VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ

Giaovienvietnam.com VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A MỤC TIÊU: Học sinh nắm ax + by = c - Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn:  / / / a x + b y = c Cách giải - Một số dạng tốn hệ phương trình bậc hai ẩn B NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng 1.- Vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình phương Giải hệ phương trình phương pháp pháp 3 x − y = ⇔  2 x + y = cộng đại số 3 x − 2(5 − x ) =   y = − 2x 3 x − y = ⇔  2 x + y = 3 x − 10 + x = 7 x = 14 ⇔ ⇔  y = − 2x  y = − 2x 3 x − y = ⇔  4 x + y = 10 7 x = 14  2 x + y = x = x = ⇔ ⇔  2 + y = y = x = x = ⇔ ⇔  y = − 2 y = Vậy hệ phương trình cho có Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nghiệm (x;y) = (2;1) (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình 4 x − y = 6 x − y = 1)  2 x + y = 4 x + y = 10 2)   x − (1 + ) y = 5)  (1 − ) x + y = 3 x − y + = 5 x + y = 14 3)  0,2 x + 0,1 y = 0,3 6)  3 x + y = 2 x + y = 3 x − y = 14 4)  x  = 7)  y  x + y − 10 =  Bài 2: Giải hệ phương trình sau: Giaovienvietnam.com (3x + 2)(2 y − 3) = xy (4 x + 5)( y − 5) = xy 2)  2( x + y ) + 3( x − y ) = ( x + y ) + 2( x − y ) = 3)  (2 x − 3)(2 y + 4) = x( y − 3) + 54 ( x + 1)(3 y − 3) = y ( x + 1) − 12 y + 27  y − 5x +5= − 2x  4)   x + + y = y − 5x  1 ( x + )( y + ) − xy = 50  2 5)   xy − ( x − 2)( y − 2) = 32  2 6)  1)  ( x + 20)( y − 1) = xy ( x − 10)( y + 1) = xy Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ Bài tập: 1 1  x + y = 12  1)   + 15 =  x y   x + y + y + 2x =  2)   − =1  x + y y + x 3 x + y = 16  x + y = 13 4)  5)  3 x − y = −6 2 x − y = −11  3x x +1 − y + =  3)   2x − =  x + y +  x + y = 18 3 x + y = 10 6)  5 x − − y + = 2( x − x) + y + = 7)  3( x − x ) − y + = −7 8)  2 x − x + + y + y + = 13 Dạng Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: • Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x • Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = ⇔ b (1) • Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vơ số nghiệm - Nếu b ≠ hệ vơ nghiệm ii) Nếu a ≠ (1) ⇒ x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ a phương trình có nghiệm Giaovienvietnam.com mx − y = 2m(1) 4 x − my = m + 6(2) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình:  Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + ⇔ (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m2 – ≠ hay m ≠ ± x = Khi y = - (2m + 3)(m − 2) 2m + = m+2 m2 − m 2m + m Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m+2 m+2 m+2 ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x ∈ R iii) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m ≠ ± hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( 2m + m ;) m+2 m+2 - Nếu m = hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x ∈ R - Nếu m = -2 hệ vô nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx + y = 3m − mx + y = 10 − m 2)   x + my = m +  x + my = (m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + 1)  3)   x + my = 3m  x − my = + m 4)  5)  mx + y = + m mx − y = m − 6)  2 x − y = + m mx + y = (m + 1) DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: • Giải hệ phương trình theo tham số • Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k ngun f (m) • Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: Giaovienvietnam.com mx + y = m +  2 x + my = 2m − HD Giải: mx + y = m + ⇔  2 x + my = 2m − 2mx + y = 2m +  2 2mx + m y = 2m − m (m − 4) y = 2m − 3m − = ( m − 2)(2m + 1) ⇔ 2 x + my = 2m − để hệ có nghiệm m2 – ≠ hay m ≠ ± Vậy với m ≠ ± hệ phương trình có nghiệm (m − 2)(2m + 1) 2m +  = = 2−  y = m+2 m+2 m −4  x = m − = − m+2 m+2  Để x, y số nguyên m + ∈ Ư(3) = {1;−1;3;−3} Vậy: m + = ± 1, ± => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m + 1) x + y = m −  2 m x − y = m + m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx − (m + 1) y = m − n  (m + 2) x + 3ny = 2m − HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b Giaovienvietnam.com c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết b a cho ax + b f(- ) = a b  f( ) =0  + −3= ⇔ 8  Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11  f (−3) = 18a − 3b − = d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD:  f (2) = 4a + 2b = ⇔ ⇔   f (−1) =  a − b = −4  a = −1  b = Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 2 a + b = ⇔  a + b =   a = −1  b = Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = 3 x + y =  x = 0,5 ⇔ Vậy M(0,2 ; 1,25) x + y =  y = 1,25 nghiệm hệ phương trình:  Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m ⇔ m = -0,85 Giaovienvietnam.com Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx + y =  x + my = Cho hệ phương trình:  Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 38 =3 m −4 2x + y + HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m ≠ ± - Giải hệ phương trình theo m 8m −  y=  mx + y = (m − 4) y = 8m − mx + y =  m −4 ⇔ ⇔ ⇔   x + my = mx + m y = 8m  x + my =  x = 9m − 32  m2 − - Thay x = 9m − 32 8m − ;y= vào hệ thức cho ta được: m −4 m −4 9m − 32 8m − 38 + + =3 m −4 m −4 m −4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 ⇔ 3m2 – 26m + 23 = ⇔ m1 = ; m = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 Giaovienvietnam.com BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx + y = 10 − m (m tham số)  x + my = Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương Bài 2: (m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + Cho hệ phương trình :  a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: 3 x + y = 2 x − y = m Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: mx + y =  x + my = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm Giaovienvietnam.com Bài 5:  x + my = mx − y = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m d) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m +3 Bài 6: mx − y = 3x + my = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m2 m2 + Bài 7: 3 x − my = −9 mx + y = 16 Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = ... luận hệ phương trình Phương pháp giải: • Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x • Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = ⇔ b (1) • Biện luận phương trình. .. = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b Giaovienvietnam.com... hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m2 m2 + Bài 7: 3 x − my = −9 mx + y = 16 Cho hệ phương trình