Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số

Giaovienvietnam.com Hệ phương trình bậc ẩn số A Kiến thức cần nhớ hệ phương trình bậc hai ẩn số Định nghĩa hệ phương trình bậc hai ẩn số ax  by  c �  I a'x  b' y  c' � + Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng � Trong a, b, a’ b’ khơng đồng thời Biện luận số nghiệm phương trình bậc hai ẩn số Với a’, b’, c’ khác thì: + Hệ (I) có nghiệm + Hệ (I) vô nghiệm a b � a' b' a b c  � a' b' c' + Hệ (I) có vơ số nghiệm a b c   a' b' c' B Một số dạng tập hệ phương trình bậc hai ẩn số I Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng a, Phương pháp + Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho thành hệ có phương trình ẩn + Giải phương trình ẩn nghiệm hệ b, Phương pháp cộng đại số + Nhân hai vế phương trình với thừa số phụ cho giá trị tuyệt đối hệ số ẩn hai phương trình + Dùng quy tắc cộng đại số để hệ mứi có phương trình ẩn + Giải phương trình ẩn suy nghiệm hệ Giaovienvietnam.com c, Một số ví dụ giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số Bài 1: Giải hệ phương trình phương pháp 3x    x   � 3x  y  � 3x  10  x  � �� �� � 2x  y  � �y   x �y   x x  14 � �x  �x  �� �� � �y   x �y   2.2 �y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2;1) Bài 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 3x  y  3x  y  x  14 � � � � � � � � 2x  y  x  y  10 2x  y  � � � �x  �x  �� � 2.2  y  �y  � Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2;1) II Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ a, Cách giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ + Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa + Bước 2: Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ + Bước 3: Giải hệ theo ẩn phụ đặt (sử dụng phương pháp phương pháp cộng đại số) + Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm hệ b, Ví dụ tốn giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ �  3 � x  y y  x � Giải hệ phương trình: � �  1 � �x  y y  x Giaovienvietnam.com �x  y �0 �y  x �0 Điều kiện � Đặt a  1 ;b  x  2y y  2x Hệ phương trình cho trở thành: 2a  b  6a  3b  � 10a  10 a 1 � � � �� �� �� � 4a  3b  � 4a  3b  4a  3b  � b 1 � � Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (1;1) III Dạng Giải biện luận hệ phương trình a, Phương pháp giải: + Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x + Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) + Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ - Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b Nếu b = hệ có vơ số nghiệm Nếu b 0 hệ vơ nghiệm - Nếu a 0 (1)  x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ a phương trình có nghiệm b, Ví dụ giải biện luận hệ phương trình: \  mx  y 2m(1)  x  my m  6(2) Giải biện luận hệ phương trình:  Từ (1)  y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m +  (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) + Nếu m2 –  hay m  2 x = Khi y = - (2m  3)(m  2) 2m   m2 m2  m 2m  m Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m2 m2 m2 Giaovienvietnam.com + Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x  R + Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vơ nghiệm IV Dạng 4: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước a, Phương pháp giải: + Giải hệ phương trình theo tham số + Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m) + Tìm m nguyên để f(m) ước k b, Một số ví dụ tốn Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên:  mx  y m    x  my 2m  2mx  y  2m  mx  y  m  � � �� � x  my  2m  � 2mx  m y  2m  m � � �m2   y  2m2  3m    m    2m  1 � x  my  2m  � để hệ có nghiệm m2 – 0 hay m  2 Vậy với m  2 hệ phương trình có nghiệm (m  2)( 2m  1) 2m    2   y  m2 m2 m    x  m  1   m2 m2 Để x, y số nguyên m +  Ư(3) = 1; 1;3; 3 Vậy: m + = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5 C Bài tập tự luyện hệ phương trình bậc hai ẩn Bài 1: Giải hệ phương trình Giaovienvietnam.com  x  y 3  x  y 5 1)   x  y 5  x  y 10 2)   x  (1  ) y 1 5)   (1  ) x  y 1  x  y  0  x  y 14 3)   x  y 3  x  y 14 4)  x   7)  y  x  y  10 0   0,2 x  0,1 y 0,3 6)   x  y 5 Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  (3x  2)(2 y  3) 6 xy  (4 x  5)( y  5) 4 xy  2( x  y )  3( x  y ) 4  ( x  y )  2( x  y ) 5 1)  2)   (2 x  3)( y  4) 4 x( y  3)  54 3)   ( x  1)(3 y  3) 3 y ( x  1)  12 y  27  y  5x 5   2x  4)   x   y  y  5x  1  ( x  2)( y  3)  xy 50 5)   xy  ( x  2)( y  2) 32  2 6)   ( x  20)( y  1)  xy  ( x  10)( y  1)  xy Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 1 1  x  y 12  1)    15 1  x y   x  y  y  x 3  2)    1  x  y y  x  3x  x   y  4  3)   x  9  x  y   x  y 13 4)   x  y   x  y 16 5)   x  y  11 6)   2( x  x )  y  0 7)   3( x  x)  y    x  y 18  x  y 10  x   y  7 8)   x  x   y  y  13 Bài 4:  mx  y 10  m (m tham số)  x  my 4 Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m Giaovienvietnam.com c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương Bài 5:  (m  1) x  my 3m   x  y m  Cho hệ phương trình :  a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 6:  x  y 4  x  y m Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 7:  mx  y 9  x  my 8 Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm Bài 8:  x  my 9  mx  y 4 Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m d) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: Giaovienvietnam.com x - 3y = 28 -3 m 3 Bài 9:  mx  y 2  3x  my 5 Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m  b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x  y 1  m2 m2  Bài 10:  x  my   mx  y 16 Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = Bài 11: Giải biện luận hệ phương trình đây:  mx  y 3m   mx  y 10  m 2)   x  my m   x  my 4  (m  1) x  my 3m   x  y m  1)   x  my 3m  x  my 1  m 4)  5)   mx  y 1  m  mx  y m  3)   x  y 3  2m 6)   mx  y (m  1) ... được: 4x – m(mx – 2m) = m +  (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) + Nếu m2 –  hay m  ? ?2 x = Khi y = - (2m  3)(m  2) 2m   m? ?2 m2  m 2m  m Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m? ?2 m? ?2 m? ?2 Giaovienvietnam.com... � 2. 2  y  �y  � Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2; 1) II Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ a, Cách giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ + Bước 1: Đặt điều kiện để hệ. .. � Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (1;1) III Dạng Giải biện luận hệ phương trình a, Phương pháp giải: + Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x