2. GIÁ TRỊ THỜI GIAN CỦA TIỀN TỆ
2.4.Các ứng dụng về giá trị thời gian của tiền tệ trong thực tiễn
2.4.1. Xác định yếu tố lãi suất
Trong thực tế, đôi khi chúng ta biết giá trị hiện tại, giá trị tương lai và số thời kỳ nhưng chưa biết lãi suất; khi đấy chúng ta phải xác định lãi suất trong tình huống này là bao nhiêu?
Giả sử bây giờ chúng ta đầu tư 10 triệu đồng vào trái phiếu có thời hạn là 8 năm. Sau 8 năm, chúng ta nhận được 30 triệu đồng. Như vậy, trái phiếu này có lãi suất là bao nhiêu?
Ta có: FV8 = 10(1 + k)8 = 30
(1 + k) = 8√3 = 0,1472 → k = 14,72%.
Như vậy, để có thể giải bài toán tìm lãi suất của một khoản tiền chúng ta có thể giải phương trình căn bản như trên. Trường hợp tìm lãi suất của dòng tiền đều nếu biết giá trị tương lai của dòng tiền đều, khoản trả đều và số thời kỳ; chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp tính gần đúng để tìm lãi suất.
2.4.2. Xác định yếu tố kỳ hạn
Trường hợp chúng ta biết giá trị tương lai, giá trị hiện tại và lãi suất nhưng chưa biết số thời kỳ tính lãi. Giả sử bạn đầu tư 10 triệu đồng mua trái phiếu với lãi suất 10%, sau một khoảng thời gian, bạn nhận được cả gốc và lãi tổng cộng là 13,31 triệu đồng.Khi ấy, chúng ta có thể sử dụng công thức tính giá trị tương lai của một khoản tiền để tìm số thời kỳ tính lãi như sau: FVn = 10 (1 + 0,1)n = 13,31 → (1 + 0,1)n = 1,331 → 1,1n = 1,331 → n = log1,11,331= 3 năm 2.4.3. Xác định khoản trả đều
Trong kinh doanh thường có nhu cầu xác định khoản trả đều định kỳ như nợ trả góp (tức là giảm dần khoản nợ thông qua việc trả đều). Khi gặp những bài toán như vậy, chúng ta biết trước giá trị tương lai (hoặc hiện tại) của dòng tiền, lãi suất và số thời kỳ, vấn đề cần xác định là quy mô của khoản trả đều.
Chúng ta có thể tìm ra khoản trả đều định kỳ của một dòng tiền đều bằng cách sử dụng phương trình giá trị tương lai (hiện tại) của dòng tiền đều.
Ví dụ: Một người phải gởi bao nhiêu tiền vào tài khoản tiết kiệm cuối mỗi năm để có thể tích lũy được khoản tiền 100 triệu đồng vào cuối năm thứ 8 với lãi suất sinh lợi là 5%, ghép lãi theo năm?
Chúng ta có thể xác định khoản tiền gởi đều mỗi năm bằng cách sử dụng công thức tính giá trị tương lai của dòng tiền đều cuối kỳ:
Thay các giá trị FVA8 = 100, k = 5%, n = 8 vào phương trình; chúng ta có giá trị của PMT = 10,472 triệu đồng.
2.4.4. Kế hoạch vay trả nợ dần định kỳ (vay trả góp)
Một ứng dụng quan trọng nữa của giá trị thời gian của tiền tệ liên quan đến việc trả nợ dần định kỳ. Nó được ứng dụng trong các khoản vay mua xe, khoản vay mua nhà trả góp, các khoản vay của sinh viên và các khoản vay khác. Một khoản vay được trả bằng các khoản trả bằng nhau hằng tháng, hằng quý hoặc hằng năm được gọi là trả nợ dần định kỳ.
FVAn = PMT x ( )
(1 + k)n - 1 k
Ví dụ: Một người vay 100.000$ để mua nhà trả góp và tiền vay sẽ trả bằng 5 khoản đều nhau vào cuối mỗi năm trong vòng 5 năm. Người cho vay tính lãi suất 6% trên dư nợ đầu mỗi năm.
Công việc đầu tiên của chúng ta là xác định khoản trả dần định kỳ mà người đi vay mua nhà phải trả mỗi năm. Các khoản trả định kỳ (PMT)được tính dựa trên phương trình tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều cuối kỳ:
Thay giá trị PVA5 = 100.000, k = 6%, n = 5, ta tính được PMT = 23.739,64$. Như vậy, người đi vay sẽ phải trả 23.739,64$ mỗi năm trong vòng 5 năm tới.
Mỗi khoản trả định kỳ sẽ gồm hai phần: tiền lãi và số tiền gốc trả được. Dưới đây là lịch trình trả nợ định kỳ, 100.000$, lãi suất 6% trong 5 năm.
Bảng 2.1: Lịch trình trả nợ vay định kỳ
Năm Nợ đầu kỳ Khoản trả đều Tiền lãia Vốn gốc chi trảb Dư nợ cuối kỳ
1 100.000 23.739,64 6.000 17.739,64 82.260,36 2 82.260,36 23.739,64 4.935,62 18.804,02 63.456,34 3 63.456,34 23.739,64 3.807,38 19.932,26 43.524,08 4 43.524,08 23.739,64 2.611,44 21.128,20 22.395,89 5 22.395,89 23.739,64 1.343,75 22.395,89 0 Lưu ý:
a. Tiền lãi trả mỗi kỳ được tính bằng cách lấy số dư nợ đầu mỗi năm nhân với tỷ lệ lãi suất. Do vậy, tiền lãi trong năm 1 là 100.000x 0,06 = 6.000. Năm 2 là 4.935,62; tính tương tự cho các năm sau.
b. Khoản vốn gốc chi trả được tính bằng khoản chi trả định kỳ 23.739,64 trừ đi phần tiền tiền lãi phải trả mỗi năm.
PVAn = PMT x [ ] 1 (1 + k)n k 1 -
TỔNG KẾT CHƯƠNG
Tiền lãi là số tiền mà người đi vay phải trả thêm vào vốn gốc đã vay sau một khoảng thời gian. Lãi suất là tỷ lệ phần trăm tiền lãi so với vốn gốc trong một đơn vị thời gian.
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số vốn gốc mà không tính trên số tiền lãi sinh ra trong các thời kỳ trước. Lãi kép là số tiền lãi được tính căn cứ vào vốn gốc và tiền lãi sinh ra trong các thời kỳ trước.
Lãi suất danh nghĩa là lãi suất phát biểu gắn với một thời kỳ ghép lãi nhất định. Lãi suất thực là lãi suất sau khi đã điều chỉnh thời hạn ghép lãi đồng nhất với thời hạn phát biểu lãi suất.
Đối với các nhà quản trị, không chỉ có hoạt động gởi tiền hoặc cho vay vì đồng tiền trong tay họ luôn có khả năng sinh lợi. Do vậy, đồng tiền sẽ trở thành những khoản đầu tư và họ cần phải hiểu giá trị thời gian của các khoản tiền. Từ đó, khái niệm lãi suất (i) được hiểu sang một ý nghĩa rộng hơn trong đầu tư đó chính là chi phí cơ hội vốn (k).
Một khoản tiền là một khoản thu nhập hoặc một khoản chi phí phát sinh vào bất kì một thời điểm cụ thể trên đường thời gian. Đường thời gian là một kỹ thuật quan trọng trong việc tính giá trị thời gian của tiền tệ. Đường thời gian giúp hình dung giá trị của tiền tệ tại từng thời điểm. Tuy nhiên, trong các bài toán học thuật, người ta thường quy các khoản tiền về đầu kì, giữa kì hay cuối kì. Vì hoạt động liên tục của các cá nhân hay các tổ chức làm xuất hiện liên tục các khoản tiền dòng tiền ra và dòng tiền vào theo thời gian tạo nên dòng tiền tệ.
Dòng tiền tệ là chuỗi các khoản thu nhập hoặc chi trả xảy ra qua một số thời kì nhất định. Dòng tiền đều là dòng tiền bao gồm các khoản tiền bằng nhau được phân bố đều đặn theo thời gian. Dòng tiền hỗn tạp là dòng tiền tệ bao gồm các khoản tiền không bằng nhau phát sinh qua một số thời kì nhất định.
Giá trị tương lai của một khoản tiền hiện tại là giá trị của số tiền này ở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nó có thể sinh ra trong khoảng thời gian từ thời điểm hiện tại đến một thời điểm trong tương lai.
Giá trị tương lai của một dòng tiền hỗn tạp cuối kỳ được xác định bằng cách ghép lãi từng khoản tiền về thời điểm cuối cùng của dòng tiền và sau đó, cộng tất cả các giá trị tương lai này lại.
Giá trị tương lai của một dòng tiền đều cuối kỳ được xác định bằng cách ghép lãi từng khoản tiền đều nhau (PMT) phát sinh ở cuối kỳ về thời điểm cuối cùng của dòng tiền và sau đó, cộng tất cả các giá trị tương lai này lại.
Giá trị tương lai của một dòng tiền đều đầu kỳ được xác định bằng cách ghép lãi từng khoản tiền đều nhau (PMT) phát sinh ở đầu mỗi thời kỳ về thời điểm cuối cùng của dòng tiền và sau đó, cộng tất cả các giá trị tương lai này lại.
Quá trình tìm giá trị hiện tại của tiền tệ là quá trình đảo ngược của quá trình tích lũy. Công thức tính giá trị hiện tại của một khoản tiền được suy ra từ công thức tính giá trị tương lai của một khoản tiền.
Giá trị hiện tại của một dòng tiền hỗn tạp là tổng giá trị hiện tại của các khoản tiền phát sinh ở thời điểm tương lai.
Giá trị hiện tại của một dòng tiền đều cuối kỳ là tổng giá trị hiện tại của các khoản tiền đều phát sinh cuối kỳ ở thời điểm tương lai.
Giá trị hiện tại của một dòng tiền đều đầu kỳ là tổng giá trị hiện tại của các khoản tiền đều phát sinh đầu kỳ ở thời điểm tương lai.
Giá trị hiện tại của một dòng tiền đều vĩnh cửu là tỷ số giữa giá trị khoản tiền đều chia cho chi phí cơ hội vốn k.
CÂU HỎI VÀ VẤN ĐỀ TỰ KIỂM TRA 1. Tiền lãi của một khoản vốn vay là gì?
2. Phân biệt lãi đơn và lãi kép?
3. Vì sao nói giá trị đồng tiền nhận được vào hôm nay lớn hơn giá trị đồng tiền nhận được ở ngày mai?
4. Trong hai loại tài khoản tiết kiệm, một là lãi suất 5% ghép lãi theo 6 tháng, hai là lãi suất 5% ghép lãi theo ngày. Bạn thích tài khoản nào hơn? Vì sao?
5. Định nghĩa các khái niệm: PV, I, FV, PVA, FVA, PMT, m, n, lãi suất danh nghĩa, khoản trả đều, dòng ngân quỹ, dòng tiền đều thông thường, dòng tiền đều cuối kỳ, dòng tiền đều vĩnh cửu, dòng tiền vào, dòng tiền ra, đường thời gian.
6. Nếu bạn gởi 100 triệu đồng vào một tài khoản ngân hàng với lãi suất 10%/năm, sau 5 năm nữa, bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong tài khoản?
7. Một chứng khoán cam kết trả 50 triệu đồng sau 10 năm nữa, hiện tại chứng khoán đó được bán với giá bao nhiêu với tỷ suất sinh lợi 7%?
8. Bạn có 50 triệu đồng trong một tài khoản và bạn định gởi thêm 5 triệu nữa vào cuối mỗi năm. Tài khoản này có mức sinh lợi kỳ vọng là 12%. Nếu mục tiêu của bạn là tích lũy được 200 triệu, bạn phải mất bao lâu để đạt được mục tiêu này?
9. Giá trị tương lai của một dòng tiền đều đầu kỳ trong 5 năm là bao nhiêu nếu dòng tiền đó đem lại 3 triệu đồng mỗi năm? Giả sử chi phí cơ hội của khoản tiền này là 9%/năm.
10. Bạn có ý định mua xe hơi và một ngân hàng sẵn sàng cho bạn vay 200 triệu đồng để mua xe. Theo điều khoản của hợp đồng, bạn phải hoàn trả toàn bộ vốn gốc sau 5 năm, lãi suất danh nghĩa 12%/năm, trả lãi hàng tháng. Khoản trả đều mỗi tháng của khoản nợ này là bao nhiêu? Lãi suất thực của khoản vay này là bao nhiêu?
11. Bạn cần tích lũy 100 triệu đồng. Để làm điều đó, bạn dự định mỗi năm gởi 12,5 triệu đồng và khoản gởi đầu tiên sẽ thực hiện sau một năm nữa, lãi suất 12%/năm. Bạn cần bao lâu để đạt được mục tiêu của mình?
12. Công ty GE có kế hoạch vay 10 tỷ đồng trong thời hạn 5 năm, lãi suất 15%/năm, trả đều hằng năm thì hoàn trả hết nợ. Cho biết khoản tiền trả cuối năm thứ hai có bao nhiêu giá trị vốn gốc?
13. Giả sử bây giờ là ngày 1 tháng 1 năm 2010. Vào ngày 1 tháng 1 năm 2011, bạn gởi 10 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm sinh lãi 10%/năm.
a. Nếu ngân hàng ghép lãi hằng năm, bạn có được khoản tiền là bao nhiêu trong tài khoản vào ngày 1 tháng 1 năm 2014.
b. Số dư vào ngày 1 tháng 1 năm 2014 sẽ là bao nhiêu nếu ngân hàng sử dụng ghép lãi theo quý thay vì ghép lãi theo năm?
c. Giả sử bạn gởi 10 triệu đồng nhưng chia thành 4 khoản 2,5 triệu và gởi vào ngày 1 tháng 1 năm 2011, 2012, 2013, 2014. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong tài khoản vào ngày 1 tháng 1 năm 2014, lãi suất 10%/năm, ghép lãi theo năm.
14. Bà An có kế hoạch về hưu sau 20 năm nữa, hiện tại bà có 200 triệu đồng và muốn số tiền này tăng lên 1000 triệu đồng khi về hưu. Bà phải tìm mức lãi suất huy động hằng năm là bao nhiêu để khoản tiền 200 triệu đạt được mục tiêu này, giả sử bà không còn một khoản tiết kiệm nào khác
BÀI TẬP
1. Giả sử rằng bạn mua một chứng chỉ tiết kiệm 6 năm, lãi suất 8%, giá trị 1.000$. Nếu lãi suất được tính lãi kép hằng năm, giá trị của chứng chỉ là bao nhiêu khi đáo hạn ?
2. Bạn có một cơ hội đầu tư với đảm bảo giá trị đầu tư của bạn sẽ tăng gấp đôi trong vòng 5 năm. Giả sử tính lãi kép theo năm thì tỷ lệ sinh lời hằng năm của khoản đầu tư này là bao nhiêu?
3. Bạn bắt đầu tiết kiệm để mua một chiếc xe mới trong vòng 5 năm. Nếu bạn dành 1.000$ để vào tài khoản tiết kiệm vào cuối mỗi năm trong vòng 5 năm, tính lãi kép hằng năm, bạn sẽ tích luỹ được bao nhiêu trong vòng 5 năm, với k = 6% ?
4. Theo dữ kiện bài 3. Giá trị cuối cùng sẽ là bao nhiêu nếu tiến hành vào đầu mỗi năm?
5. Theo dữ kiện bài 3. Giá trị cuối cùng sẽ là bao nhiêu nếu dành 500$ vào cuối 6 tháng trong vòng 5 năm và tính lãi kép nửa năm là 6%?
6. Tính giá trị hiện tại của 1.000$ nhận được sau 8 năm. Giả sử lãi suất là 7%/năm.
7. Bạn sẽ đồng ý đầu tư bao nhiêu ngày hôm nay nếu nhận được 800$ vào cuối mỗi năm trong vòng 6 năm? Giả sử rằng lãi suất chiết khấu là 5%.
8. Bạn đã đề nghị vay thế chấp 60.000$ để mua một ngôi nhà mới. Ngân hàng yêu cầu bạn trả hằng năm 7.047,55$ vào cuối mỗi năm trong vòng 20 năm tới. Hãy tính lãi suất hiệu quả của món vay này?
9. Giá trị hiện tại của dòng tiền sau đây là bao nhiêu nếu lãi suất chiết khấu là 12%?
0 1 2 3 4 5
? 2.000 2.000 2.000 3.000 -4.000
10. Lãi suất thực là bao nhiêu nếu công bố lãi suất danh nghĩa là 12%/năm ghép lãi theo tháng?
11. Giá trị hiện tại của dòng tiền sau đây là 11.958,20$ khi được chiết khấu ở mức lãi suất là 12%/năm. Giá trị của dòng tiền này tại t = 2 là bao nhiêu?
0 1 2 3 4
11.958,20 2.000 ? 4.000 4.000
12. Tìm giá trị FV và PV của việc đầu tư với lãi suất 8%/năm và dòng tiền được biểu diễn như sau:
0 1 2 3
? 100 200 400
13. Một cửa hàng đưa ra phương thức trả góp chiếc xe hơi có giá 450 triệu như sau: Trả trước 120 triệu, còn lại trả đều trong 5 năm. Vậy mỗi lần trả là bao nhiêu biết lãi suất là 12%/năm.
14. Một cặp vợ chồng gởi vào tài khoản tiết kiệm số tiền 20 triệu và ngày đứa con gái đầu lòng của họ chào đời với lãi suất 10.75%/năm ghép lãi hằng năm. Đến khi 18 tuổi, con gái sẽ rút ra hằng năm để chi tiêu học đại học Y khoa trong 8 năm với lãi suất là 12%/năm. Vậy mỗi lần rút là bao nhiêu ?
15. Một người vay số tiền 300 triệu đồng từ ngân hàng cho con đi du học ở Nhật. Nếu lãi suất là 10%/năm thì :
a. Khoản trả đều mỗi năm là bao nhiêu trong suốt 5 năm. b. Hãy lập một kế hoạch trả nợ cho người này.
16. Ông A hiện 50 tuổi và kỳ vọng sống thêm 35 năm nữa. Ông mong muốn sau khi về hưu lúc 60 tuổi sẽ nhận khoản tiền 50 triệu đồng mỗi năm. Biết rằng, ông A hiện tại đang gởi vào ngân hàng 120 triệu đồng, lãi suất trước thời điểm về hưu và 8%/năm và lãi suất sau khi về hưu là 10%/năm.
b. Hãy xác định lượng tiền mà ông A sẽ gửi vào ngân hàng mỗi năm, từ năm 50 tuổi đến năm 60 tuổi để đạt được mục tiêu khi về hưu lúc 60 tuổi sẽ nhận khoản tiền 50 triệu đồng mỗi năm cho đến khi qua đời?
17. Giả sử bạn có một tài khoản tiết kiệm 6 năm, k=8%/năm, giá trị là 100 triệu đồng. Hãy