Phương pháp đơn hình (Simplex Method) có lẽ là phương pháp tối ưu chính thức lâu đời nhất và mạnh mẽ nhất cho LP. Phương pháp đơn hình lợi dụng tính lồi của các chương trình tuyến tính (cả trong mục tiêu và tập hợp ràng buộc) bằng cách khảo sát hệ thống mở rộng các đỉnh (vertices) của vùng khả thi cho đến khi không
có cải thiện hơn nữa đối với hàm mục tiêu là hợp lý. Mặc dù lý thuyết của phương pháp đơn hình là (trong trường hợp xấu nhất) một thuật toán thời gian theo cấp số
mũ (cf.Klee và Minty, 1970). Trong thực tế, phương pháp đơn hình thực hiện cực kỳ tốt đối với hầu hết các bài toán LP (cf.Smale, 1983) [21].
Phương pháp đơn hình có thể được áp dụng trực tiếp vào các công thức DC-OPF, và cũng đã được áp dụng vào các mô hình tuyến tính gia tăng của các HTĐ. Các mô hình gia tăng tìm kiếm sự vận hành tối ưu thông qua các thay đổi nhỏ xung quanh một điểm cơ bản, và do đó rất thích hợp cho OPF trực tuyến (online). Đơn giản nhất của các giải thuật là áp dụng một tuyến tính duy nhất và tìm kiếm một giải pháp tối
ưu địa phương. Stott và Hobson (1978) cung cấp một cuộc thảo luận tuyệt vời về
DC-OPF và OPF sử dụng các mô hình tuyến tính gia tăng. Stott và Marinho (1979) là một ví dụ hữu ích: Các tác giả sử dụng các mô hình LP gia tăng để làm giảm bớt quá tải đường dây và thực hiện phân bổ kinh tế ràng buộc – an toàn (security- constrained) của nguồn phát. Phương pháp đơn hình thì cũng là bộ giải quyết sử
dụng nhiều thuật toán SLP cho OPF [21]..
Ưu điểm [23]:
Phương pháp đơn hình là một phương pháp đại số để giải quyết các bài toán lập trình tuyến tính. Nó không phải là khó khăn để thực hiện (sau khi bạn đã quen với từ vựng) nhưng rất khó để giải thích tại sao phương pháp làm việc. Các ưu điểm của phương pháp đơn hình:
Có thểđược sử dụng để giải quyết các bài toán mà trong đó có nhiều hơn 2 biến quyết định (Không thể với các phương pháp đồ thị)
Là một phương pháp có thể lập trình trên máy tính dễ dàng.
Nhược điểm [23]:
Một nhược điểm của phương pháp đơn hình là nó chỉ có thể được áp dụng vào một số loại nhất định của các bài toán lập trình tuyến tính. Các loại của bài toán mà các phương pháp đơn hình phù hợp là những loại mà có thể được biểu thị theo dạng mẫu tiêu chuẩn sau:
Các ràng buộc phải bao gồm các ràng buộc không âm (non-negativity) đối với tất cả các biến quyết định.
Các ràng buộc khác phải được biểu thị dưới dạng mẫu (biểu thức tuyến tính) ≤
No. trong đó No. bên phía tay phải phải là dương (+).
Mục tiêu phải là tối đa hóa một số biểu thức tuyến tính
3.3.1.4 Phương pháp lập trình tuyến tính liên tục [21]
Phần lớn LP dựa vào các giải thuật OPF trong tài liệu được xuất bản không sử dụng tuyến tính đơn. Thay vào đó, chúng thực hiện một hình thức lập trình tuyến tính liên tục (SLP), còn được gọi là lập trình tuyến tính kế tiếp (Successive Linear). SLP là một phần mở rộng của LP (Griffith và Stewart, 1961) mà cho phép tối ưu các bài toán với các đặc tính phi truyến thông qua một loạt các xấp xỉ tuyến tính. NLP ban
đầu được giảm xuống một LP sử dụng một xấp xỉ tuyến tính của hàm mục tiêu và các ràng buộc về một ước tính ban đầu của giải pháp tối ưu. Kết quả LP sau đó
được giải quyết, một tuyến tính mới được thực hiện vềđiểm giải pháp mới, và lặp
đi lặp lại quá trình cho đến khi hội tụ (cf.Bollt, 1964; Zhang, 1983). Bộ giải quyết lựa chọn thường là một biến của phương pháp đơn hình hoặc một IPM.
SLP xử lý tất cả các loại ràng buộc liên tục dễ dàng và cung cấp tốc độ, tính linh hoạt và độ chính xác cho các ứng dụng cụ thể. Các phương pháp SLP chỉ với một ít ràng buộc bắt buộc trong giải pháp có sự khởi tạo đơn giản, nhanh và có thể phát hiện tính bất khả thi ở giai đoạn đầu của quá trình tối ưu (cf.Das, 2002). Một điểm yếu lớn của SLP là nó không thể tìm thấy một tối ưu cho NLPs trong đó tuyến tính mang lại một hướng tìm kiếm không bị ràng buộc. Điều này có thểđược khắc phục bằng cách sử dụng khái niệm về một “vùng tin tưởng” mà tìm kiếm LP bị hạn chế
(cf.Bazaraa et al. ,2006).
Trong SLP nhưđược áp dụng vào OPF, giải pháp tối ưu đạt được bằng cách lặp lại giữa dòng chảy công suất thông thường và các bài toán con LP tuyến tính hóa (cf.Zhang et al., 2006). Cụ thể, tại mỗi lần lặp tuyến tính được thực hiện bằng cách tạo ra một loạt chuỗi mở rộng Taylor bậc 1 về giải pháp của một dòng chảy công suất thông thường. SLP là mong muốn đối với OPF bởi vì nó vẫn duy trì được tốc
độ của LP nhưng các cách tiếp cận sự chính xác của các phương pháp NLP. Ngoài ra, SLP có thể đảm bảo cải thiện hàm mục tiêu tại mỗi vòng lặp (cf.Alsac et al.,1990). Tuy nhiên, bởi vì lập trình tuyến tính được xây dựng xung quanh một
điểm vận hành hiện tại, các phương pháp đó chỉ tìm tối ưu địa phương. Ngoài ra, quá trình tuyến tính có thể dẫn đến sự giao động như là giải thuật tiếp cận tối ưu
(cf.Rosehart et al., 1997), hoặc làm chậm hội tụ và thậm chí phân kỳ (divergence) trong trường hợp các hàm mục tiêu phi tuyến tính cao (cf.Grudinin ,1998).
Ưu điểm [22]:
Phương pháp SLP xử lý dễ dàng các ràng buộc phi tuyến tính
Hiệu quả trong việc giải quyết các bất đẳng thức.
Giao dịch hiệu quả với các ràng buộc địa phương
Có khả năng để kết hợp các ràng buộc hội tụ
Các phương pháp SLP mới nhất đã vượt qua những khó khăn của việc giải quyết bài toán cực tiểu tổn thất không thể tách ra được, các giới hạn về mô hình của đường đặc tính chi phí nguồn phát.
Không có yêu cầu bắt đầu từ một điểm khả thi. Quá trình được nhập với một dòng chảy công suất được giải quyết hoặc không được giải quyết. Nếu một sự
cân bằng phản kháng không thểđạt được lúc đầu, giải pháp dòng chảy công suất
đầu tiên chuyển vào hoặc ra số lượng cần thiết của tụ bù VAR được kiểm soát.
Giải pháp SLP là hoàn toàn đáng tin cậy
Có khả năng để nhận diện giải pháp không khả thi.
Giải pháp LP có thể rất nhanh
Những ưu điểm của cách tiếp cận SLP, chẳng hạn như tính toán hoàn toàn đáng tin cậy và tốc độ rất cao, phù hợp cho thời gian thực (real-time) hoặc các mục
đích chếđộổn định
Nhược điểm [22]:
Thiếu sự chính xác.
Mặc dù các phương pháp LP là nhanh chóng và đáng tin cậy, nhưng nó có một số nhược điểm liên quan với chi phí xấp xỉ tuyến tính từng phần (piecewise).
3.3.1.5 Phương pháp lập trình bậc hai liên tục [21]
Lập trình bậc hai liên tục (SQP), cũng được biết đến là lập trình bậc hai kế tiếp (Successive Quadratic Programming), là giải pháp của bài toán NLP bằng cách giải quyết một loạt các bài toán QP mà hội tụđối với giải pháp tối ưu của bài toán ban
đầu (cf.Bell ,1984; Bazaraa et al., 2006). Bằng cách này, SQP thì tương tự như SLP. Tại mỗi vòng lặp, giải thuật tạo ra một lập trình bậc hai mà xấp xỉ với hành vi của bài toán NLP về một điểm vận hành cụ thể (thông thường, giải pháp tối ưu từ vòng lặp QP trước). Tiếp theo, bài toán con QP được giải quyết để tối ưu. Giải pháp tối
ưu của bài toán con QP khi đó hình thành điểm suất phát cho vòng lặp SQP tiếp theo, và quá trình này được lặp lại đến hội tụ. SQP có thể có hiệu quảđáng kể hơn các cách tiếp cận NLP tổng quát và đã được áp dụng thành công hoàn toàn trong một số giải thuật nghiên cứu và OPF thương mại. Tuy nhiên, giống như SLP, SQP có thể bị dao động khi gần giải pháp tối ưu(cf.Rosehart et al., 1997).
Gần như tất cả việc thực hiện SQP đối với OPF, dòng chảy công suất thông thường
được sử dụng để tuyến tính hóa các ràng buộc tại mỗi vòng lặp, khi đó một phương pháp tối ưu xác định được sử dụng để giải quyết kết quả QP. Việc sử dụng dòng chảy công suất thông thường để thực hiện sự tuyến tính làm gia tăng hiệu quả tính toán. Một phương pháp Gradient kết hợp với phương pháp đơn hình giống như lặp
đi lặp lại cung cấp giải pháp cho bài toán con QP (cf.Burchett et al., 1982, 1984). Quy trình SQP được mô tả trong Contaxis et al. (1986) thì tương tự, nhưng các tác giả không chỉ định phương pháp tối ưu NLP được sử dụng để giải quyết các bài toán con QP. Đối với việc cực tiểu tổn thất, SQP sử dụng phương pháp của Newton, giới thiệu các kỹ thuật tìm kiếm khác nhau để cải thiện hiệu suất thuật toán (Chang
et al., 1990).
Ưu điểm [22]:
Phương pháp này rất phù hợp với các điểm bắt đầu không khả thi hoặc phân kỳ
Dòng chảy công suất tối ưu trong các hệ thống điều kiện xấu và phân kỳ có thể được giải quyết trong nhiều trường hợp
SQP không yêu cầu việc sử dụng các hệ số phạt hoặc xác định kích thước bước Gradient mà có thể gây khó khăn hội tụ. Bằng cách này sự hội tụ thì rất nhanh chóng
Phương pháp có thể giải quyết cả các bài toán phân bổ kinh tế và dòng chảy công suất.
Trong suốt giai đoạn tối ưu tất cả các kết quả trung gian có tính khả thi và giải thuật chứng tỏ có hay không một giải pháp khả thi là có thể
Độ chính xác của phương pháp SQP là cao hơn nhiều so với các phương pháp khác được thiết lập.
Nhược điểm [22]:
- Tính hội tụ của chu trình lập trình xấp xỉ (giải pháp kế tiếp của lập trình bậc hai và các bài toán dòng chảy tải)
- Những khó khăn trong việc có được giải pháp lập trình bậc hai trong kích thước lớn xấp xỉ các bài toán SQP.
- Sự phức tạp và độ tin cậy của các giải thuật lập trình bậc hai.
SQP dựa trên các kỹ thuật có một số nhược điểm liên quan với xấp xỉ chi phí bậc hai từng phần.
3.3.1.6 Phương pháp điểm nội suy
Các phương pháp điểm nội suy (IPM) là một gia đình của các giải thuật tỷ lệ ánh xạ
(projective scaling) để giải quyết các bài toán tối ưu tuyến tính và phi tuyến tính mà ràng buộc tìm kiếm khu vực khả thi bằng cách giới thiệu các điều kiện rào cản đối với hàm mục tiêu. Tổng quát, IPM cố gắng để xác định và theo một đường trung tâm thông qua khu vực khả thi đối với giải pháp tối ưu. IMP đầu tiên như là một sự
thay thế đối với phương pháp đơn hình cho LP (cf.Karmarkar, 1984). Nghiên cứu của Karmarkar sau đó đã được tinh chế bởi nhiều nhà nghiên cứu khác, và IPM đã
được chứng minh là có tính cạnh tranh cao với phương pháp đơn hình, đặc biệt cho các bài toán lớn, các lập trình tuyến tính suy biến (degenerate), và lập trình ngẫu nhiên. Đối với các lập trình tuyến tính, IPMs tiếp cận ranh giới (và do dó giải pháp tối ưu) chỉ trong giới hạn và yêu cầu tính toán phức tạp đáng kể hơn tại mỗi vòng lặp hơn phương pháp đơn hình (cf.Nocedal và Wright, 2006). Tuy nhiên, IPMs cũng đạt được tiến độ cao tại mỗi vòng lặp, giúp giảm thiểu số lần lặp lại và cũng thường giảm tổng thời gian giải pháp. IPM có một đa thức giả (pseudo-polynomial) ràng buộc về thời gian chạy trong trường hợp xấu hơn mà là tốt hơn các giải thuật Elipxoit (ellipsoid) (cf.Grigsby ,2000); như là một ràng buộc không được biết đến
đối với phương pháp đơn hình [21].
Ưu điểm [22]:
Phương pháp điểm nội suy là một trong những giải thuật hiệu quả nhất. Duy trì
độ chính xác cao trong khi đạt được những ưu điểm lớn trong tốc độ hội tụ lớn như 12:1 trong một số trường hợp khi so sánh với các kỹ thuật lập trình tuyến tính được biết khác.
Phương pháp điểm nội suy có thể giải quyết một bài toán lập trình tuyến tính có tỷ lệ lớn bằng cách di chuyển thông qua nội suy, chứ không phải là giới hạn như
phương pháp đơn hình, của khu vực khả thi để tìm một giải pháp tối ưu.
Phương pháp điểm nội suy nên thích nghi hơn với OPF vì độ tin cậy, tốc độ và
độ chính xác của nó
Sự lựa chọn mục tiêu tựđộng (các lựa chọn phân bổ kinh tế, quy hoạch VAR và giảm thiểu tổn thất) dựa trên sự phân tích hệ thống.
IPM cung cấp người dùng sự tương tác trong việc lựa chọn các ràng buộc.
Nhược điểm [22]:
Hạn chế vì các điều kiện bắt đầu và kết thúc.
Giải pháp không khả thi nếu kích thước bước được chọn không đúng
Ngoài ra còn có các phương pháp điểm nội suy đối ngẫu – ban đầu (Primal – Dual Interior Point Methods), Phương pháp điểm nội suy đối ngẫu – ban đầu chỉnh sửa và dựđoán trước (Predictor-Corrector PDIPM), phương pháp điểm nội suy đối ngẫu – ban đầu đa chỉnh sửa trung tâm (Multiple Centrality Corrections PDIPM), và các phương pháp điểm nội suy vùng tin cậy (TRIPMs).
3.3.1.7 Các phương pháp bổ sung [21]
Khai triển Bender (Decomposition) (Yamin et al. ,2003).
Khai triển Bender tổng quát (General) (Alguacil và Conejo, 2000).
Bổ sung phi tuyến (Nonlinear Complementarity) (Torres và Quintana ,2000).
Lập trình bán vô hạn (Semi-infinite programming) (Xia and Chan, 2006).
Khai triển tuyến liên kết (Tie-line decomposition) (Bakirtzis and Biskas, 2003).
Hỗn hợp lập trình tuyến tính số nguyên liên tiếp (Sequential Mixed Integer Linear Programming) (Lobato et al., 2001).
3.3.1.8 Tóm tắt các phương pháp tối ưu xác định [21]
Các phương pháp tối ưu xác định được thảo luận trong phần này được tóm tắt trong bảng 3.1. Cột đầu tiên trong bảng liệt kê các phương pháp trong khi cột thứ hai cho biết các loại công thức mà đã được sử dụng với phương pháp. Cột thứ ba trong bảng cung cấp một hoặc hai tài liệu tham khảo. Cột thứ tư cho biết không biết phương pháp có tính hội tụ toàn cục đối với các bài toán OPF không. Và cột cuối cùng cung cấp lời nhận xét cho phép so sánh ngắn gọn các phương pháp khác nhau.
Bảng 3.1: So sánh các kỹ thuật tối ưu xác định
Phương
pháp Công thức Tham khảo toàn cHội tụục a Nhận xét
RGb QP, NLP Dommel và Tinney (1968), Alsac và Stott (1974) Có Các ràng buộc hàm bất đẳng thức yêu cầu sử dụng các điều khoản phạt. Hội tụ
chậm do đặc tính tìm kiếm “zig-zag”. Phần lớn được thay thế bởi các giải thuật hiệu quả hơn.
CGb QP, NLP Burchett et al.
(1982a) Có
Khắc phục được đặc tính tìm kiếm “Zig-zag” của RG, nhưng vẫn yêu cầu các
điều khoản phạt đối với các ràng buộc hàm bất đẳng thức. GRGb QP, NLP Peschon et al.
(1972) Không
Sử dụng các biến yếu và tuyến tính liên tiếp để loại bỏ nhu cầu các điều khoản phạt. Phân tích độ nhạy thì không phức tạp so với phương pháp RG.
Newton NLP QPc, Sun et al. (1984) Khôngd
Phát triển đối với NLP không bị ràng buộc; sử dụng với OPF yêu cầu xác định sự bắt buộc tập hợp ràng buộc và sử dụng các điều khoản phạt đối với các ràng buộc hàm. Đặc tính hội tụ bậc hai. Được sử dụng như bộ giải địa phương trong nhiều phương pháp khác.
Tựa
Newton QP, NLP
Housos và Irisarri
(1982) Không
d Được sử dụng để vượt qua gánh nặng tính toán của phương pháp Newton. Không được sử dụng rộng rãi đối với OPF.
Đơn
hình LP
Stott và Hobson
(1978) Có
Yêu cầu tuyến tính của các công thức OPF (mất độ chính xác). Tốc độ tuyệt vời trong hầu hết các ứng dụng. Sử dụng trực tiếp trong DC-OPF hoặc lặp đi lặp lại như bộ giải quyết địa phương trong SLP.
SLP NLP Alsac et al. (1990) Không
Phương pháp tập hợp chủ động (active-set). Sử dụng rộng rãi; cạnh tranh thương mại với các phương pháp GRG và Newton đối với hầu hết các công thức và mục tiêu OPF cổ điển. Tuy nhiên, yêu cầu giám sát để đảm bảo hội tụ
và thể hiện số không ổn định và/hoặc dao động đối với nhiều kiểu bài toán nhất
định. Sử dụng tốt nhất cho phân bổ kinh tế; thực hiện kém đối với phân bổ công suất phản kháng. SQP NLP Burchett et al. (1984), Chang et al.