Chuong II 2 Hoan vi Chinh hop To hop

Việc chứng tỏ cho Qn đúng với mọi số tự nhiên n * bằng cách thử với 1 số giá trị của n “ Cho dù làm được với số lượng lớn” cũng không thể được coi là phương pháp chứng minh, hơn nữa tậ[r]

Mở đầu Xét hai mệnh đề chứa biến P (n) : "3n  n  100" và Q(n) :"2n  n " với n N* a) Với n = , , , , thì P(n) , Q(n) đúng hay sai? b) Với n N* thì P(n) , Q(n) đúng hay sai? Trả lời: Q(n) P(n) n 2n ss n Kq n 3n ss n+100 Kq > Đ  101 Đ > Đ  102 Đ > Đ 27  103 Đ 16 > Đ 81  104 Đ 32 > Đ 243 > 105 S b Với n *, P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắn Việc chứng tỏ cho Q(n) đúng với số tự nhiên n * cách thử với số giá trị n “ Cho dù làm với số lượng lớn” không thể coi là phương pháp chứng minh, tập số tự nhiên là vô hạn nên việc thử là không thể thực Chương III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Tiết 37 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC : Để chứng minh mệnh đề P(n) với nN*, ta thực các bước sau: Bước 1:Kiểm tra mệnh đề đúng với n = Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  ( gọi là giả thiết qui nạp ).Ta chứng minh nó đúng với n = k + Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp II VÍ DỤ ÁP DỤNG : Ví dụ Chứng minh với nN* thì : n(n  1)     n  (1) Giải : n (1n  1)  1) Khi n = : + + + 4hay + = + n (1) 1 n(n 1) đúng 1+2+3+4+ +n  (*) 2) Giả thiết (1) đúng với số tự nhiên kn ( kn 1) k(k n = k  1: + + + + + kn  2 Ta chứng minh (1) đúngkhi n = k + : k(k  1) + + + + + k + (k + 1) (k  1)[(k  1)  1]  = Vậy (1) đúng với số tự nhiên n  Ví dụ 2: Chứng minh : Với nN* thì : 1.4  2.7   n(3n  1) n( n  1) (1) Ví dụ 2: Chứng minh : Với nN* thì : 1.4  2.7   n(3n  1) n( n  1) (2) Với n = 1, ta có VT= 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)2=VP, đẳng thức (2) đúng Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: 1.4  2.7   k (3k  1) k ( k  1) Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là : 1.4  2.7   k (3k  1)  ( k  1)  3( k  1)  1 ( k  1)  ( k  1) 1 Thật vậy: (k  1)(k  2) 2  * VT (*) [1.4  2.7   k (3k  1)]  ( k  1)  3( k  1) 1 k (k  1)  (k  1)  3(k  1)  1 (k  1)[k ( k  1)  3k  4] (k  1)(k  4k  4) (k  1)(k  2) VP (*) Vậy với nN*, ta có: 1.4  2.7   n(3n  1) n(n  1) Hoạt động 3/82(sgk): cho hai số n  và 8n vớin   n a)So sánh với 8n n=1,2,3,4,5 b)Dự đoán kết tổng quát và chứng minh phương pháp qui nạp Với điều kiện nào n thì mệnh đề P(n) đúng? Hãy phát biểu mệnh đề đúng đó? Chú ý Củng cố Nắm vững các bước thực bài toán chứng minh phương pháp quy nạp toán học •Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ) •Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  (hoặc với số tự nhiên n = k  p) (giả thiết quy nạp) Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 •Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu bài toán để kết luận Hướng dẫn học nhà - Xem lại các ví dụ - Làm các ví dụ SGK - Bài tập: 1,2, 3,4 – SGK trang 82, 83