Chúng ta đê phât triển những phương phâp để tìm khoảng tin cậy cho một tham số của tổng thể trín cơ sở thơng tin của mẫu. Theo một tiến trình như vậy, một nhă điều tra cĩ thể tin rằng nếu khoảng tin cậy mang lại kết quả quâ rộng thì phản ânh một điều khơng mong muốn, bởi vì nĩ khơng chắc chắn cho tham số đang được ước lượng. Một câch điển hình, chỉ cĩ một hướng để đạt được khoảng hẹp hơn với độ tin cậy cao hơn lă tăng số quan sât hay tăng cỡ mẫu (n lớn hơn).
Trong một số trường hợp, câc nhă điều tra cĩ thể cố định trước độ rộng của khoảng tin cậy, chọn n vừa đủ lớn để đảm bảo độ rộng đĩ. Vậy lăm thế năo cỡ mẫu cĩ thể được chọn theo hướng năy cho hai vấn đề ước lượng khoảng.
1. Cỡ mẫu cho những khoảng tin cậy của trung bình tổng thể cĩ phđn phối chuẩn khi biết phương sai: Xuất phât từ cơng thức (2.1):Ġ .
Giả sử rằng một mẫu ngẫu nhiín gồm n quan sât từ một phđn phối chuẩn cĩ trung bình ( vă phương sai (2. Một khoảng tin cậy 100 (1 - ()% cho trung bình tổng thể vă một khoảng câch L =Ġ cho mỗi bín của trung bình mẫu thì số quan sât (cỡ mẫu) lă :
(2.8)
Trong đĩ: Z(/2 lă một số sao cho P ( Z > Z(/2 ) =Ġvă Z cĩ một phđn phối chuẩn tắc.
Ví dụ : Chiều dăi của những que kim loại được sản xuất bởi một qui trình cơng nghệ cao cĩ phđn phối chuẩn với độ lệch chuẩn lă 1,8mm. Một mẫu ngẫu nhiín gồm 9 quan sât từ tổng thể năy, khoảng tin cậy 99% cho ước
lượng trung bình tổng thể lă 194,65 < ( < 197,75 thì được tìm ra cho chiều dăi trung bình tổng thể. Giả sử một quản đốc sản xuất thì tin rằng khoảng câch thì quâ rộng cho việc sử dụng thực tế vă yíu cầu thay thế một khoảng tin cậy 99% khơng được mở rộng hơn 0,5mm cho mỗi bín của trung bình mẫu. Hêy tìm cỡ mẫu để đạt được khoảng câch như vậy?
Ta cĩ: L = 0,5 ( = 1,8 Z(/2 = Z0,5% = 2,575
Vì vậy, để thỏa mên yíu cầu của quản đốc phđn xưởng chúng ta cần một cỡ mẫu ít nhất phải lă 86 quan sât. Tuy nhiín, trong thực tế sự tăng lín trong cỡ mẫu thì yíu cầu chi phí cao hơn để đạt được sự ước lượng cho trung bình tổng thể cĩ khoảng tin cậy hẹp hơn.
2. Cỡ mẫu cho những khoảng tin cậy của tỉ lệ tổng thể: Xuất phât từ cơng thức:
Giả sử rằng một mẫu ngẫu nhiín gồm n quan sât, một khoảng tin cậy 100 (1- ()% cho tỉ lệ tổng thể p được cho bởi cơng thức trín vă khoảng câch cho mỗi bín của tỉ lệ mẫu lă :
Tuy nhiín tỉ lệĠ khơng thể được lớn hơn 0,25 (giâ trị khi tỉ lệ mẫu lă 0,5). Vì vậy, giâ trị cĩ thể lớn nhất cho L lă
Nếu sau đĩ một nhă điều tra muốn chọn một cỡ mẫu lớn hơn cĩ ý nghĩa cho việc bảo đảm khoảng tin cậy khơng rộng hơn khoảng câch L* cho mỗi bín của tỉ lệ mẫu.
Ví dụ: Trở lại ví dụ về những nhă lênh đạo ngđn hăng trả lời khơng về việc chấp nhận những thực tế trong kinh doanh dựa trín 73 quan sât vă chúng ta đê tính khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ của tổng thể lă:
0,42 < p < 0,648
Giả sử chúng ta muốn chắc chắn một khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể khơng lớn hơn 0,06 cho mỗi bín của tỉ lệ mẫu thì cỡ mẫu của chúng ta sẽ lă bao nhiíu?
Vậy để chắc chắn đạt được khoảng tin cậy hẹp hơn, ít nhất chúng ta phải chọn n = 267. BĂI TẬP
1. Một quâ trình sản xuất gạch, trọng lượng những viín gạch nầy được giả sử cĩ phđn phối chuẩn cĩ độ lệch chuẩn 0,12kg. Một mẫu ngẫu nhiín gồm 16 viín gạch vừa sản xuất ra trong ngăy cĩ trọng lượng trung bình 4,07kg.
a. Tìm khoảng tin cậy 99% của trọng lượng trung bình của tất cả câc viín gạch trong ngăy?
b. Khơng cần tính tôn, khoảng tin cậy 95% thì trung bình tổng thể sẽ rộng hơn, hẹp hơn hay bằng với kết quả cđu a?
c. Khơng cần tính tôn, một mẫu ngẫu nhiín gồm 20 viín gạch sẽ được chọn ra trong ngăy mai. Khoảng tin cậy 99% thì trọng lượng trung bình tổng thể của tất cả câc viín gạch sản xuất ra trong ngăy mai sẽ lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng như trong cđu a?
d. Sự thật rằng, độ lệch chuẩn của câc viín gạch sản xuất trong ngăy mai lă 0,15kg, khơng cần tính tôn, khoảng tin cậy 99% thì trọng lượng trung bình tổng thể của tất cả câc viín gạch sản xuất ra trong ngăy mai sẽ rộng hơn, hẹp hơn hay bằng như trong cđu a?
2. Một quản đốc biết rằng lượng tạp chất trong câc kiện sản phẩm cĩ phđn phối chuẩn với độ lệch chuẩn bằng 3,8 g. Một mẫu ngẫu nhiín gồm 9 kiện hăng được kiểm tra vă thấy lượng tạp chất như sau (g):
18,2 13,7 15,9 17,4 21,8 16,6 12,3 18,8 16,2
a. Tìm khoảng tin cậy 90% cho trọng lượng trung bình của tạp chất trong tổng thể?
b. Khơng cần tính tôn, nếu khoảng tin cậy 95% thì trung bình tổng thể sẽ rộng hơn, hẹp hơn hay bằng như trong cđu a?
3. Một trường đại học lớn đang quan tđm về lượng thời gian sinh viín tự nghiín cứu mỗi tuần. Một mẫu ngẫu nhiín gồm 16 sinh viín, cĩ thời gian nghiín cứu trung bình 18,36 giờ/tuần vă độ lệch chuẩn lă 3,92 giờ. Giả sử rằng thời gian nghiín cứu của sinh viín trong mẫu nghiín cứu cĩ phđn phối chuẩn.
a. Tìm khoảng tin cậy 90% cho lượng thời gian tự nghiín cứu trung bình mỗi tuần cho tất cả sinh viín trường đại học năy?
b. Khơng cần tính tôn, trung bình tổng thể khi ước lượng sẽ rộng hơn hay hẹp hơn với ba điều kiện sau:
· Mẫu gồm 30 sinh viín được chọn ra, với tất cả câc điều kiện khâc giống như cđu a? · Ðộ lệch chuẩn của mẫu 4,15 giờ, tất cả câc điều kiện khâc giống như cđu a?
· Trong trường hợp khoảng tin cậy 80%, tất cả câc điều kiện khâc giống như cđu a?
4. Tổ chức quốc gia thực hiện một cuộc điều tra về thời điểm đăo tạo chuyín mơn sđu cho câc thănh viín lă kế tôn viín. 21,1% của 171 người trả lời rằng thâng 5 lă thâng tốt nhất cho việc đăo tạo năy. Tìm khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ tổng thể của câc thănh viín với đề nghị năy ?
5. Một cuộc điều tra được thực hiện của những người bân hăng ở câc cửa hăng về thâi độ vă mong muốn của những khâch hăng lớn tuổi. Một mẫu nhiín gồm 232 khâch hăng tuổi từ 65 trở lín, 25% đê chỉ ra rằng họ mong muốn cĩ sự quan tđm nhiều hơn cho khâch hăng lớn tuổi. Họ đặt cđu hỏi như sau: Những cơng ty vă câc cửa hăng cĩ thể lăm gì để giúp qủ ơng, qủ bă một câch tốt nhất. Một mẫu ngẫu nhiín khâc gồm 106 khâch hăng khâc, tuổi từ 55 - 64, 19,8% trong số nầy cũng muốn được đâp ứng mong muốn của mình. Tìmû khoảng tin cậy 90% cho sự khâc biệt giữa hai tỉ lệ của hai tổng thể trín?
CHƯƠNG 3:
KIỂM ÐỊNH GIẢ THUYẾT (Hypothesis Testing) (Hypothesis Testing)
I. KH Â I NIỆM