(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn kĩ năng giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Người thực hiện: Hà Thị Thảo Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG I Mở đầu…………………………………………… 1.Lí chọn đề tài………………………………….1 Mục đích nghiên cứu… ……………………… Đối tượng nghiên cứu ………………………… .1 Phương pháp nghiên cứu … ………………… II Nội dung……………………………………………2 1.Cơ sở lí luận ……………………………………2 Thực trạng vấn đề……………………………3 Giải pháp giải vấn đề ………………… 3- 12 Kết nghiên cứu… ………………………… 12 III Kết luận, kiến nghị …………….………………… 12 Kết luận………………………………………… 12 Kiến nghị……………………………………… 13 - Tài liệu tham khảo: ………………… ………… 13 I MỞ ĐẦU: Lí chọn đề tài: Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình tốn học phổ thông giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức cầu nối hồn hảo phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải tích Số phức vấn đề hồn tồn khó học sinh, địi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng Mặt khác thời lượng chương trình cịn ít, học sinh chưa có thói quen liên hệ kiến thức số phức với kiến thức phần khác nên gặp khó khăn trình giải tốn Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển tốn để tạo nên lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số hình học giáo viên xây dựng nhiều dạng tốn với nội dung hấp dẫn hoàn toàn mẻ Một vấn đề xây dựng ''RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC " sở khai thác tính chất số phức với số nội dung hình học Mục đích nghiên cứu: Trên sở nghiên cứu tìm hiểu khó khăn học sinh lớp 12 q trình giải tốn số phức đặc biệt số toán liên quan đến hình học, bước đầu tìm biện pháp giúp học sinh tháo gỡ khó khăn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học kết thi THPT quốc gia mơn tốn lớp 12 Đối tượng nghiên cứu: Rèn luyện cho học sinh kĩ giải số toán cực trị số phức hình học Phương pháp nghiên cứu: 4.1 Phương pháp phân tích hệ thống hóa tài liệu Nhằm phân tích tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài trọng đến sách giáo khoa, câu hỏi số phức đề minh họa, đề THPT quốc gia 2017, đề khảo sát chất lượng lớp 12 trường nước 4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin Trên sở tìm hiểu học sinh khối 12 để phát khó khăn học sinh giải toán số phức 4.3 Phương pháp thực nghiệm Nhằm khẳng định hiệu biện pháp giúp đỡ học sinh thực hành giải toán 4.4 Phương pháp sử dụng toán học để xử lí số liệu Áp dụng số cơng thức thống kê để xử lí số liệu thực tế thu thập II NỘI DUNG: Cơ sở lý luận: Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Do thay đổi BGD hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm năm nên tài liệu hạn chế, đặc biệt câu hỏi phần vận dụng Để giúp học sinh có nhìn sâu, rộng số phức, q trình giảng dạy tơi ln tìm tịi, sưu tầm, chắt lọc tài liệu, khai thác kết hợp kiến thức khác toán học để xây dựng dạng tập cho học sinh tư duy, giải Một vấn đề xây dựng ''RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC" sở khai thác số tính chất số phức liên hệ số phức hình học Thực trạng vấn đề: Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn cịn mẻ với học sinh THPT, đặc biệt với mơn Tốn có khối lượng kiến thức nhiều, để làm tốt thi đòi hỏi em phải nắm kiến thức phần đồng thời phải có tư tổng hợp, nhiên đa phần học sinh liên hệ tổng hợp em cịn chưa tốt nên q trình làm chưa điểm số cao Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức SGK nhiều hạn chế, mặt khác nhiều đề thi: đề minh họa BGD, đề KSCL trường THPT, phần số phức có nhiều câu hỏi mức độ vận dụng, vận dụng cao Với thời lượng cho phép dạy lớp mơn tốn có hạn Số phức trở thành phần học trừu tượng học sinh phổ thông trung học Đối với đối tượng học sinh giỏi câu hỏi mà học sinh thường đưa số phức đưa để làm gì? Do thực tế sống ngày không dùng đến tập số phức Do hứng thú phần học số phức hạn chế Giải pháp giải vấn đề: 1.1 Tổng hợp số kiến thức lý thuyết: a) Biểu diễn hình học số phức:   Nếu điểm A biểu diễn số phức z  OA biểu diễn số phức z  u biểu diễn số phức z  u  z  Nếu điểm A biểu diễn số phức z, điểm B biểu diễn số phức z’  AB biểu    diễn số phức z’- z b) Tính chất mơđun số phức:  zz '  z z '  z' z'  ( z  0) z z  z  zz  z  z '  z  z ' Dấu « = » xảy hai véc tơ biểu diễn z z’ hướng c) Một số kết tập điểm biểu diễn số phức:  z  a  bi  z  a ' b ' i tập điểm biểu diễn số phức z đường thẳng  z  a  bi  m (m  0) tập điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(a ;b) bán kính R = m z  a  bi  z  a ' b ' i  k Nếu A(a ;b), B(a’ ;b’) AB < k tập  điểm biểu diễn z Elip có tiêu điểm A, B độ dài trục lớn k z  a  bi  z  a ' b ' i  k (k > 0) Nếu A(a ;b), B(a’ ;b’) AB > k tập  điểm biểu diễn z Hypebol có tiêu điểm A, B độ dài trục thực k 1.2 Một số dạng tập: Dạng 1: Tập điểm biểu diễn số phức đường thẳng số tập liên quan: Bài 1: Trong số số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i Tính tổng phần thực phần ảo số phức z cho số phức có mơđun nhỏ A B C Giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Từ giả thiết D z   4i  z  2i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng (D) có phương trình x + y – =  z điểm biểu diễn z hình chiếu O (D) suy M(2; 2) Ta có đáp án A Bài 2: (Câu 48 - Đề thi thử chuyên đại học Vinh lần 2– 2017) Cho số phức z, w thỏa mãn z   2i  z  4i , w  iz  Giá trị nhỏ w là : A 2 B.2 C 2 D 2 Giải : Gọi M điểm biểu diễn z, z   2i  z  4i nên tập điểm biểu diễn z đường thẳng có phương trình x + y – = (  ) Mặt khác : w  iz   w  i z   w  z  i Gọi I(0 ;1) , z  i  MI nên i w  d (I, )  2 Bài 3:( Câu 48 - Đề minh họa BGD lần 3– 2017) Xét số phức z thỏa mãn z + -i + z - - 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Tính P = m + M  73 A P  13  73 B P  C P   73 D P   73 Giải : Gọi M điểm biểu diễn số phức z Khi đó : z + -i + z - - 7i =  MA  MB  với A(-2 ;1), B(4 ;7) Mặt khác AB = nên M thuộc đoạn AB Ta có z -1+ i = MI với I(1,-1) Phương trình đường thẳng AB là: x – y + =  5 m  dmin  d  I ; AB   ; IA = 13; IB = 73   Có d(I;AB) = M  d max  IB  73  Vậy P  m  M   73 Nhận xét : Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng z - z' điểm biểu diễn z hình chiếu điểm biểu diễn z’ đường thẳng Dạng 2: Tập điểm biểu diễn số phức đường tròn số tập liên quan: Bài : Gọi z số phức thỏa mãn z   2i  Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức w cho w  z   3i là: A Đường tròn tâm I(–2;5), R= B Đường tròn tâm I(–3;2), R= C Đường tròn tâm I(–1;3), R= D Đường tròn tâm I(3; –2), R= Giải: w  z   3i  z  w   3i thay vào giả thiết z   2i   w 1  3i   2i   w   5i  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I(–2;5), R= Nhận xét: Với tập tương tự giáo viên nên hướng cho học sinh thay z w vào giả thiết ta có kết nhanh chóng Bài 2: ( Thi thử chuyên KHTN lần – 2017) Cho số phức z thỏa mãn (1  i) z   7i  Tìm GTLN z A z max  B z max  D z max  C z max  Giải : Gọi M điểm biểu diễn số phức z (1  i) z   7i    i z   7i   z   4i  Nên tập hợp 1 i điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(3;4) , bán kính R = Vậy z max  OI  R  Bài ( Thi KSCL trường THPT Nam Trực – Nam Định 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  Giá trị lớn T  z 1  z 1 A B 10 C D 10 Giải : Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z  nên M thuộc đường trịn (C) tâm O(0;0), bán kính R = Khi T = MA +3 MB với A(-1 ; 0), B(1;0) Ta có T2 = ( MA + 3MB)2  10(MA2 + MB2) Nhận thấy A, B thuộc đường tròn (C) Mặt khác AB = nên AB đường kính đường tròn suy (MA2 + MB2) = AB2 = Vậy T  10 Bài 4( Câu 46 - Đề minh họa BGD – 2018) Xét số phức z = a + bi ( a, b  R ) thỏa mãn z   3i  Tính P = a + b z   3i  z   i đạt giá trị lớn A P =10 B P = C P = D P = Giải : Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z - -3i = nên M thuộc đường trịn (C) tâm I ( 4 ; 3), bán kính R = Khi đó : T = MA + MB với A(-1 ; 3), B( 1 ; -1) Ta có T2 = ( MA + MB)2  2(MA2 + MB2) M MA2  MB AB 2 Gọi E( 0;1) trung điểm AB  ME   Do T  4ME + AB2 Mà ME  R + IE = I Suy T  4(3 5) + (2 5)  200 Vậy T  10 Dấu « = » xảy MA = MB M giao điểm IE với đường tròn (C) Suy M(6 ;4) nên P = a + b =10 A E B Bài 5 : ( Câu 48 Đề KSCL lần trường THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa 2018) Cho hai số phức z 1, z2 thỏa mãn z1   i  z2  iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức z1  z A m = 1 B m = 2 C m = D m = 2  Giải: Từ z2 = iz1 suy điểm biểu diễn z ảnh điểm biểu diễn z1 qua phép quay tâm O, góc quay 900 Tập hợp điểm biểu diễn z1 đường tròn (C1): (x + 1)2 + (y – 1)2 = Tập hợp điểm biểu diễn z2 đường tròny(C2): (x + 1)2 + (y + 1)2 = Ta có z1  z2 nhỏ A1A2 với A1, A2 giao điểm đường thẳng y = - x y = x với đường trịn (CA 1)1 (C2) Ta có : A1 (1  2;1  2), A2 ( 1  2; 1  2)O A1 A2  2x 2 A2 Bài 6: Cho z1   3 i, z    i z số phức thỏa mãn 2 3z  3i  M, m GTLN, GTNN T  z  z  z1  z  z2 Tính w với w = M + mi A 21 B P  13 C 3 D Giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Ta có : 3z  3i   z  3 i  nên tập điểm biểu diễn số phức z đường 3 O 3 tròn (C) tâm I (0; ) bán kính R  3  T  z  z  z1  z  z2  MO  MA  MB I J 3 với O gốc tọa độ A( ; ), B(- ; ) 2 2 A Nhận thấy điểm O, A, B thuộc B M đường trịn (C) tam giác OAB Khơng tổng quát, giả sử M thuộc cung nhỏ AB Vẽ hai tam giác MAI MBJ ta có MO + MA + MB = MO + MI + MJ = 2MO suy M trung điểm cung AB Tmin  2OA  Tmax  R  4 3 21 M trùng A B  w         Nhận xét : Khi gặp toán mà tập điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I, bán kính R, để tìm mơđun lớn nhất, nhỏ nhất, trước tiên ta kiểm tra xem mơđun khoảng cách từ điểm M đến điểm vị trí điểm với đường trịn Khi A điểm biểu diễn z’ z  z ' max  IA  R, z  z '  IA  R Dạng 3: Tập điểm biểu diễn số phức đường Elip số tập liên quan: Bài 1:( Thi thử toán học tuổi trẻ lần 5- 2017) Xét số phức z thỏa mãn z   z   10 GTLN GTNN z là : A.10 B C D Giải : Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z   z   10 nên M thuộc (E) có tiêu điểm F1(-4 ;0), F2(4 ;0) Độ dài trục lớn 2a = 10 nên a =  z  b   b = z = OM    z max  a  Bài 2:(Đề KSCL lần trường THPT Nghèn – Hà Tĩnh 2018) Cho số phức z thỏa mãn z   3i  z   i  GTNN m z   2i là : A m = B m = C m = D.m = 39 Giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z   3i  z   i   MF1  MF2  với F1(1 ;-3), F2(-2 ;1) Mặt khác F1F2 = < tập hợp điểm biểu diễn M (E) có hai tiêu điểm F1, F2 2 Khi z   2i  z   i  MI với I ( ; 1) Nhận thấy I trung điểm F1F2 nên I tâm (E) nên 2MImin = 2b = 39 Trên chia số dạng toán thường gặp học sinh giải toán phần Tuy nhiên vận dụng học sinh cần linh hoạt liên hệ với kiến thức hình học khác Thơng qua tập trên, học sinh làm quen với dạng tốn tìm cực trị số phức phương pháp hình học Từ phát triển tư có khả liên hệ hình học đại số Một số tập nhằm củng cố kiến thức, kiểm tra khả tư vận dụng học sinh Bài tập áp dụng: Câu 1: ( Đề KSCL lần trường THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Số phức z – i có mơđun nhỏ là : A 1 B 1 C 2 D  Câu 2: (KSCL trường THPT Hoằng Hóa 4-Thanh Hóa lần – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   z  i Tìm số phức w = z + 2i -3 có mô đun nhỏ A w   i 2 1 B w   i 2 1 C w    i 2 D w    i 2 Câu 3: (Thi thử trường đại học Hồng Đức – Thanh Hóa 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   2m , m số thực dương tùy ý m2 Biết với m, tập hợp điểm biểu diễn số phức w  (2i  1)(i  z )   3i đường trịn có bán kính r Tìm giá trị nhỏ r A B C D Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z   z   Tìm số phức có mơđun nhỏ A  3i B 1  3i C D i Câu 5:(Câu 44 Đề KSCL lần - THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 1  Tìm giá trị lớn biểu thức z  3i 10 P  z  i  z   7i A B.10 C D Câu 6: (Câu 47 Đề KSCL lần trường chuyên đại học Vinh 2018) Cho số phức z, w thỏa mãn w  i  5w = ( + i)(z – 4) Giá trị lớn biểu thức P  z 1  2i  z   2i bằng : A 13 B  13 C 53 D Câu 7: Cho z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M, M’ z (4 + 3i) liên hợp có điểm biểu diễn N, N’ Biết M, M’, N, N’ đỉnh hình chữ nhật Tìm GTNN z  4i  A B C D Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Gọi M, m GTLN 2 GTNN biểu thức P = z + - z -i Tính w với w = M + mi A 1258 B 15 C 394 D 193 Câu 9: (Câu 41 Đề KSCL lần THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2018)  Cho số phức z thỏa mãn z 1  2i  Phép tịnh tiến theo vectơ v(1; 2) biến tập điểm biểu diễn số phức z thành tập hợp điểm biểu diễn số phức z’ Tìm P = max z - z' A P = 15 C 20  B P = 12 D P  10  Câu 10: (Câu 50 Đề KSCL Sở giáo dục đào tạo Ninh Bình 2018) Xét số phức z = a + bi (a,b  R) có mơđun phần ảo dương Tính giá trị biểu thức S   5( a  b)  2 2018 biểu thức P   z   z đạt giá trị lớn A S = B S = C S = 22018 D S = 21009 11 Đáp án Câu 10 Đáp án A C C C B C B A D A Kết nghiên cứu: Kết thử nghiệm cuối năm học 2017 - 2018, chọn lớp 12 để khảo sát kết cụ thể sau: Lớp thực nghiệm Lớp 12A4 Sĩ số 40 Giỏi Tỉ lệ 20% Khá 12 5,3% 7,7% Khá 10 10 Tỉ lệ 30% TB 17 26,3 % 25,6% TB 20 19 Tỉ lệ Yếu 42,5% Tỉ lệ 7,5% Lớp đối chứng Lớp 12A5 12A6 Sĩ số 38 39 Giỏi 52,6 % 48,7% Yếu 15,8% 18% Rõ ràng thực đề tài này, kết học sinh học phần số phức có tiến rõ rệt III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: Kết luận: Việc viết sáng kinh nghiệm vấn đề cấp thiết cho gian đoạn nay, giai đoạn công nghiệp hóa đại hóa đất nước, đất nước phát triển Việt Nam ta nói chung, riêng ngành giáo dục cần phải đổi nhanh chóng, song ở mỡi bợ mơn đặc biệt các mơn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được kiến thức thấy ứng dụng kiến thức vào thực tiễn cách sinh động Có vậy, môn học tự nhiên mới trở thành niềm đam mê em học sinh Hy vọng với đề tài giúp học tự học thích học phần số phức Kiến nghị: 12 Đề tài cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh đồng nghiệp dạy 12 Tuy nhiên ví dụ cần sưu tập thêm, với cộng tác độc giả chắn đề tài đem lại nhiều lợi ích Ngoài phương pháp giải ví dụ chưa tối ưu cần góp ý bổ sung bạn đọc TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1.Báo toán học tuổi trẻ 2.Phân dạng phương pháp giải tốn số phức thầy : Lê Hồnh Phị 3.Các đề minh họa BGD năm 2017, 2018 , đề thi KSCL trường THPT nước Xác nhận hiệu trưởng Thanh Hóa ngày 25 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Hà Thị Thảo DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hà Thị Thảo Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hoằng Hóa TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp Kết Năm học đánh đánh giá xếp giá xếp loại loại 13 huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) "Tổng hợp số phương pháp giải phương trình vơ tỉ " SGD&ĐT Loại C 2009 -2010 SGD&ĐT Loại C 2015-20116 " Ứng dụng cấp số nhân để giải số toán vật lý, sinh học, địa lý thực tiễn " 14 ... vấn đề xây dựng ''RÈN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC" sở khai thác số tính chất số phức liên hệ số phức hình học Thực trạng vấn đề: Hình thức thi trắc... TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC " sở khai thác tính chất số phức với số nội dung hình học Mục đích nghiên cứu: Trên sở nghiên cứu tìm hiểu khó khăn học sinh lớp 12 q trình giải tốn số phức. .. khăn học sinh giải toán số phức 4.3 Phương pháp thực nghiệm Nhằm khẳng định hiệu biện pháp giúp đỡ học sinh thực hành giải toán 4.4 Phương pháp sử dụng toán học để xử lí số liệu Áp dụng số cơng