Phương pháp Newton là phương pháp bậc 2 cho sự tối ưu không ràng buộc (unconstrained optimization) dựa trên ứng dụng của sự triển khai chuỗi Taylor bậc 2 về giải pháp ứng cử viện hiện tại (current cadidate). Đối với một hàm mục tiêu đã cho f(x), phương pháp Newton xác định hướng tìm kiếm sk = -H(xk)-1∇f(xk), trong
đó H(xk) là ma trận Hessian của f(x) tại xk. Giải thuật khi đó tính toán kích thước một bước αk theo hướng sk mà mang lại sự hoàn thiện lớn nhất trong hàm mục tiêu. (đối với phương pháp Newton cổ điển, bước có kích thước được cốđịnh tại αk= 1;
điều này mang lại sự tối ưu chính xác xấp xỉ bậc hai của hàm mục tiêu về xk). Phương pháp Newton nổi tiếng với các tính chất hội tụ bậc hai của mình theo một số giả định nhỏ trong miền lân cận của giải pháp (cf.Deuhard, 2004). Tuy nhiên,
phương pháp này không được đảm bảo hội tụ đối với cực tiểu địa phương trừ phi ma trận Hessian nửa xác định dương trong vùng lân cận của điểm cực tiểu (cf.Vanderplaats, 1999)
Khi áp dụng sự tối ưu ràng buộc (chẳng hạn như OPF), phương pháp Newton yêu cầu việc sử dụng hàm Lagrangian, trong đó bao gồm các điều khoản phạt cho các ràng buộc. Như các phương pháp Gradient, các biến có thể được chia thành các tập hợp biến độc lập và các biến phụ thuộc để giảm các hướng tìm kiếm có thể. Các giới hạn trên các biến độc lập bị ép buộc trực tiếp trong mỗi di chuyển. Các hệ số
(factors) hình phạt thích hợp cho những ràng buộc đẳng thức có thểđược ước lượng trực tiếp như là một phần của quá trình tìm kiếm giải pháp (cf.Wood và Wollenberg, 1996). Các ràng buộc bất đẳng thức hoặc phải được xử lý như các ràng buộc đẳng thức hoặc bỏ qua, tùy thuộc vào chúng sẽ kết hợp vào giải pháp tối ưu hay không. Các bất đẳng thức hoạt động không được biết đến trước giải pháp; sự
xác định các ràng buộc bất đẳng thức hoạt động là một thử thách lớn cho Newton dựa trên OPF (cf.Happ, 1977).
Mặc dù phương pháp của Newton có thể được áp dụng cho OPF, nhưng họ đã không dùng nó bởi vì các yêu cầu tính toán là quá nhiều vào thời điểm đó (cf.Dommel và Tinney, 1968). Tuy nhiên, Sasson et al. (1973) đã giới thiệu phiên bản đầu tiên của Newton dựa trên OPF. Công thức của họ đã không sử dụng Lagrangian mà là một loạt các hệ số phạt suy luận được tính toán. Sun et al. (1984)
đã giới thiệu một thuật toán hiệu quả hơn áp dụng Lagrangian. Đóng góp chính của tác giả là một chương trình tìm kiếm về sự lũy biến và thực hiện ràng buộc bất đẳng thức, với những ràng buộc thực hiện về các giới hạn của nó được dựa trên sựđánh giá kỹ thuật. Phương pháp này được biết đến như một phương pháp thiết lập hoạt
động và phạt. Hong (1992) đã thảo luận việc thực hiện giải thuật của Newton dựa trên OPF, bao gồm cả hiệu quả về số lượng và đảm bảo ổn định thuật toán.
Ưu điểm [22]:
Phương pháp này có khả năng hội tụ nhanh
Nó có thể sử lý các ràng buộc bất đẳng thức rất tốt.
Trong phương pháp này, các ràng buộc bất đẳng thức bắt buộc thì được xác
Đối với bất kỳ tập hợp đã cho của các ràng buộc bắt buộc, quá trình hội tụ đối với các điều kiện Kuhn-Tucker trong việc lặp đi lặp lại ít hơn.
Cách tiếp cận Newton là một công thức linh hoạt mà có thể được sử dụng để
phát triển các giải thuật OPF khác nhau với các yêu cầu của các ứng dụng khác nhau.
Với giải pháp mạnh mẽ và hiệu quả của phương pháp này có thể đạt được đối với các bài toán của bất kỳ kích thước thực tế nào.
Thời gian thực hiện giải pháp khác nhau xấp xỉ tỷ lệ với kích thước mạng và tương đối độc lập với số lượng các ràng buộc bất đẳng thức và kiểm soát.
Không cần người dùng cung cấp các hệ số điều chỉnh và tỷ lệ (tuning and scalling factors) đối với quá trình tối ưu.
Nhược điểm [22]:
Hình phạt gần giới hạn là rất nhỏ bởi giải pháp tối ưu sẽ có xu hướng dẫn đến biến số nổi quá (float over) giới hạn.
Không thể phát triển các chương trình OPF thực tế mà thiếu việc sử dụng rải rác (sparsity) các kỹ thuật.
Newton dựa trên các kỹ thuật có một nhược điểm của các đặc tính hội tụ là nhạy cảm với các điều kiện ban đầu (initial conditions) và chúng có thể không đạt hội tụ do điều kiện ban đầu không phù hợp
Một bất lợi chính của phương pháp Newton là việc tính toán và đảo ngược của ma trận Hessian là rất chuyên sâu về tính toán. Điều này đã truyền cảm hứng cho sự
phát triển của các phương pháp tựa Newton (Quasi-Newton): các phương pháp mà xấp xỉ với ma trận Hessian sử dụng các giải thuật hiệu quả khác nhau. Trong một vài trường hợp, các phương pháp tựa Newton có thể là nhanh hơn đáng kể so với phương pháp Newton đầy đủ; trong việc thực hiện khác thì kém bởi vì sự xấp xỉ ma trận Hessian không chỉ dẫn đến các hướng tìm kiếm hiệu quả (Nocedal và Wright, 2006).