1. Ước lượng khoảng tin cậy dựa trín sự phối hợp từng cặp: (Matched pair)
Giả sử rằng chúng ta cĩ một mẫu ngẫu nhiín gồm n cặp quan sât từ những phđn phối với trung bình (x vă (y. ÐặtĠ vă Sd lă trung bình vă độ lệch chuẩn của n sự khâc biệt di= xi - yi. Nếu phđn phối của những khâc biệt năy lă phđn phối chuẩn thì
(2.4) Trong đĩĠlă một số sao cho P Ĩľ) =Ġ
Ví dụ: Trọng lượng của câc kiện hăng (kg) được sản xuất bởi hai phđn xưởng trong một nhă mây được cho trong bảng dưới đđy:
Bảng 2.1:
Kiện hăng Phđn xưởng A Phđn xưởng B (i) (xi: kg) (yi: kg) di = xi - yi di2
1 19,4 19,6 - 0,2 0,04 2 18,8 17,5 1,3 1,69 3 20,6 18,4 2,2 4,84 4 17,6 17,5 0,1 0,01 5 19,2 18,0 1,2 1,44 6 20,9 20,0 0,9 0,81 7 18,3 18,8 - 0,5 0,25 8 20,4 19,2 1,2 1,44 Tổng cộng 6,2 10,52 = 0,775 = 0,816 vă Ġ t n-1, (/2 = t 7, 0,5% = 3,499 • Khoảng tin cậy 99% cho ((x - (y):
- 0,342 < µx - µy < 1,892
Vì vậy, khoảng tin cậy 99% cho sự chính lệch trọng lượng trung bình tổng thể của mỗi kiện hăng được sản xuất từ hai phđn xưởng nằm trong khoảng - 0,342 kg đến 1,892 kg. Khoảng năy chứa đựng giâ trị 0, điều năy cho ta đôn rằng cĩ sự bằng nhau về trọng lượng trung bình mỗi kiện hăng được sản xuất từ hai phđn xưởng.
Giả sử cĩ hai mẫu ngẫu nhiín độc lập cĩ nx vă ny quan sât từ những phđn phối chuẩn cĩ trung bình (x vă (y vă phương sai (x2 vă (y2 . Nếu trung bình mẫu lăĠ văĠ thì khoảng tin cậy 100 (1 - () % cho ( (x - (y) được tính:
(2.5) Trong đĩĠ lă một số sao cho P ( Z ľ) =Ġ
Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiín gồm 96 người hút thuốc lâ, lượng giờ trung bình của những người nghỉ việc khơng cĩ lý do lă 2,15 giờ trong thâng vă độ lệch chuẩn lă 2,09 giờ/ thâng. Một mẫu ngẫu nhiín độc lập khâc gồm 206 người khơng hút thuốc lâ, lượng giờ trung bình của những người nghỉ việc lă 1,69 giờ/thâng, độ lệch chuẩn của mẫu lă 1,91 giờ/ thâng. Tìm khoảng tin cậy 99% cho sự khâc biệt của hai trung bình tổng thể.
Trong khoảng từ - 0,19 đến 1,11 chứa giâ trị 0, cĩ nghĩa lă những bằng chứng trong tăi liệu khơng đủ mạnh để bâc bỏ sự phân đôn rằng số người nghỉ việc trung bình của cả hai nhĩm người năy lă bằng nhau.
3. Ước lượng khoảng tin cậy dựa văo mẫu độc lập cĩ phương sai bằng nhau:
Ví dụ: Một nghiín cứu về hiệu quả trong việc hoạch định tăi chânh của ngđn hăng. Một mẫu ngẫu nhiín gồm 6 nhă hoạch định cho rằng tốc độ tăng thu nhập trung bình hăng năm lă 9,972% vă độ lệch chuẩn lă 7,470. Một mẫu ngẫu nhiín độc lập gồm 9 ngđn hăng khơng cĩ hệ thống hoạch định chính thức cĩ tốc độ tăng thu nhập trung bình hăng năm lă 2,098% vă độ lích chuẩn lă 10,834. Giả
sử rằng hai phđn phối tổng thể cĩ cùng phương sai, tìm khoảng tin cậy 90% cho sự khâc biệt giữa hai trung bình.
Ta cĩ:
Thay văo cơng thức trín ta cĩ:
-1,161 < µx - µy < 16,909
Vậy khoảng tin cậy 90% cho sự khâc biệt giữa tốc độ tăng thu nhập trung bình hai tổng thể bao gồm cả giâ trị 0 (nghĩa lă tốc độ tăng thu nhập lă bằng nhau của hai tổng thể), nhưng tăi liệu mẫu cho thấy khả năng hai trung bình năy bằng nhau thì rất nhỏ.