thể sử dụng để tính toán, nghiên cứu các bài toán tượng tự.
Tiếp theo, ta sử dụng chương trình PTLT xây dựng trên để nghiên cứu ảnh hưởng của số mũ lũy thừa p của hàm tỉ lệ thể tích đến tần số dao động tự do của vỏ trụ FGM có gân gia cường, vỏ có các thông số hình học và cơ tính vật liệu như sau: R1
= 1m; L1 = L2 = 2m; h = 0,1m, và phần tử gân có Rr = 0,1m; hr = 0,1m. Vật liệu FGM1 có thuộc tính: gốm(Si3N4) có E = 322,27 Gpa; ρ = 2370 kg/m3; = 0,24; kim loại(Nickel) có E = 205,98 Gpa; ρ = 8900 kg/m3; = 0,31; có kiểu hàm tỉ lệ thể tích FGMI có a=1; b=0,5; c=2; p. Điều kiện biên liên kết vỏ tự do - ngàm (F-C). Các kết quả tính toán được cho trong bảng 4.12.
Bảng 4. 12.Ảnh hưởng của số mũ p đến tần số tự nhiên của vỏ trụ FGM có gân gia cường
p f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Các kết quả tính toán trong bảng 4.12 cho thấy khi p tăng thì tần số riêng giảm. Nguyên nhân là do khi thay đổi p, tốc độ biến đổi thành phần vật chất thay đổi dẫn đến tỷ lệ giữa gốm và kim loại cũng thay đổi theo. Khi p tăng, tỷ lệ vật liệu thay đổi từ thành phần giàu gốm sang giàu kim loại. Điều này cho thấy khi vỏ làm bằng FGM giàu gốm thì kết cấu có độ cứng cao hơn giàu kim loại và kết quả tính toán tần số dao động nhận được cũng cao hơn.
Cuối cùng, ta xây dựng chương trình PTLT cho vỏ trụ FGM có gân gia cường tương tác với nền đàn hồi Winkler, Pasternak với các thông số vỏ và thuộc tính vật
liệu như bảng 4.12. Bằng phương pháp đường cong đáp ứng sẽ thu được các kết quả tần số tự nhiên của kết cấu như hình 4.23 - 4.26.
20 *l og 10 (w ) f( Hz)
Hình 4. 23.Đường cong đáp ứng của vỏ trụ FGM1I(a=1/b=0/c=2/p=1) có gân gia cường được
bao quanh nền đàn hồi Winkler (kw=5106m/m3, kp=0) với điều kiện biên F-C.
20 *l og 10 (w ) f( Hz)
Hình 4. 24.Đường cong đáp ứng của vỏ trụ FGM1I(a=1/b=0/c=2/p=1) có gân gia cường được bao
quanh nền đàn hồi Pasternak (kw=5106N/m3, kp=5106N/m) với điều kiện biên F-C.
20 *l og 10 (w ) f( Hz)
Hình 4. 25. Đường cong đáp ứng của vỏ trụ FGM1I(a=1/b=0/c=2/p=1) có gân gia cường được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak(kw=5106N/m3, kp=5106N/m), điều kiện biên C-C.
Hình 4. 26.Đường cong đáp ứng của vỏ trụ FGM1I(a=1/b=0/c=2/p=1) có gân
gia cường được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak (kw=5106N/m3, kp=5106N/m), điều kiện biên C-C và F-C.
Từ các kết quả tần số nhận được bằng phương pháp đường cong đáp ứng trên hình 4.23 - 4.26 ta thấy rằng khi kết cấu được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler thì tần số tự nhiên thấp hơn so với kết cấu tương tự được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak với điều kiện biên F-C. Kết cấu được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak có liên kết C-C cũng cho kết quả tần số dao động cao hơn kết cấu có liên kết F-C là hoàn toàn phù hợp. Điều đó một lần nữa khẳng định độ chính xác cao của phương pháp sử dụng.
4.4.5. Nhận xét
Trong phần này, một ma trận độ cứng động mới đã được xây dựng thành công để phân tích dao động của vỏ trụ FGM có gân gia cường. Kết quả cho thấy PTLT cho phép tính toán các tần số tự nhiên của vỏ trụ FGM có gân gia cường với độ chính xác cao cho bất kỳ dải tần số nào. Phần tử liên tục có thể được sử dụng hiệu quả để phân tích vỏ trụ FGM có gân gia cường khi mà hầu hết các phương pháp hiện tại khác gặp khó khăn lớn do số lượng phần tử chia lưới bị hạn chế.
Sự phát triển của mô hình PTLT có thể được mở rộng để giải các bài toán cho các kết cấu vỏ liên hợp trụ-nón-vành, vỏ nón có gân gia cường làm bằng FGM tương tác với nền đàn hồi Winkler, Pasternak.