225 đề thi HSG môn toán lớp 7 các tỉnh có đáp án

Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau... Gọi M là trung điểm của BC.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2014-2015

Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết

5

1

) ) 1 )

2 243 5

a x   b x  x c  x 

 

Câu (4,0 điểm)

a) Chứng minh đa thức

2

x  x vô nghiệm b) Cho tỉ lệ thức a c

b d Với

3 b

d   Chứng minh:

2 2

2 3

1) 2)

2 3

a c a c a c ac

b d b d b d bd

    

  

Câu (4,0 điểm)

a) Tìm x biết x 3 2x x

b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức x B

x

 

 đạt giá trị nhỏ

Câu (5,0 điểm)

Cho ABCnhọn, AD vng góc với BC D Xác định I; J cho AB trung trực DI, AC trung trực DJ;IJ cắt AB ; AC L K Chứng minh

a) AIJcân

b) DA tia phân giác góc LDK c) BK AC CL;  AB

d) Nếu D điểm tùy ý cạnh BC Chứng minh góc IAJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ

Câu (1,0 điểm)

ĐÁP ÁN HSG THANH OAI 2014-2015 Câu

a)

5

1 1

2 3

x x x

             

   

Vậy x b) 2x  1 x

Nếu

x ta có 2x    1 x x 2(thỏa mãn) Nếu

2

x ta có:      2x x x 0(thỏa mãn) Vậy x2hoặc x0

c) 52x 5

3 2

5 2x x

     2 52x   5 x Vậy

5

x x2 Câu

a) 2  2

2 2 1 1

x  x x  x   x 

Vì x12 0 x nên x12  1 1 x Do đa thức cho vơ nghiệm

b) 1) Với 3; 2 3 3

2 2 3 3

b a c a c a c a c a c

d b d b d b d b d b d

 

        

 

2 2

2 2

2)a c a c a c (1) b d b d b d



   



2

2 (2)

a c a c ac b  d b  d bd

Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu a x)  3 2x x (1)

Lập bảng xét dấu

x -3

Xét khoảng x4, ta có (1) trở thành: 2x   7 x 3,5(không thuộc khoảng xét)

Kết luận : Vậy x 3,5

b) Biến đổi  3

3 3

x x

B

x x x

  

   

  

B đạt giá trị nhỏ x



 nhỏ

Xét x3và x3, ta

3

x có giá trị nhỏ 5 x2 Kết luận: Giá trị nhỏ B – x2

Câu

a) Do AB; AC trung trực AB

Nên AI = AD; AD=AJAI AJ AIJ cân A b) ALI  ALD c c c( ) I1 D1

Tương tự AKD AKJ c c c( )D2 J2

Mà AI Jcân (câu a) I1 J2

1

D D DA

   tia phân giác LDK

c) Chứng minh KC phân giác đỉnh K tam giác DLK Chứng minh DC phân giác đỉnh D tam giác DLK Suy LClà tia phân giác đỉnh L tam giác DLK

2

2 1 1

K L

J

I

D A

Mà AB phân giác đỉnh L tam giác LDK Hay CL vng góc với AB L

Chứng minh tương tự : BK vng góc với AC K d) Chứng minh IAJ 2BAC (khơng đổi)

*AIJcân A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nến cạnh bên AI nhỏ Ta có AI ADAH(AH đường vng góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức DH

Vậy D chân đường vng góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ Câu

Ta có:  2 25y 8 x2009

 

 

2

2

8 2009 25 2009 25(*)

x y

x y

  

  

Vì

y  nên  20092 25

x  , suy x20092 0 hoặcx20092 1 Với x20092 1, thay vào (*) ta có: y2 17(loại)

Với x20092 0thay vào (*) ta có

25,

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013

MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (4,0 điểm)

2 1

0, 0, 25

2012

9 11

1) :

7 2013

1, 0,875 0, 11

M

     

 

  

     

 

2) Tìm x, biết : 2

1

x   x x  Câu (5,0 điểm)

1) Cho a,b,c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện a b c b c a c a b

c a b

     

 

Hãy tính giá trị biểu thức B b a c

a c b

   

      

   

2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7, sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2x 2 2x2003 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x  y z xyz

Câu (6,0 điểm)

Cho

60

xAy có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh:

a) K trung điểm AC b) KMClà tam giác

c) Cho BK2cm.Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm)

Cho ba số dương 0   a b c 1, chứng minh

1 1

a b c

ĐÁP ÁN HSG TOÁN VIỆT YÊN 2012-2013 Câu

1) Ta có:

2 1

0, 0, 25

2012

9 11 :

7 2013

1, 0,875 0, 11

M                   

2 2 1

2012 11 : 7 7 7 2013 11 10

1 1 1 1 1

2

2012 11 3 4 5

: 1 1 2013

7

5 11 2 2012

:

7 2013

                                                                 

2) Vì

1

x   x nên   2

1 x   x x 2 hay x 1 +) Nếu x1 (*)    x x

+)Nếu x1  *       x x Câu

1) Nếu a b c  0, Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b

c a b a b c

                   

Mà a b c b c a c a b a b b c c a

c a b c a b

                  

Vậy B b a c b c c a b c

a c b a c b

  

       

          

       

+)Nếu a b c  0

Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

0 a b c b c a c a b a b c b c a c a b

c a b a b c

                   

Mà a b c b c a c a b 1 a b b c c a

c a b c a b

                  

Vậy B b a c b c c a b c

a c b a c b

  

       

          

2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu a, b, c Ta có:

5

; ; (1)

5 18 18 18 18 18

a b c a b c x x x x x

a b c

 

        

Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có:

' ' '

' ; ' ; ' (2)

4 15 15 15 15 15

a b c a b c x x x x

a b c

 

       

So sánh (1) (2) ta có

'; '; ' aa bb cc

nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu , Vậy c c ' 4hay

6

4 360

15 18 90

x x x

x

     

Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu

1) Ta có:

2 2 2013 2 2013 2 2013 2011 A x  x  x   x  x   x  Dấu “=” xảy   

2013 2 2013

2 x  x    x 2) Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử

1  x y z

Theo

2

2 2

1 1 1

1 x x

yz yx zx x x x x

          

Thay vào đầu ta có : 1  y z yz y yz  1 z

  

(1 ) (1 ) 1

y z z y z

         

TH1:

1

y   y

1

z   z

TH2:

1

y   y

1

z   z

Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn

Câu

a)

ABC



cân B  

CAB ACB MAC

và BK đường cao BK



là đường trung tuyến Klà trung điểm AC b)

ABH BAK

  

(cạnh huyền – góc nhọn) BH AK

 

(hai cạnh tương ứng ) mà

1

2

AK  ACBH  AC Ta có : BH = CM (tính chất cặp đoạn chắn) mà

1

CK BH  ACCM CK  MKC

là tam giác cân (1) Mặt khác

0

90 MCB

và

0

30 60 (2) ACB MCK 

y

x z

t

M C

K

H A

Từ (1) (2)

MKC

 

là tam giác c) Vì

ABK



vuông K mà

0

30 2.2

KAB AB BK  cm

Vì ABK



vng K nên theo Pytago ta có:

2

16 12 AK AB BK   

Mà

1

12

KC ACKC AK  KCM



đều KCKM  12

Theo phần b) AB = BC =4; AH =BK=2 HM = BC (HBCM hình chữ nhật)

6 AM AH HM

   

Câu Vì

0   a b c nên :

   1

1 1 (1)

1

c c

a b ab a b

ab a b ab a b

          

   

Tương tự: (2) ; (3)

a a b b

bc b c ac ac

Do đó: 1 (4)

a b c a b c

bc ac ab b c a c a b Mà

2 2 2( )

2 (5)

a b c a b c a b c

b c a c a b a b c a b c a b c a b c

 

      

          

Từ (4) (5) suy

2

1 1

a b c

TRƯỜNG THCS HẠ HÒA

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010-2011

Bài Chứng minh rằng:

2

3n 2n 3n 2n

M       có tân với số tự nhiên n1 Bài Tìm x

1

) 15 ) 3, 2

5

a x   b x  x  x

Bài

Chứng minh : adbc2 4abcdthì số a b c d, , , lập thành tỉ lệ thức

Bài

Tìm giá trị nhỏ biểu thức  

2

10

20 2010

Ax   y 

 

Bài

Cho tam giác ABC vuông B Vẽ tia AD phân giác BAC D( BC) Vẽ tia CE phân giác BCA E AB.Hai tia AD CE cắt I

a) Chứng minh 135 CIA

ĐÁP ÁN HSG TỐN HẠ HỊA NĂM 2010-2011 Bài

Ta có:        

   

2 2 2

1

3 3 2

3 10 10 10 *

n n n n n n n n n n

n n n n

M

M n N

   



           

     

Vậy với nN*ta có M ln tận Bài

a) 15 12 12 13 6,5

2 12 11 5,5

x x x

x x

x x x

   

  

        

      

  

b) 3, 2 (1)

x  x  x

Ta có: x3,  3, 2 x 3, 2xvới x, dấu “=” xảy 3, 2 x 0;

1 1

2 3, 2

5 5

x  x   x x  x

Do (1)

3,

3, 0,1 x x x x            

 Vậy 0,1 x 3,

Bài

Ta có: adbc 2  adbcadbc   ad 22adbc bc Nên từ giả thiết

 2  2  2  2  2

4

adbc  abcd ad  adbc bc  abcd ad  adbc bc 

 2  2      2

0 0

ad adbc acbd bc ad ad bc bc ad bc ad bc

            

0 a c

ad bc ad bc

b d

       (Điều phải chứng minh) Bài

Ta có:  

2

10

0; 20

5

x y

     

 

  với x, y nên A2010

Dấu “=” xảy 2; 20

Vậy GTNN A Amin 2010

; 20

x y  Bài

a) Xét tam giác AIC ta có:

 

0 0

180 180 180

2

BAC ACB AICCAIACI  AIC  CAIACI    

 

Mà tam giác ABC vuông B nên 0

90 135

BACACB CIA

b) Vì hai góc ACB BCx hai góc kề bù nên hai tia phân giác chúng vng góc với

90 ICK

 

Tam giác ICK có góc AIC góc ngồi nên I

x D

E

K B

0 0 135 90 45 AICICKIKCCKAAICICK  

Vậy

PHÒNG GD & ĐT

TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 120 phút) Bài (4 điểm)

Tính

   

 

3

2011 12 10

6 3

2

2

2 25 49

) )

125.7 14

2 .

5 12

a A b B

        

     

  

    

 

       

Bài (4 điểm) Tìm x, y,z biết a) Tìm x y z, , biết 3;5

2 x

x z

y   x2y z 32 b) y z x z x y

x y z x y z

        

 

Bài (4 điểm) a) Cho 42

15 x M

x

 

 Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ

b) Tìm x cho

4

1

17

2

x x

            

Bài (6 điểm)

Cho Oz tia phân giác

60

xOy Từ điểm B tia Ox vẽ đường thẳng song song với tia Oy cắt Oz điểm C Kẻ BH Oy CM; Oy BK; Oz

H M, Oy K; Oz MC cắt Ox P Chứng minh a) K trung điểm OC

b) KMClà tam giác c) OPOC

Bài (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: 3a2 17b 10a b 17a b,  

b) Cho hàm số f x( )xác định với x thuộc R Biết với x ta có

1

( )

f x f x x

    

ĐÁP ÁN HSG TOÁN … NĂM 2014-2015 Bài

a) Thực theo bước cho điểm tối đa A b) Thực theo bước cho điểm tối đa 72

5 B Bài 2

) 84, 56, 60

1 5

) , ,

2 6

a x y z b x y z

  



  

Bài 3,

a) Ta thấy 42 27

15 15

x M

x x



   

  đạt GTNN

27 15 x



 nhỏ

Xét x 15 0thì 27 15 x  Xét x 15 0thì 27

15

x  Vậy 27

15

x nhỏ x 15 Phân số 27

15

x có tử dương mẫu âm Khi 27

15

x nhỏ x15là số nguyên âm lớn hay 15 14

x    x

Vậy x14thì M nhỏ M = 28 b)

4

4

1 1 1 1

17 17 17

2 2 2 16

17 1

17 16 2

16 2

x x x x x

x x

x

x





                

             

             

   

           

Bài

a) ABCcó O1O2(Oz tia phân giác xOy), O1C1(Oy // BC, so le trong)

O C OBC

    cân BBOBC,mà BKOCtại KKCKO(hai đường xiên hai hình chiếu nhau) Hay K trung điểm OC (đpcm) b) Học sinh lập luận để chứng minh: KMCcân

Mặt khác OMCcó 0 0

90 ; 30 90 30 60

M  O MKC    KMCđều

c) OMCvng MMCOnhọnOCPtù (Hai góc MCO OCP; bù nhau) Xét OCPcó OCPtù nên OP > OC

Bài a)

* 3a2 17b 10a b 17 Ta có: 3a2 17b

   

9.(3 ) 17 27 18 17

17 17 10 17

10 17 a b a b

a b a b a b

 

 

   

 

*10a b 173a2 17b Ta có: 10a b 17

y

z

P K

M

H

C

  10 17 20 17 17 17

3 17 a b a b a a b a b

 

 

  

 

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2013-2014 Mơn thi: TỐN

Bài (5 điểm) Cho dãy tỉ số nhau:

2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

a b c d

              

Tính M a b b c c d d a c d d a a b b c

   

   

   

Bài (3 điểm) Cho đa thức

( )

P x  x  x x  x

4

( ) 2

Q x   x x  x a) Tính P x( )Q x( )

b) Tìm đa thức H x( )biết ( ) ( ) 2 Q x H x   x  c) Tìm nghiệm đa thức H x( )

Bài (3 điểm) Tìm xbiết: ) 2010 2012 2014 a x  x  x 

1 )

2

y

b x    

 

3 3 1 11 101 5 5 5 11 101 y

   

 

   

Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 2

2

A x   y x

Bài (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh rằng:

0

)

) 45 a BA BH b DBK

 

ĐÁP ÁN HSG THANH OAI NĂM 2013-2014 Bài

Từ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

a b c d

              

2 2

1 1

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

           

       

           

   

Nếu a b c        d a b (c d);(b c   ) (a d)

a b b c c d d a M

c d d a a b b c

   

      

   

Nếu a b c d a b c d M a b b c c d d a c d d a a b b c

   

             

   

Bài

a) 4

( ) ( ) 2 3

P x Q x  x  x x  x  x x   x x  x x  x

b) 4

( ) ( ) 2 2 2

H x Q x  x    x x   x x    x x

c)

( ) (1 ) 0;

H x    x x x    x x x Bài

) 2010 2012 2014 2010 2014 2012 4(*)

a x  x  x  x    x x 

Mà x2010  x 2012  x 2014 4nên (*) xảy dấu “=” suy 2012 2012 2010 2014 x x x         

1 1 1 1 1

3 11 101 2 3 4

)

1 1 1 5

5

7 11 101 2 b y                               

1

2 3

2

x     x   x

 

1

2

2

Bài

Ta có x22 0 với x y x 0với x, y  A 3với x, y Suy A nhỏ 3khi  

2

2

2

x x

y y x

    

 

  

  



Bài

a) ABD HBD(cạnh huyền – góc nhọn)BABH b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK, cắt EK I

Ta có ABBH cmt( );AE AB gt AE( ) BI BA( / /IE)BHBI HBK IBK

   (cạnh huyền – cạnh góc vng)

3

B B

  mà

1 45

B B DBK  c) ABD HBDADDH

HBK IBK HK KI KD DH Hk AD KI

         

Chu vi tam giác DEK =

2 2.4 8( ) DEEKKDDEKEADKI AEIE AB  cm

4 3 2 1

I

K

E H

D A

TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN Năm học : 2013-2014

Mơn: Tốn Câu (6 điểm)

a) Tính

2 2000

3 3

81 81 81 81

4 2003

     

     

     

 

       

b) Tính giá tri biểu thức

6x 5x2tại x thỏa mãn x 2 Câu (5 điểm)

Tìm x y z, , biết

2

x y z

  x3y4z4

Câu (2 điểm)

Tìm giá trị nguyên lớn biểu thức 15

x M

x

 



Câu (7 điểm)

Cho tam giác ABC vng A có góc C

30 Trên cạnh AB lấy điểm M cho góc BCM

3góc ACB, cạnh AC lấy điểm N cho góc CBN

3góc ABC Gọi giao điểm CM BN K 1/ Tính góc CKN

2/ Gọi F I theo thứ tự hình chiếu điểm K BC AC Trên tia đối tia IK lấy điểm D cho IK=ID, tia KF lấy điểm E cho KF = FE EK Chứng minh DCElà tam giác

ĐÁP ÁN HSG TOÁN XUÂN DƯƠNG 2013-2014 Câu

a) Trong dãy số có

6

3

81

9   tích b) Ta có x 2

*

* 1

x x

x x

        

Thay x1vào biểu thức ta :

6.1 5.1 2 9 Thay x3vào biểu thức ta

6.3 5.3 2 67

Câu

1 3 9

2

2 12 12 12 12

1

2 5; 11;

2

x y z x y z x y z

x y z

x y z

          

      

             

Vậy x5;y11;z8

Câu

15 10

1

5

x

M M

x x



  

  lớn 10

5xlớn )x

  10 5x (1) +) x5thì 10

5x mà 10

5xcó tử khơng đổi nên phương trình có giá trị lớn mẫu nhỏ 5xlà số nguyên dương nhỏ 5   x x

Khi 10 10 5x  (2)

So sánh (1) (2) thấy 10

Câu

1) Có

60

B (do 0

90 ; 30 ) A C

0

0

2

.60 40

3

2

.30 20

3

CBN ABC BCM ACB

  

  

 

0 0

180 180 60 120

BKC   CBNBCM   

0 0

180 120 60 CKN

    (hai góc kề bù) 2) KIC DIC cgc( )CKCDvà DCI KCI (1)

 

KFC EFC cgc CK CE

     KCFECF(2)

Từ (1) (2) CDCE DCEcân

Có:

2 60

DCE ABC  DCEđều

3) Xét tam giác vng ANB có 0 0

90 20 70 110

ANB   BNC

 

0 0

( ) 110 60 10 ; 110

CND CNK c c c DNC KNC CDN NCD DNC

         

E D I

F K

N M

B

A

Có CDE (cmt)CDE600

Do

60 CDN CDE

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

MƠN: TỐN Câu (2,0 điểm)

a) Tìm x biết  2016

3x 3 2x 1 3x2017

b) Cho 11 2 1 3 11 4 11 

2

B x

x

               

Tìm số nguyên dương x để B115 Câu (2,0 điểm)

a) Cho x y z, , số thực thỏa mãn y z x z x y

x y z x y z

     

  

 

Tính giá trị biểu thức 2017 2017 2016

A xy z

b) Cho x y z, , số thực thỏa mãn: 2x3y5z x2y 5 Tìm giá trị lớn 3x2z

Câu (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức 2016 2016

x M

x

 

 có giá trị nhỏ

b) Cho đa thức   2

( ) 2016 32 25 100

f x  x  k x k  (với k số thực dương cho trước) Biết đa thức f x( )có ba nghiệm phân biệt a, b, c với

a b c Tính hiệu a c Câu (2,5 điểm)

Cho đoạn thẳng BC cố định, M trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ góc CBx cho

45

CBx , tia Bx lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng BM BA tỉ lệ với Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng BM Gọi H I hình chiếu B C đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng:

a) DN vng góc với AC

b) 2

BH CI có giá trị khơng đổi D di chuyển đoạn thẳng BM c) Tia phân giác góc HIC ln qua điểm cố định

Câu (1,5 điểm)

a) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn

2p p số nguyên tố

ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN TAM DƯƠNG 2016-2017 Câu

a)  2016

3x 3 2x 1 3x2017  3x 3 2x 1 3x1(*) Điều kiện để x thỏa mãn toán 1

3 x   x  Khi

2

x  x  nên (*) trở thành 3x 3 2x 1 3x 1 3x 3 x(điều kiện x0) Nếu x1 ta có 3x 3 xnên

2

x (thỏa mãn) Nếu 0 x ta có 3x xnên

4

x (thỏa mãn) Vậy 3;

2 x  

 

b)

 

 

1 2.3 3.4 4.5

1

2 2

3 1 ( 3)

1 ( 1)

2 2 2

x x B

x

x x x

x



 

     

          

       

   

             

 

Từ B = 115 ( 3) 115 ( 3) 460

2

x x

x x



     

 

 

Mà xlà số nguyên dương nên x x+3 ước dương 460 nên x20 Vậy x=20

Câu

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :

1

2 y z x z x y

x y z x y z

     

   

 

0, 0, 0,

0,

1 5

; ;

2 6

x y z

x y z

x y z

x y z

     

       



Khi ta có 2017 2017

2016 2016 1008

2 xy z    Khi ta có 2016.1 1008

2 

Vậy với x, y, z số thực thỏa mãn y z x z x y

x y z x y z

        

 

Thì giá trị biểu thức 2017 2017

2016.xy z 1008 b) Ta có: 2 ,3

3

x y x y

y z



  



Nếu x2y   5 x 15,y 10, z 6.Khi 3x2z  45 12 33 Nếu x2y   5 x 15;y10;z6 Khi 3x2z45 12 33 Vậy giá trị lớn 3x2zlà 33

Câu

a) 2016 2016 672 3 2 2016 1344 672 3360

3 3

x x

M

x x x

  



   

  

M nhỏ 3360 3x 

 lớn *Xét 3x 2 0thì 3360 (1)

3x2 *Xét 3x 2 0thì 3360

3x2  3360

3x2lớn 3x2nhỏ Mà xnguyên, 3x2dương 3x2chia dư nên 3x   2 x

Khi 3360 3360 1680 (2) 3x23.0 2 

So sánh (1) (2) 3360

3x2có giá trị lớn 1680 Vậy Mmin  1008 x

b) Ta thấy đa thức f x( )nếu có nghiệm xa(a khác 0) x acũng nghiệm f x( )nên f x( )có 2m nghiệm

Mà đa thức f x( )có ba nghiệm phân biệt nên ba nghiệm Thay x0vào đa thức cho ta được:

100

k   nên k10(vì k dương)

Với k 10ta có 2

( ) 2016 8064 2016 ( 4) f x  x  x  x x  

Câu

a) Từ M kẻ tia My vng góc với BC cắt tia Bx A’ Tam giác BMA’ vuông cân M nên MB BA: ' 1: 2 Suy AA'nên AM vng góc với BC

Tam giác ADC có AM CI đường cao nên N trực tâm tam giác ADC Suy DN vng góc với AC

b) Ta có AMB AMC c g c( )nên AB = AC góc ACB450 Tam giác ABC vng cân A có

90

BAH ACI  CAH H, I hình chiếu B C AD nên H=I=900

Suy AIC BHA c h g n(  )BH AI

2 2 2

BH CI BH AH AB (không đổi) c) BHM  AIMHM MIvà

90

BMHBMI   HMIvuông cân 45 HMI

 

Mà 0

90 45

HIC HIM MIC IMlà tia phân giác HIC Vậy tia phân giác HICluôn qua điểm M cố định Câu

a) Với p2thì 2p p2   4 8khơng số nguyên tố Với p3thì 2p p2   8 17là số nguyên tố

Vơi p3thì p số nguyên tố nên p lẻ nên

2p 2 k 2(mod 3) N

I

H

A

M B

Và

1(mod 3)

p  nên

2p p

Mà

2p p 3nên

2p p hợp số Vậy với p3thì 2p p2là hợp số

Vậy với p3thì 2p p2là số nguyên tố

b) Ta có cột, hàng đường chéo nên có 12 tổng

Mỗi ô vuông nhận số 1;0 – nên tổng nhận giá trị từ - đến Ta có 11 số nguyên từ - đến – 5; - ; ….;0;1;….5

PHÒNG GD & ĐT TÂN LẠC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016

MÔN: TOÁN LỚP Bài (4 điểm)

Thực phép tính:

   

12 10

6

2

10 5 3

155 0,

7 11 23 13 )

26 13 13

403 0,

7 11 23 91 10 25 49 )

125.7 14

a A

b B

    

 

    

 

 

 

Bài (5 điểm)

a) Chứng minh : 2

3n 2n  3n 2nchia hết cho 10 với số nguyên dương n b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2014 x 2015 x 2016x

c) Tìm x y, thuộc biết :  2 25y 8 x2015

Bài (4 điểm)

a) Cho 16 25 49

9 16 25

x  y  z



3

4x  3 29 Tính x2y3z

b) Cho

( ) ( 1)

f x ax  x x  

( ) ( 1)

g x x  x bx  c a b c, , số Xác định a b c, , để f x( )g x( )

Bài (5 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC Từ M kẻ đường vng góc với tia phân giác góc BAC N, cắt tia AB E cắt tia AC F

Chứng minh rằng: )

)

2 a BE CF

AB AC b AE

  

Bài (2 điểm)

Cho tam giác ABC có góc B

ĐÁP ÁN HSG TOÁN TÂN LẠC 2015-2016 Bài

a)

2 1

10 5 3 5 31 3

155 0,

7 11 23

7 11 23 13 13 10

26 13 13 1 1

403 0, 13 31

7 11 23 91 10 11 23 13 10

2 1 1

5 31

5 11 23 13 10

3 1

2 1 13

13 31

13 10 11 23

A                                                                   13  b)        

12 10 12 12 10 10

6 9 3 12 12 9 3

2

10 12

12 3

2 25 49 3 7 3 7 125.7 14

2

5

2 (3 1) 5.( 6) 10 21 (3 1) 3.4 6

B       

                 Bài

a) Ta có: 2

3n 2n  3n 2n3 3n  n  n 2n

 

1

3 10 5n n 10 10 10 3n n n 2n 10

     

Vậy 2

3n 2n  3n 2nchia hết cho 10 với số nguyên dương n b) Vì 2015 x nên A 2014 x 2015 x 2016 x 2014 x 2016x

Dấu “=” xảy x2015 (1)

Ta có: 2014 x 2016  x x 2014 2016  x x 2014 2016  x

Dấu “=” xảy x2014 2016 x0, suy 2014 x 2016(2) Từ (1) (2) suy A2 Dấu “=” xảy x2015

Vậy A nhỏ x2015

c) Ta có:  2  2

25y 258 x2015 25 x2015 4

Do xngun nên x20152là số phương Có trường hợp xảy : TH1: x20152   0 x 2015, y5hoặc y 5

TH2:  20152 2015 2016 2015 2014

x x x x x               

Với x2016hoặc x2014thì

17

Bài

a) Ta có: 3

4x  3 294x 32x   8 x

Thay vào tỉ lệ thức ta được: 16 25 49 25 49

9 16 25 16 25

y z y z

         

 

7 ,

y z

   

Vậy x2y3z 2 2.( 7) 3.1 19  

b) Ta có : 3  

( ) ( 1) 4 4

f x ax  x x   ax  x  x  a x  x

 

3

( ) 4

g x x  x bx   c x  bx  x c  Do f x( )g x( )nên chọn x0;1; 1 ta

3

(0) (0) 11 ( ) 4

f g      c c g x x  bx  x (1) (1) 4 4 (1) f g      a b   a b 

( 1) ( 1) 4 4 (2) f           g a b    a b Từ (1) (2) suy b0;a 3

Vậy a 3;b0;c11

Bài

a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt EF D Xét MBDvà MCFcó : DBM FCM(so le trong) MB = MC (giả thiết) ; BMDCMF(đối đỉnh) Do đó: MBD MCF c g c( ) suy BDCF(1)

M

C

D N

A

E

F

Mặt khác AEFcó AN vừa đường cao, vừa đường phân giác nên cân A, suy EMFA Mà BDEMFA(đồng vị) nên BDEE, Do BDE cân B, suy BD = BE (2)

Từ (1) (2) suy BECF dpcm( )

b) Tam giác AEF cân A suy AE = AF

Ta có:    

( ) ( ) ( )

AE AE AF AB BD AC CF

AB AC BD CF AB AC BE CF

     

      

Vậy ( )

2 AB AC

AE  dpcm Bài

Trên CA lấy điểm E cho 0

15 30

EBA B 

Ta có :

1 30 ,

E  A EBA CBEcân CCBCE Gọi F trung điểm CDCBCECFFD

1

2 1

2 1

2 1

3 2

1 B

D

A C

Tam giác CEF cân C, lại có 0

1 180 60

C  BCA nên tam giác Như CBCECFFDEF

Suy

1 60 (

D E F  CEFđều)D1 300 Xét tam giác CDE ta có:  

1

180 90 (1) CED  C D 

Ta có: D1B1EBED A, EBAEAEBEAED(2)

Từ (1) (2) suy EDAvuông cân ED2 450

Vậy 0

1 30 45 75

THCS Tam Hưng ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP Năm học 2013-2014 Bài (3 điểm)

    

)

) 20 15 10

a x

b x x x x

 

    

Bài (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên m n; thỏa mãn ) 2 2048

) 16

m n

a

b m n mn

 

  

Bài (4 điểm)

a) Cho x y z t, , , số khác thỏa mãn điều kiện sau:

2

,

y xz z yt 3 y   z t Chứng minh:

3 3

3 3

y z x x y z t t

    

b) Cho

x y z a b x y z b c x y z c a

            

Chứng minh x  y z

Bài (4 điểm)

a) Cho đa thức 2015 2014 2013 2012

( ) 2000 2000 2000 2000 f x x  x  x  x   x Tính giá trị đa thức x1999

b) Cho đa thức ( )

f x ax bx c

Chứng tỏ rằng: f( 2) (3) f 0nếu 13a b 2c0 Bài (5 điểm)

a) Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác

ABC tam giác vuông cân

, 90

ABD ACE ABDACE

1) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH K Chứng minh CD vng góc với BK

2) Chứng minh ba đường thẳng AH BE CD, , đồng quy

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TAM HƯNG 2013-2014 Bài

a) Chỉ rõ x 5 0;1; 2, rõ trường hợp kết luận

5 x

x x

     

b) Lý luận để có        

20 15 10

x   x   x   x  Xét đủng trường hợp

- Trường hợp có số âm tính x 4 - Trường hợp có số âm tính x 3 Bài 2.a) Ta có

 

11 11 11 11 11 11 11 11

11 11

2 2

2 2

2

m n

m n

m n

   

 

 

   

   

  

Lý luận tìm 12 11 m n

 

b) Biến đổi 3n m 44

Xác định tích số nguyên có trường hợp Kết luận m n;       8; ; 0; ; 5; ; 3;7 ; 6;1 ; 2;5        Bài

a) Từ giả thiết suy x y z y  z t

Lập phương tỉ số áp dụng tính chất dãy tỉ số để có

3 3

3 3

x y z y z t

 

 

Mặt khác ta có:

3

3

x x x x x y z x y  y y y  y z t  t Suy điều phải chứng minh

Bài a)

       

2015 2014 2013 2012

( ) 1999 1999 1999 1999 1 f x x   x   x   x    x Thay x=1999 ta

2015 2015 2014 2014 2013 2013

( )

f x x x x x x x  x  x Tính kết kết luận f(1999)1998

b) Tính f  2 f(3) ( 2) (3) 13

f f a b c

     

 2 ( 2) (3) ( 2) (3) (3) (3) (3)

f f f f f f f

          

Bài a)

1) Vẽ hình chứng minh đến hết

2) Chỉ AH BE CD, , ba đường cao BCK b)

Xét trường hợp

*Trường hợp điểm MADthì ta có: MA MD MB MC *Trường hợp MAD, Gọi I trung điểm BC

Trên tia đối tia IM lấy điểm N cho IMINvà ta có IBIC

Vì AB CD AI ID

AB IB IC CD

  

  

*Chứng minh IMA IND c g c( )MAND

TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013-2014 Câu (5 điểm) Cho a c

c bchứng minh :

2 2

2 2

)a c c b )a c a )b a b a

a b c

a c c b b c b a c a

       

   

Câu (2 điểm) Tìm x y z, , biết

12

y y y

x x

  

 

Câu (4 điểm)

a) Chứng minh rằng: 12 12 12 12 65 6 7  100  b) Tìm số nguyên a để: 17

3 3

a a a

a a a

   

   số nguyên

Câu (2 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức 1996 1997 x A 



Câu (7 điểm)

Cho tam giác ABC vng A, có góc 30

C , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HDHB Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh:

a) Tam giác ABD tam giác b) AH CE

ĐÁP ÁN HSG TỐN BÍCH HỊA 2013-2014 Câu

a) Từ a c a c a c a c c b c b c b c b a c c b

   

    

   

b) Từ

a c

c a b

c  b  đó:

2 2

2 2

( ) ( ) a c a ab a a b a b c b ab b a b b

  

  

  

c) Theo câu b, ta có:

2 2

2 2

a c a b c b b c b a b a

    

 

Từ

2 2 2 2

2 2 1 2

b c b b c b b c a c b a hay

a c a a c a a c a

           

  

Vậy

2 2

b a b a a c a

 

 

Câu 2. Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

1 7 5

12 4 5 12 12

2

5 12

5 12

y y y y y y y y y

x x x x x x x

y y

x x x

x x

              

   

       

 

Thay x2vào ta

12 15

y y

y y

      

Vậy ; 15 x y Câu

a) Đặt 12 12 12 12

5 100

A     Ta có :

* 1 1 1 1 1 1 4.5 5.6 6.7 99.100 5 6 99 100 100

A                

* 1 1 1

5.6 6.7 99.100 100.101 101

A       

Vậy 12 12 12 12 65 6 7  100 

b) Ta có : 17 26 12 14 4.( 3) 14 14

3 3 3 3

a a a a a a

a

a a a a a a a

      

      

       số nguyên

Khi (a3)là ước 14 mà Ư  14     1; 2; 7; 14 Ta có a    2; 4; 1; 5;10; 4;11; 17

0

A với giá trị x nên A đạt giá trị lớn A đạt giá trị nhỏ 1996 1996

1997 1997

x x

A    



0

x  xnên x 1996 1996 Vậy A nhỏ 1996

1997 x = Suy GTLN A 1996 1996

1997 1997 

 

 x0

Câu

a) Tam giác ABD có AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên tam giác ABD cân A

Lại có 0 90 30 60

B   nên tam giác ABD tam giác

b) 0

90 60 30

EACBACBAD   ACH AHC CEA (cạnh huyền – góc nhọn) Do đó: AH = CE

c) AHC CEA cmt( )nên HC = EA

ADC

 cân D có  0

30

ADCDCA  nên DA = DC E D H

B

A

Suy DE = DH Tam giác DEH cân D

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010

Môn thi: TỐN Câu ( điểm) Tìm x biết:

 2 3

13 13

) 7,5 : ) 46 2.3

21 25

a x    b x  

 

2

) 2 160 )

2

x x

c    d x   x x Câu (3 điểm) So sánh:

a) 500

3 7300 b)

9 243      

13 83      

c)

19 20

10 10 P 



20 21

10 10 Q 



Câu (4 điểm) Tìm ba số tự nhiên có tổng bình phương 1201; số thứ số thứ hai có tỉ lệ 4; số thứ số thứ ba tỉ lệ với

Câu (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vng góc với AE (H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng:

a) BH = CK b) MBH MAK

c) Tam giác MHK tam giác vuông cân

d) Khi E di động đoạn thẳng MC 2

BH CK không đổi Câu (1 điểm) Cho ba số phương x y z; ; Chứng minh

ĐÁP ÁN HSG NGA SƠN 2009-2010 Câu

a) 7,5 : 613 213 7,5 :50 63 7,5 63 50

21 25 21 25 25 21

x     x   x  x

 

Vậy x

b)  2

3x1 462.3

 2  2  2

3x1 4654 3x1 100 3x1 10

3x 1 10 3x  1 10 *Nếu 10 11

3 x   x *Nếu 3x     1 10 x Vậy 11 ;

3

x x  c)  2

2 2x  1602x32 x Vậy x5

d) (*)

2

x   x x

*) Xét x 0 VT 0, VP < nên khơng có giá trị x thỏa mãn *) Xét x0

2 x

   x 2 nên 1; 2

2

x  x x  x Khi (*) trở thành: 21

2

x   x x x Vậy 21

2 x Câu

a) Ta có: 500  5 100 100 300  3 100 100

3  243 ;7  343 Vì 100 100

243 343 nên 500 300 7 Vậy 500 300

b) Ta có:

9 45 52 13 13 13

5

1 1 1 1

243 3 3 81 83

                                         

Vậy

9 13

1

243 83            

c) Ta có

20

20 20

21

21 21

10 10

10 (1)

10 10

10 10

10 (2)

10 10 P

Q



  

 



  

 

Vì 209 219

10 110 1 nên từ (1) (2) suy 10P10Q P Q Vậy P > Q

Câu

Gọi số tự nhiên cần tìm x y z, , Theo đề ta có:

x y



5 15 20 24 x z x y z

   

Đặt ( 0) 15 ; 20 ; 24

15 20 24 x y z

k k x k y k z k

       

  2  2 2

2 2

2

15 20 24 1201 1201 1( 0) 15; 20; 24

x y z k k k k

k k Vi k x y z

       

        

Câu

a) Xét ABHvà CAKcó:

0

90 ( ); ( ) ;

H  K gt AB AC gt ABH CAK(cùng phụ với BAH)

( )

ABH CAK ch gn BH AK

      

b) Dễ thấy ABM  AMC cgc( )AMBAMC

Mà 0

180 90

AMBAMC AMB AMC AM BC Do ABCvuông cân nên

45

ABC  AMBvng cân MMAMB Xét MBHvà MAKcó: BH AK(chứng minh câu a)

MBH MAK (cùng phụ với AEB); MA = MB (chứng minh trên) ( )

MBH MAK c g c

   

c) Theo câu b) MBH  MAKMHMK KMAHMB(1)

Mà 0

90 ; 90 (2)

HMB HMA KMAKMHHMAKMH  Từ (1) (2)  MKHvuông cân M

d) Khi E khác M C

H

K

M C

A

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ACK ta có:

2 2

AK KC  AC mà 2

AKBHAK BH

2 2

BH KC AC

   không đổi

*Khi E trùng với C 2 2 2

BH CK  AB  AB  AC *Khi E trùng với M 2 2

BH KC MA MC  AC

Vậy E di động đoạn thẳng MC tổng 2

BH KC không đổi Câu Theo đề x y z; ; số phương Mà số phương chia cho cho có thê dư dư

Do số phương x; y; z chia cho phải có hai số có số dư, nên số xy y; z z; xphải có số chia hết cho suy

xyyzzx

PHỊNG GD&ĐT THIỆU HĨA

Đề thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016-2017 Câu (4,0 điểm) Tính hợp lý

     

7 18 19 12

) )

25 25 23 23 19 11 19 11 19

7 10

) 25 125.4 17 )

35 19 35 19 35

a b

c d



     



    

Câu (3,0 điểm)

Tính giá trị biểu thức sau:

1 1 1

) 1

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 a A          

     

2

)

b B x  x với x 

0

3 2 2015

) 2 13 ( ) 15( )

2016 c C x y x y xy  y xx y   

  , biết x y

Câu (4,0 điểm) 1) Tìm x y, biết

2

2 12

6

x y

     

 

 

2) Tìm x y z, , biết 2 4

4

x y  z x  y z

và x  y z 18

Câu (4,0 điểm)

1.Tìm số nguyên x, y biết x2xy  y

2 Cho đa thức f x( )x10101x9101x8101x7 101 x101 Tính f(100)

Câu (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm CD BE, K giao AB DC

a) Chứng minh rằng: ADC ABE b) Chứng minh DIB600

c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMNđều d) Chứng minh IA phân giác góc DIE

Câu sau (1,0 điểm)

ĐÁP ÁN HSG TỐN THIỆU HĨA 2016-2017 Câu

7 18 19 18 19 5

) 1

25 25 23 23 25 25 23 23 7

a                

    

7 12 12 12 12

)

19 11 19 11 19 19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19 b            

   

 

) 25 125.4.( 8).( 17) ( 25).4.125.( 8).( 17) ( 100).( 1000).( 17) 1700000

c             

7 10 10

)

35 19 35 19 35 35 19 19 35 35 35 35 d          

 

Câu a)

1 1 1

1

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 2.2 3.3 4.4 2016.2016 2016

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 2017 A          

     

       

        

       

b) Vì

x  nên

x x  Với

2 x

2

1

2

2

B      

 

Với x 

2

1

2

2

B      

   

Vậy B4với

x B7với x  c)

0

3 2 2015

2 13 ( ) 15( )

2016 C x y x y xy  y xx y   

 

3

2(x y) 13x y x( y) 15xy x( y) 1

        (Vì x y 0)

Câu 1. Vì 2 x      

  với x; 3y12 0với y, đó:

1

2 12

6

x y

     

 

  với x, y Theo đề thì:

1

2 12

6

x y

     

 

  Từ suy ra:

2

2 12

6

x y

     

 

1

2

6

x  12 12

y   x y 4 Vậy ; 12

x y  2. Ta có: 2 4

4

x y  z x  y z

Suy

4.(3 ) 3.(2 ) 2(4 ) 12 12

16 29

x y z x y z x y z x y z

   

Do đó: 3 (1)

4

x y x y

x y



    

2

0 (2)

3

z x x z

z x

     

Từ (1) (2) suy

2 x  y z

Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 18

2 4 x y z x y z

    

  Suy x4;y6;z8

Câu 1.Ta có:

      

2 2 1

x xy y x xy y x xy y

x y y x y

             

        

Lập bảng:

2x1 -1 -5

1 2 y 5 1 -5 -1

x -2

y -2 0 3 1

Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 2 Ta có:

 

10

10 9 8 7

9

( ) 101 101 101 101 101

100 100 100 101 101

100 ( 100) ( 100) ( 100) ( 100) ( 101)

f x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

      

         

            

Câu

a) Ta có : AD AB DAC; BAEvà AC = AE suy ADC ABE c g c( ) b) Từ ADC ABE(câu a) ABEADCmà BKI AKD(đối đỉnh)

Khi xét BIKvà DAKsuy BIK DAK 60 (0 dpcm) c) Từ ADC ABE (câu a)CM ENvà ACM  AEN

( )

ACM AEN c g c AM AN

      CAM EAN

0 60

MANCAE Do AMNđều

d) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ IB BIJđềuBJ BIvà

0 60

JBIDBA suy IBAJBD, kết hợp BABD

0

( ) 120 IBA JBC c g c AIB DJB

       mà 0

60 60

BID DIA Từ suy IA phân giác góc DIE

N M

K

I

E

D

A

B C

Câu sau

Vì I nằm tam giác ABC cách cạnh nên I giao điểm đường phân giác tam giác ABC

Tam giác ABC vng A nên tính BC5cm Chứng minh CEI  CMICM CE Chứng minh tương tự ta có: AE AD BD; BM

Suy

2 BC AB AC MB   

M I

C

UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019

MƠN: TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm)

1) Tính

3 3 1

4 11 13

5 5 5

4 11 13 M

   

 

   

2) Tính

1 1 1 2017 2018

;

2 2019 2018 2017 2016

A     B     

Tính A B Câu (2,0 điểm)

1) Tìm cặp số nguyên  x y, thỏa mãn x2y3xy3

2) CMR với nsố nguyên dương 3n22n2  3n 2nchia hết cho 10 Câu (2,0 điểm)

1) Cho số dương a b c d c, , , ; dvà a c b  d

CMR:  

   

2019 2018

2018 2018 2019 2019

2019 2018

2018 2018 2019 2019

a b a b

c d c d

 



 

2) Cho biết 3x2y  5z7x xy yzxz5002018 0 Tính giá trị biểu thức A3x y z2019

Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn AB AC.Vẽ phía tam giác ABCcác tam giác ABDvà ACE.Gọi Ilà giao CDvà

,

BE Klà giao AB DC,

1) Chứng minh rằng: DCBE

2) Gọi M Nlần lượt trung điểm CDvà BE.Tính số đo BIK AMN,

3) Chứng minh IAlà phân giác DIE

Câu (1,0 điểm) Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

 

2 2

2

ĐÁP ÁN Câu

1)

3 3 1

4 11 13

5 5 5

4 11 13 M

   

 

   

1 1 1 1 1

3

3

4 11 13 2 3 4

1

1 1 1 5

5

4 11 13 2

   

 

 

 

    

       

   

   

Vậy M 1

2) 2017 2018

2018 2017

B    

2018

2019 2018 2019 2017 2019 2019

2018 2017

2019 2019 2019

2019 1 1

2018 2017

1 1

2019

2019 2018 2017

1 2019

2019

so hang

A A

B

   

    

 

          

 

 

      

 

  

Vậy

2019 A

B  Câu

1) x2y3xy 3 3x6y9xy 9

   

  

3

3 3

3

x xy y

x y y

y x

    

    

   

3y1 1 7

2 3 x 7 1

y 2

3

0

3

2



x

Kết luận Loại Thỏa mãn Loại Thỏa mãn Vậy     x y,  3;0 ; 1; 2 

2) 3n2 2n2  3n 2n    

3 3n 2n 10n 5n

     

Ta có: 10.3 10 , 2 10

n

n n n

        

 2 

3 10 10,

3 10,

n n

n n n n

n n               Câu

1) Với a b c d, , , 0,cd, ta có: 2018 2018 2018 2018

a c a b a b

b    d c d c  d

Do đó,  

     

2019 2019

2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018

2019 2019

2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018

a a b

a b a b

c d c d c c d

 

   

 

Lại có: a b c d, , , 0,cd,ta có:

 

     

2018 2018

2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019

2018 2018

2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019

a a b

a b a b a b

c d c d c d c c d

 

     

 

Mà  

    

2019 2018

2018 2019 2019.2018 2019 2018 2019.2018

2018 2019 (3)

a a a

c

c c

 

Từ (1), (2), (3)  

   

2019 2018

2018 2018 2019 2019

2019 2018

2018 2018 2019 2019

a b a b

c d c d

 

 

2) Ta có:

 2018

3 0, ,

5 0, ,

500 0, , ,

x y x y

z x x z

xy yz zx x y z

   

   

 

    



 2018

3x 2y 5z 7x xy yz xz 500 0, x y z, ,

         

Dấu " " xảy

 

2

3

5

7 10 15 14

500

500

x y

x y

z x x y z

z x

xy yz zx

xy yz zx

  

 

 

 

       

     

    



 1 22 22 22

10 15 14 150 140 210 500

x y z xy xz yz xyyzxz

       

10 15 14

x y z

      

   

Mà , ,

10 15 14

x y z

x y z

   dấu

x y z, ,   10;15;14 ;  10; 15; 14

    

TH1: x10,y15,z14 Khi  2019

3

A x y z có giá trị là: 3.10 15 14  2019 12019 1 TH2: x 10,y 15,z 14

Khi Acó giá trị 3.1015 14 2019   1 2019  1 Vậy A1nếu x10,y15,z14

1

Câu

1) Ta có DAC 600BACEAB(1)

Xét ADCvà ABEcó: AD AB(ABD đều); DAC EAB cmt( ) (

AC  AE EACđều) DAC BAE c g c( )DCBE 2) ADC ABE(cm câu a) ABE ADC

Lại có BIK KBI: BKI KIB1800

Ta có DAK ADK: DKADAK1800;BKI DKA(đối đỉnh)

BIK DAK

  mà DAK 60 (0 ABDđều)BIK 600

ADC ABE

   (câu a)ACM  AEN Có DCBE(câu a) 1

2DC 2BE CM EN

   

( ) (1) ACM AEN c g c

   

CAM EAN CAM CAN EAN CAN

MAN EAC

     

 

Mà EACđều EAC 600MAN 600

K N

M I

E

D

A

 1 AM  AN  AMNcân A AMNđều AMN 600 3) Trên tia IDlấy Tsao cho IT IB BITcân Imà

0 60 ( )

BIK  cmt  BITđềuBT BI IBT; 600

Do TBI DBA(cùng 60 )

TBI TBK DBA TBK IBA TBD

     

Lại có BABD BT, BI  IBA TBD c g c( ) Mà AIBDTB1200, lại có BID600 DIA600

BID DIA IA

   tia phân giác DIE

Câu

Ta có: a b 2  0 a2 2ab b  0 a2 b2 2ab Tương tự ta có: 2 2

2 ;

b c  bc c a  ac

 2 2  

2 2

2

(1)

a b c ab ac bc

ab ac bc a b c

     

     

Dấu " " xảy     a b c ABCđều Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

 

2

2 2

2

2 (2)

a b c ac bc c

a c b ab bc b a b c ab ac bc

b c a ab ac a



    



          



     

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN

TRƯỜNG THCS ĐÀO DUY TỪ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018-2019 Mơn: TỐN

Phần I Trắc nghiệm (6,0 điểm) Chọn đáp án Câu Giá tri xtrong biểu thức  x12 0, 25là:

A 1;

4 B

1 ; 4

  C 9;

4 4 D

9 ; 4



Câu Cho góc xOy50 ,0 điểm Anằm Oy.Qua Avẽ tia Am.Để Amsong song với Oxthì số đo góc OAmlà:

A 50 B 130 C.50 130 D 80

Câu Cho hàm số y f x xác định với x1.Biết f n   n1  f n1và  1

f  Giá trị f  4 là:

A B C D

Câu Cho tam giác ABCvuông B, AB6,A30 Phân giác góc Ccắt ABtại D Khi độ dài đoạn thẳng BDvà ADlần lượt là:

A 2;4 B 3;3 C 4;2 D 1;5

Câu Cho a2m  4.Kết 2a6m 5là:

A 123 B 133 C 123 D 128

Câu Cho tam giác DEFcó EF.Tia phân giác góc Dcắt EF I Ta có:

A DIE DIF B DEDF IDE, IDF

C IEIF DI, EF D Cả A, B, C Câu Biết a b 9.Kết phép tính 0,a b 0,b a là:

A B C.0,5 D 1,5

Câu Cho ab2 6ab36.Giá trị lớn xa b là:

A B 6 C D

Câu Cho tam giác ABC,hai đường trung tuyến BM CN, Biết AC AB.Khi độ dài hai đoạn thẳng BM CNlà:

A BM CN B BM CN C BM CN D BM CN Câu 10 Điểm thuộc đồ thị hàm số y 2xlà:

A M 1; 2 B N 1;2 C P0; 2  D Q1;2

Câu 11 Biết lãi suất hàng năm tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm hàm số theo số tiền gửi i0,005p(trong ilà tiền lãi thu được, plà tiền gốc gửi vào) Nếu tiền gửi 175000 đồng tiền lãi là:

Câu 12 Cho tam giác ABCcân A A, 20 Trên cạnh ABlấy điểm Dsao cho

ADBC Số đo góc BDClà:

A 50 B 70 C 30 D 80 Phần II Tự luận (14,0 điểm)

Bài (3,0 điểm)

a) Chứng tỏ M 75 4 2018 42017  4 2  4 1 25chia hết cho 10 b) Cho tích a blà số phương  a b, 1.Chứng minh avà bđều số

chính phương Bài (4,0 điểm)

a) Cho đa thức A2 x x  3 x x. 73.x673 Tính giá trị Akhi x2 Tìm xđể A2019

b) Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp 7Atrồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7Bvà 7Ctrồng theo tỉ lệ 1,5 1, 2.Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7Atrồng số lớp 7Btrông 120

Bài (5,0 điểm)

1 Cho đoạn thẳng AB.Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng ABvẽ hai tia Ax By, vng góc với ABtại Avà B Gọi Olà trung điểm đoạn thẳng AB.Trên tia Axlấy điểm C tia Bylấy điểm Dsao cho góc COD 900

a) Chứng minh ACBDCD b) Chứng minh

2

4

AB

AC BD

2 Cho tam giác nhọn ABC,trực tâm H.Chứng minh rằng:

 

2

HAHBHC  AB ACBC Bài (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ ,A biết:

7 2000

ĐÁP ÁN I.Trắc nghiệm

1A 2C 3C 4A 5B 6D 7B 8A 9C 10D 11B 12C II TỰ LUẬN

Bài

a) Ta có M 25 4   2018 42017  4 2  4 1 25

 2019 2018   2018 2017 

2019 2018 2018 2018

25 4 4 25 4 4 25 25.4 25.4.4 100.4 10 10

            

   

Vậy M 102

b) Giả sử akhơng phải số phương, suy phân tích số ara thừa số ngun tố số achứa thừa số kmũ lẻ

Vì  a b, 1 nên bkhông chứa thừa số nguyên tố k

Do a bchứa thừa số nguyên tố kmũ lẻa b khơng phải số phương, trái với giả thiết nên giả sử sai

Vậy a blà số phương  a b, 1thì avà bđều số phương Bài

a) Ta có: A2x2 6xx2 7x3x2019x2 2x2019 +) Tính giá trị Akhi x4, thay x4vào A,ta được:

2 2.2 2019 2019

A   

+)Tìm xđể A2019

2

2019 2019 2019

2

x

A x x x x

x

 

         

 

b) Gọi a b c a b c, ,  , ,  *lần lượt số ,7 ,7A B Ctrồng Theo đề ta có: (1); 120 (2)

1,5 1,

b c

b a

  

  40

32,5% (3)

13 a a a     b c a b c

Vậy lớp trồng số 2400 Bài

1)

a) Gọi Elà giao điểm COvà BD

Ta có : OACOBE90 ;0 OA OB gt AOC ( ); BOE(đối đỉnh)

( ) AC BE

AOC BOE g c g

CO EO

 

     

 

B D

E O

A C

Ta có: OCOE cmt OAC( ); OBE90 ;0 ODlà cạnh chung  

DOC DOE c g c CD ED

     

Mà EDEBBDACBDCD ACBD

b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng BOEvà BODta có:

2 2

2 2 2

2 2

OE OB EB

OE OD OB EB DB

OD OB DB

  

     



 



Mà OE2 OD2 DE2;nên:

   

 

 

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

DE OB EB DB

OB EB DE DB DB DE BE

OB EB DE EB BD DB DE DB BE

OB EB DE DB DE BD BE

OB DE EB DB BD BE

OB DE BD BE

  

    

    

   

   

  

2

2OB 2BD BE BD BE OB

     , mà ;

2 AB BE AC OB

Vậy

2 2

( )

2

AB AB

AC BD   dfcm

 

2)

Qua Hkẻ đường thẳng song song với ABcắt ACtại DCH HD

E

D

H A

Đường thẳng song song với AC cắt ABtại EBH HE Ta có AHD HAE g c g( )ADHE AE, HD

Trong AHD có HAHD ADnên HA AEAD  1 Từ BH HE HBEvuông cân nên HBBE 2

Tương tự, ta có: HCDC (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: HAHBHC ABAC(4)

Tương tự : HAHBHC ABBC(5) HAHBHC ABBC (6)

Từ (4), (5) (6) suy 2 

3

HAHBHC  AB ACBC

Bài Ta có 7x5y 0; 2z3x 0và xyyzzx2000   0 A Suy giá trị nhỏ Alà Dấu " " xảy

7

2

2000

x y

z x

xy yz zx

 

 



    

Dùng phương pháp thế, từ tìm : 20, 28, 30

20, 28, 30

x y z

x y z

  



      



Vậy minA0.Dấu " " xảy 20, 28, 30

20, 28, 30

x y z

x y z

  



      

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN – LỚP

Bài (4,0 điểm)

Cho biểu thức : 22 33 44 9999 100100

3 3 3

C       

Chứng minh rằng: 16 C  Bài (5,0 điểm)

Câu Tìm , ,x y zbiết: 3x4y5z3x4yvà 2x  y z 38 Câu Cho tỉ lệ thức

2 2

a b ab

c d cd

 

 với a b c d, , , 0,c d

Chứng minh rằng: a c

b  d

a d b  c Bài (3,0 điểm)

Câu Chứng minh với nnguyên dương ta có:

3

4n 4n 4n 4nchia hết cho 300 Câu Cho 27

12 x Q

x

 

 Tìm số ngun xđể Qcó giá trị ngun ?

Bài (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức:

  2 2

3 24

H  x y  y x  xy Bài (5,0 điểm)

Cho ABCnhọn Trên nửa mặt phẳng bờ ABkhông chứa điểm C dựng đường thẳng AD vng góc với ABvà ADAB.Trên nửa mặt phẳng bờ ACkhông chứa điểm B dựng đoạn thẳng AEvng góc với ACvà AE  AC

1) Chứng minh : BECD

ĐÁP ÁN Bài

Biến đổi : 3 22 33 44 9999 100100 32 43 9998 10099

3 3 3 3 3 3

C              

 

Ta có:

2 98 99 99 100

2 98 99 99 100

2 3

2 99 100 99 100

3

3 3 3 3 3 3

2 99 100 99 100

4

3 3 3 3 3 3

2

4

3 3 3

C C

C

C

   

                

   

             



     

          

      99 99 100

2 99 100

100 99 100

3 3

1 1 100

4

3 3 3

C

 

   

 

      

Đặt 1 12 13 199

3 3

D     

Ta có: 3 1 12 13 199 1 12 198

3 3 3 3

D            

 

Khi : 3 1 12 198 1 12 13 199

3 3 3 3

D D               

   

 

2 98 99

2 98 98 99

99

1 1 1 1

4

3 3 3 3

1 1 1 1

4 1

3 3 3 3

1

4

3

D

D

D

           

     

              

     

 

Suy 199 199

4 4.3

D    

Nên ta có:

99 100 99 100

3 100 100

4

4 4.3 4.3

C      

  99 100

1 100

4 4.3

C  

     

 

2 99 100 99 100

3 25 25

16 3 16 3

C       

 

Ta có: 2199 25100

4 3  nên 99 100

3 25

16 3 16

 

  

  Vậy

3 16 C 

Bài Câu

Ta có: 2x  y z 38nên 2x   y z 38

Vì 3x4y5z3x4ynên 3x5z3x3x3x5z6x9x5z (1)

5 20 36

x z x z

   

Vì (2)

4 20 15

x y x y

x y   

Từ (1) (2) suy

20 15 36 x  y  z

Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

2 38

2 20 15 36 2.20 15 36 19

x y z x y z 

     

 

2 40

20

2 30

15

2 72

36

x

x

y

y

z

z

     

  

      

     

Vậy x 40;y 30;z 72 Câu

Ta có:

2 2

a b ab

c d cd

   nên 2 2 2

a b ab

c d cd

 



Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

   

            

2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

a b ab a b ab a b ab

c d cd c d cd c d cd

a ab b ab a ab b ab a b a b

c cd d cd c cd d cd c d c d

                                 Suy 2

a b a b a b a b

c d c d c d c d

   

     

       

   

a b b a

c d c d

  

 

+Với a b a b

c d c d

 



  ab c d  ab c d

ac ad bc bd ac ad bc bd

a c

ab bc

b d

       

   

Với a b b a

c d c d

  

  ab c d  ba c d

ac ad bc bd bc bd ac ad

a d ac bd b c             Vậy 2 2

a b ab

c d cd

 

 với , , ,a b c d 0,c dthì

a c

b  d

a d b  c Bài

Câu 1,

 

3

4n 4n 4n 4n 4 4n 4   4 75n 300.4n 300(với nnguyên dương)

Nên 4n34n2 4n14nchia hết cho 300 (với n nguyên dương) Câu Điều kiện : x ,x12

Biến đổi : 27 2 12  3

12 12 12

x x

Q

x x x

 



   

  

Ta có: 2 ;x ;x12nên Q có giá trị nguyên

12xcó giá trị nguyên Mà

12xcó giá trị nguyên 12 x U(3)   1; 3 Nếu 12    x x 15(tm)

Nếu 12    x x 13(tm) Nếu 12   x x 11(tm) Nếu 12   x x 9(tm)

Vậy Qcó giá trị nguyên x9;11;13;15 Bài

Ta có: H 3x2y 2  4y6x2  xy24

 2  2  2  2

3x 2y 2y 3x xy 24 3x 2y 3x 2y xy 24

           

 2  2

3 3x 2y xy 24 3 3x 2y xy 24

          

Ta có: 3 x2y2 0với giá trị ,x y 24

Do  2

3 3x2y  xy24 0 với giá trị ,x y Nên 3 3 x2y2  xy240 với giá trị ,x y Hay H 0 với giá trị ,x y

Dấu " " xảy 3x2y0và xy240 +Với 3x2y0thì

2 x y x y 

Đặt x y

k

  , x2 ,k y3k, thay x2 ,k y3kvào (1) ta được:

2

4

6

2 24

4

6 x

k

y

k k k

x k

y

  

  

 

 

     

         

 



Vậy giá trị lớn biểu thức 4;

4;

x y

H

x y

 



Bài

1) Chứng minh : BECD

Ta có: DACDABBAC(vì tia ABnằm tia ADvà AC) Mà BAD90 (0 Vì ABADtại A) nên DAC 900 BAC (1) Ta có: BAECAEBAC(Vì tia ACnằm hai tia AB AE) Mà CAE 900(Vì AE ACtại A) BAE900 BAC (2) Từ (1) (2) suy BAEDAC

I

K F N

H M

E

D

A

Xét ABEvà ADCcó: AB AD gt BAE( ); DAC cmt AE( );  AC gt( ) Do ABE ADC c g c( )BECD(hai cạnh tương ứng)

2) Trên tia đối tia MA lấy điểm Nsao cho M trung điểm AN Từ D kẻ DFvng góc với MA F

Xét MAEvà MDNcó: (

MN MA Mlà trung điểm AN); AME DMN cmt( );MEMD(M trung điểm DE) Do đó: MAE MND c g c( )AEDN(hai cạnh tương ứng);

Và NDM MEA(hai góc tương ứng)

Mà NDM MEAở vị trí so le hai đường thẳng AEvà DN Nên AE/ /DN(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Suy ADNDAE1800(vì hai góc phía) (3) Ta lại có: DAEDABBACEAC3600

Hay DAEBAC1800(vì DABEAC 90 ) (4)0 Từ (3) (4) suy ADN BAC

Ta có: AEDN cmt( )và AE AC gt( )ACDN

Xét ABCvà DANcó: AB AD gt ADN( ); BAC cmt AC( ); DN cmt( ) Do ABC DAN c g c( )

Suy DNA ACB(hai góc tương ứng) hay DNF  ACB Ta có: DAFBADBAH 180 ( , ,0 F A H thẳng hàng) Hay DAF BAH 900(vì BAD90 ) (5)0

Trong ADFvng F có: FDADAF 900(hai góc phụ nhau) (6) Từ (5) (6) FDABAH

Ta có: ADN NDF FDA(vì tia DFnằm tia DA DN, ) (

BAC HACBAH Vì tia AH nằm tia AB AC) Mà ADN BACvà FDABAH cmt( )NDF HAC

Xét AHCvà DFNcó: NDF HAC cmt AC( ); DN cmt DNF( ); ACB cmt( ) Do đó: AHC DFN g c g( )

Mà DFN 900(vì DEMAtại F) nên AHC900 Suy MABCtại H (đpcm)

3)

MABCtại H (cmt) AHBvuông H, AHCvuông H Đặt HC x HB a x(Vì H nằm B C)

Áp dụng định lý Pytaago cho tam giác vuông AHBvà AHCta có:

2 2

AH  AB BH AH2  AC2 CH2  2

2 2 2 2

AB BH AC CH c a x b x

        

Từ tìm

2 2

a b c

HC x

a

 

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN XUÂN TRƯỜNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học 2018-2019

MƠN: TỐN LỚP Thời gian : 120 phút Bài (6,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức:

3

0,375 0,3 1,5 0,75

11 12

5 5

0,625 0,5 2,5 1, 25

11 12

A

    

 

     

2) Tìm x, biết : 5

3 x

 

  

3) Tìm số nguyên xbiết 49 26   x 81

Bài (3,0 điểm) Cho xvà ylà hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1và x2là hai giá trị x, y y1, 2là hai giá trị tương ứng y

a) Tính x1và y1biết 2x15y1và 2x13y1 12

b) Tính y1biết x12x2và y2 10

Bài (4,0 điểm)

Cho tam giác ABCvng A có ABAC.Kẻ AH vng góc với

 

BC HBC Lấy điểm D AC cho ADAB.Kẻ DEvà DK vng góc với BCvà AH (EBC K, AH)

a) So sánh độ dài BHvà AK b) Tính số đo góc HAE

Bài (4,0 điểm)

Cho tam giác ABCcó B45 ,0 C15 Trên tia đối tia AB lấy điểm

,

M Dsao cho BA AM MD.Kẻ DEvng góc với ACtại E a) Chứng minh AMEđều

b) Chứng minh ECED

ĐÁP ÁN Bài

3

0,375 0,3

1,5 0,75 11 12

1)

5 5

0,625 0,5 2,5 1, 25

11 12

1 1 1 1

3 3 3 3 3 3.

8 10 11 12

8 10 11 12

5 5 5 5 1 1 1

5

8 10 11 12 10 11 12

3

0

5

A

    

 

     

        

        

   

   

   

               

   



  

5 5 5 5 25

2)

3 9 18

5 25

*) 1:

3 18 18

5 25 55

*) :

3 18 18

x x x

TH x x

TH x x

 

         

   

    

Vậy ; 55

18 18

x x

3) Với

2 11

49 2 6

2

6 3

3

x x

x x

x x

    

 

      

       

 



Mà x    x  2; 1;0;1;2;3

Với 26 26 26 29 32

3 81 9 9

x      x    x

Bài

a) Vì 1 1

1

2

2

5 10

x y x y

x  y    

1 1

1

2 3 12

3 15;

10 10

x y x y

x y



       



b) Vì xvà y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x y1 1 x y2 2

Mà x12x2và y2 10nên :

2

2 10

2 10

2 x

x y x y

x

   

Bài

a) Chứng minh BAH  ADK(cùng phụ với KAD) Xét ABHvà DAKcó:

0

90 ; ( ); ( )

AHBDKA BADA gt BAH  ADK cmt

( )

ABH DAK ch gn BH AK

      

b) Chứng minh KD/ /HEKDH EHD(hai góc so le trong)

Xét KDH EHDcó: DKH HED90 ;0 DHchung; KDH EHD cmt( ) E

K

D H

B

( )

KDH EHD ch gn KD EH

       (hai cạnh tương ứng)

Mà HAKDABH  DAKHEHA AHEvuông cân H Từ tính HAE450

Bài

a) ABCcó DAC ABC ACB(tính chất góc ngồi tam giác )

60 (1) DAC

 

Lấy điểm F thuộc tia đối tia MEsao cho: MF ME Chứng minh AMF DME c g c( ) AF DE

AFM DEM

 

    

 

Vì AFM DEM cmt( ) AF / /DE

Vì AF / /DE cmt( ), mà DE AC gt( )AF  ACFAE900 Chứng minh được: AFE EDA c g c( )EF  ADMEMA

AME

  cân M (2) Từ (1) (2)  AMEđều

b) Nối Evới B F

E

D M

A B

Ta có AMEđều (câu a)AM  AE,mà AM  AB gt( ) Từ ta có AB AE ABEcân A

 

0 0 0

180 45 15 120 30

BAC      ABE AEB

ADE

 vuông E, DAC600(câu a)ADE300 BED

 có: DBEBDE300 BEDcân EEDEB(3)

Ta có: EBC ABCABE450 300 150  BECcân EEBEC(4) Từ (3) (4) ECED

Bài

2

2

2

2

1

3 9.21

3 3

3

3 7

3

1

3

0

x y x

x y x x

x x

x y x x

x y

x x y x

x y

x y

 



 



 



 

   

  

       

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4,0 điểm)

1 Tính

   

 3 3 2  5

1000 10 11 5.2 11 121 15 : 25 :

4 7

A         B    

   

2 Tìm x,biết: 21 : 19

10 x 10 5

       

   

   

Bài (4,0 điểm)

1 Tìm , ,x y zbiết: 10;

9

x y

y  z  x  y z 78

2 Cho b2 ac c, bd.Với b c d, , 0;b c d b;  c5 d5 Chứng minh:

3 3

3 3

a b c a b c

b c d b c d

       

     

3 Tính giá trị biểu thức

15 14 13 12

2019 2019 2019 2019

Cx  x  x  x   x với x2018 Bài (4,0 điểm)

1 Tìm ynguyên, biết y20182018  y 2019 1

2 Cho ,p qlà số nguyên tố lớn thỏa mãn p q Chứng minh rằng: pq12

Bài (6,0 điểm)

Cho ABCcó ba góc nhọn, AB AC, trung tuyến AM.Trên nửa mặt phẳng bờ ABchứa điểm C,vẽ đoạn thẳng AEvng góc với ABvà AE AB.Trên nửa mặt phẳng bờ ACchứa điểm B, vẽ đoạn thẳng ADvng góc với ACvà AD AC

1) Chứng minh BDCE

2) Trên tia đối tia MA lấy Nsao cho MN MA.Chứng minh 3) ACN 1800 BACvà ADE  CAN

4) Gọi I giao điểm DEvà AM.Chứng minh :

2

2

AD IE

DI AE

 



Bài (2,0 điểm)

1 Tìm số hữu tỉ , ,a b cthỏa mãn đồng thời abc bc, 4 ,a ac9b

ĐÁP ÁN Bài

 

 

   

1 1000 1000 11 49 40 121 121

1000 1000 11 8.0 1000 1000 11.9 99

1 5 1

15 : 25 : 15 25 : 10 14

4 7 4

21 19

2 :

10 10 5

21

2 10 A B x x                                                                 

   

10 10

2

21

2

2

10 10 x x x x x                     Bài

1) 10 (1)

9 10

x x y

y   

3

(2)

4 12

y y z y z

z     

Từ (1) (2) suy 78 60, 54, 72

10 12 10 12 13

x y z x y z

x y z

 

        

 

2) Từ b2 ac a b (1) ;c2 bd b c (2)

b c c d

     

Từ (1) (2) suy a b c a b c

b c d b c d

    

 

3 3 3 3 3 3 3

3 3 3

a b c a b c a b c

dfcm

b c d b c d b c d

   

 

      

   

 

3) Ta có: 20192018 1  x

Do đó: 15   14     12  

1 1 1

Cx  x x  x x  x x   x x

1 2018 2017 x

    

Vậy C2017 Bài

2018

2018 2019

2019

2019 2018

y

y y

y

y y

  

 

  



  

  

  



Vậy y2018hoặc y2019

2 Vì q nguyên tố , q3nên q có dạng 6k1hoặc 6k5k  Nếu q6k1thì p  q 6k3 3mà p3nên p hợp số (loại) Nếu q6k    5 p q 6k  5 6k 7

Suy p q 6k7  6k512k12 12(dfcm) Bài

1 Xét ABDvà ACE có: AD AC gt( )và AE AB gt BAD( ); CAE(cùng phụ với BAC) ABD AEC c g c( )BDCE(2 cạnh tương ứng)

Q I F

N D

E

M A

B

2 Xét ABMvà NCMcó: AM MN gt BM( ); CM gt AMB( ); NMC(đ đ) ( )

ABM NCM c g c ABM NCM

      (hai góc tương ứng)

Do đó:

180 ( )

ACN  ACBBCN ACB ABC BAC dfcm +Ta có: DAEDACBAEBAC 1800 BACDAE ACN Xét ADEvà ACNcó: CN  AE(cùng AB),

( ); ( )

AC  AD gt DAE ACN cmt  ADE  CAN cgc( )

3 Theo tính chất góc ngồi, ta có: AQPQAD QDA APQ ; PAEPEA Mà AB ACnên AE ADADE AED

Theo chứng minh ta có: QADPAE Từ suy QAD QDA PAEPEA Hay AQP APQAP AQ

4 Vì ADE CAN cmt( )NAC ADE(hai góc tương ứng)

Xét ADPvuông AADE APD900 NACAPD900AI DE Xét ADIvng I, theo định lý pytago có:

2 2 2

AD DI AI AI  AD DI

Xét AIEvuông I , theo định lý Pytago ta có:

2 2 2

AE  AI IE AI AE IE

2

2 2 2 2

2 1( )

AD IE

AD DI AE IE AD IE DI AE dfcm

DI AE



         



Bài

1 Nhân vế ba đẳng thức ta abc2 36abc Nếu abc0thì kết hợp với đề ta a  b c Nếu abc0thì abc36

Kết hợp ab   6 c Kết hợp bc4a  a Kết hợp ac9bsuy b 2 Với c6thì 3,

3,

a b

ab

a b

 



       

Với 6 3,

3,

a b

c ab

a b

  

       

    

Số tự nhiên cần tìm có dạng 2019a a1 2 an

Theo giả thiết, ta có: 2019a a1 2 an 2018

1

1 2

2019.10 2018

2018.10 10 2018 10 2018 n

n

n n n

n n

a a a

a a a a a a

 

    

Xét trường hợp:

Với n1,ta : 10a1 2018khơng tìm a1 10 10  a1 20

Với n2,ta 100a a1 2 2018khơng tìm a a1 2vì 100 100 a a1 2 200

Với n3, ta 1000a a a1 3 2018, khơng tìm a a a1 3vì

1000 1000 a a a 2000

Với n4,ta 10000a a a a1 4 201810000a a a a1 45.2018 2018

Hay a a a a1 4902018a a a a1 42108

UBND HUYỆN ANH SƠN GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn

Năm học: 2015-2016

Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề) Bµi : Cho biĨu thøc A =

1

 

x x

a Tính giá trị A x =

9 16

vµ x =

9 25

b Tìm giá trị x để A =5

Bài 2 : Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác biết cộng lần l-ợt độ dài hai đ-ờng cao tam giác tỉ lệ kết :5 : :

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức d

c b a 

Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)

Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D , cho KD = KA

a Chứng minh: CD // AB

b Gọi H trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH

c Chứng minh: HMN cân

Câu (1,0 điểm)

a Cho ba số dương 0abc1 chứng minh rằng:

1 1

a b c

bc ac ab  b Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2

Cõu Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: P =   

 

Z x x

x ; 14

Khi x nhận giá trị nguyên nào?

ĐÁP ÁN Bài 1: Thực phép tính (6 điểm)

Giải:

a

4 9 :         9 : 4 9 :

3   

   



  0,75đ

=

4 36 9    0,75đ b 1 19 45                             1 1 19 45 19 45 1                                 1,0đ = 19 19 19 26 19 45    1,0đ

c 10 19 29 6

9 20 15 27   29 19 10 20 15 27  

= 10 19 19 29 3.6

9 20 15   01đ  

5.3 7 18 29 18 29    01đ = 15 10     0,5đ Bài 2: (6 điểm)

Giải:

a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16

2x – – 6x – – 8x – 12 = 16 0,25đ

-12x – 20 = 16 0,25đ

-12x = 16 + 20 = 36 0,50đ

x = 36 : (-12) = -3 0,50đ

b Tìm x, biết: :2

1  x =

22 21 Nếu 

3 : 2

1  x =

22 21

2

: (2x – 1) = 22 21

0,25đ 2x – =

2 : 22 21 = 11 21 22  0,25đ 2x = 11

+ = 14 0,25đ x = 14

: = > 0,25đ Nếu 

x Ta có: 0,25đ

3 : 2

1 

x = 22 21

2

: (1 - 2x) = 22 21 0,25đ -2x = 11

- = 0,25đ x =

: (-2) =

2 

 0,25đ

Vậy x =

x =

 0,25đ

c Tìm x, y, z biết :

15

2xy  y z

x + z = 2y Từ x + z = 2y ta có:

x – 2y + z = hay 2x – 4y + 2z = hay 2x – y – 3y + 2z = 0,25đ

hay 2x – y = 3y – 2z 0,25đ

Vậy nếu:

15

2xy  y z

thì: 2x – y = 3y – 2z = (vì  15) 0,25đ Từ 2x – y = suy ra: x = y

2

0,25đ Từ 3y – 2z = x + z = 2y  x + z + y – 2z = hay y

2

+ y – z = 0,25đ hay y

2

- z = hay y =

z suy ra: x =

Vậy giá trị x, y, z cần tìm là: {x =

z; y =

z ; với z  R } {x =

2

y; y  R; z =

y} {x  R; y = 2x; z = 3x}

0,5đ

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức d

c b a



Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)

ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ cb = ad suy ra:

d c b a 

0,75đ Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D , cho KD = KA

a Chứng minh: CD // AB

b Gọi H trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH

c Chứng minh: HMN cân Giải:

N M

H

D

K B

A C

a/ Chứng minh CD song song với AB

Xét tam giác: ABK DCK có:

0,25đ BK = CK (gt)

D Kˆ C A Kˆ

B  (đối đỉnh) 0,25đ

ABK = DCK (c-g-c) 0,25đ

 DCˆKDBˆK; mà

90 B Cˆ A C Bˆ

A   ACˆDACˆBBCˆD900 0,25đ

 ACˆD900 BAˆC AB // CD (AB  AC CD  AC) 0,25đ

b Chứng minh rằng: ABH = CDH

Xét tam giác vng: ABH CDH có:

0,25đ BA = CD (do ABK = DCK)

AH = CH (gt) 0,25đ

ABH = CDH (c-g-c) 0,50đ

c Chứng minh: HMN cân

Xét tam giác vuông: ABC CDA có:

0,25đ AB = CD; ACˆD900 BAˆC; AC cạnh chung: ABC = CDA

(c-g-c)

 ACˆBCAˆD 0,25đ

mà: AH = CH (gt) MHˆANHˆC (vì ABH = CDH) 0,50đ

AMH = CNH (g-c-g) 0,50đ

 MH = NH Vậy HMN cân H 0,50đ

Bài 5: (2 điểm): Chứng minh số có dạng abcabcln chia hết cho 11 Giải:

Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c 0,25đ = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) 0,50đ

= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) 0,50đ

= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) 0,25đ = 11.91( a.102 + b.10 + c)  11 0,25đ

Vậy abcabc 11 0,25đ

PHÒNG GD & ĐT

ĐỀ HSG TOÁN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN NĂM HỌC 2017-2018

Ngày thi: 26/3/2018 Bài (4,0 điểm)

a) Tính : 113 0,5 3 2 119 :123

15 15 60 24

A   

 

b) So sánh : 16 20 2100 Bài (3,0 điểm)

a) Tìm xbiết: 11

2

x  

b) Tìm số tự nhiên nbiết: 31 n 4.3n 13.35 Bài (4,5 điểm)

a) Cho dãy tỉ số nhau:

2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

a b c d

              

Tính giá trị biểu thức ,Q biết: Q a b b c c d d a

c d d a a b b c

   

   

   

b) Cho biểu thức M x y z t

x y z x y t y z t x z t

   

        với x y z t, , ,

số tự nhiên khác Chứng minh M10 1025 Bài (6,5 điểm)

1) Cho tam giác ABCvuông cân A Gọi M trung điểm BC,D điểm thuộc đoạn BM D( khác B M) Kẻ đường thẳng BH CI, vng góc với đường thẳng ADtại H I Chứng minh rằng:

a) BAM  ACM BH  AI b) Tam giác MHIvuông cân

2) Cho tam giác ABCcó A90 Kẻ AH BC H( BC).Tia phân giác HAC cắt cạnh BC điểm D tia phân giác HABcắt cạnh BC E Chứng minh ABACBCDE

Bài (2,0 điểm) Cho , ,x y zlà số thực tùy ý thỏa mãn x  y z 1  x 1, y 1, z

ĐÁP ÁN Bài

a) Biến đổi 47 47: 60 24 5

A    

b) Biến đổi 1620 24.20280 Có 280 2100 1620 2100 Bài

a) Ta có: 11 7

2

2

x x

x x

x x

  

 

       

   

 

b) Biến đổi được:3 3n 1413.35 3n 36  n

Bài 3. a) Biến đổi

2 2

2 2

1 1

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

           

  

                  

              

+Nếu a   b c d 0thì a        b c d Q 1 1 +Nếu a   b c d

       

       

; ; ;

1 1

a b c d b c d a c d a b d a b c

Q

               

          

Vậy Q4khi a   b c d

Q  a   b c d b) Ta có:

, , ;

x x y y z z t t

2

x y z t

M M

x y x y z t z t

   

      

     

 

Có M10 210 1024 1025 M10 1025 Bài

1)

a) Chứng minh : BAM  ACM

Chứng minh được: ABM  ACM c c c( ) Lập luận BAM CAM 450

Tính 45

ACM  BAM  ACM Chứng minh : BH  AI

Chỉ BAH ACI(cùng phụ DAC)

Chứng minh AIC BHC ch( gn)BH  AI(2 cạnh tương ứng) b) Tam giác MHIvuông cân

+Chứng minh AM BC Chứng minh AM MC Chứng minh HAM ICM

I

H M C

B

A

Chứng minh HAM  ICM c g c( )HM MI (*)

Do HAM  ICM HMAIMCHMBIMA(do AMB AMC90 )0 Lập luận được: HMI 90 (**)0

Từ (*) (**)  MHIvuông cân 2)

+Chứng minh được:

AEC ABCBAEHADDACBAEEAH HADDACEAC (Vì Bvà HACcùng phụ với BAH)

Suy tam giác AECcân C ACCE (*) Tương tự chứng minh được: ABBD **

Từ (*) (**)AB ACBDECEDBC Bài

Trong ba số , ,x y zcó hai số dấu giả sử ,x y     0 z x y Vì          1 x 1, y 1, z x2 y4 z6  x y  z

E

D H

B

A

2 6

2

x y z x y z

x y z z

     

    

) z

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018

Mơn thi: TỐN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm)

a) Thực phép tính:

2 193 33 11 1931

:

193 386 17 34 1931 3862 25 A          

   

   

b) Rút gọn : B        5  5 1 5  5 3   5 2016   5 2017 Câu (4,0 điểm)

a) Tìm a b c, , biết 12 15 20 12 15 20

7 11

a b  c a  b c

và a  b c 48

b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I II III, , tỉ lệ với 7;6;5 Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ 6;5;4.Như có đội làm nhiều so với dự định 6m3 Tính tổng số đất phân chia cho đội

Câu (4,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2017 2018 2017 2019 x

C x

 



 

b) Chứng tỏ

2

3 15

16

n S

n



     không số tự nhiên với

,

n n

c) Tìm tất cặp số nguyên ,x ysao cho xxy y

Câu (5,5 điểm) Cho tam giác cân ABC AB,  AC Trên cạnh BClấy điểm D, tia đối CBlấy điểm Esao cho BDCE.Các đường thẳng vuông góc với

BCkẻ từ Dvà Ecắt AB AC, M N, Chứng minh rằng: a) DM EN

b) Đường thẳng BCcắt MNtại điểm Ilà trung điểm MN

c) Đường thẳng vng góc với MNtại Iluôn qua điểm cố định Dthay đổi cạnh BC

Câu (2,0 điểm)

Trong hình bên, đường thẳng OAlà đồ thị hàm số y f x( )ax

a) Tính tỉ số 0

2 y x

 

b) Giả sử x0 5.Tính diện tích tam giác OBC

ĐÁP ÁN Câu

2 193 33 193 193 33 2 33

)

193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34

7 11 1931 1931 11 1931 11

1931 3862 25 1931 25 3862 25 25 50 1: 5 a A                                                                 

1 2016 2017 2018

0 2016 2017

) 5 5 5

5 5 5

b B

B

             

            

Do đó:    

2018

2018

5

6

B B B B 

        

Câu

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

12 15 20 12 15 20 12 15 20 12 15 20

0

7 11 27

12 15

0 12 15

7

12 15 20

1 1

20 12

0 20 12

12 15 20

a b c a b c a b c a b c

a b

a b

a b c

a b c

c a c a                              

Và a  b c 48

Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 48

24

1 1 1 1

12 15 60 12 15 20 a b c a b c

    

 

20, 16, 12

a b c

   

b) Gọi tổng số đất phân chia cho đội x m 3 ,DK x: 0

Số đất dự định chia cho đội I II III, , a b c m, ,  3 ,DK a b c: , , 0

Ta có ; ; (1)

7 18 18 18 18 18

a b c a b c x x x x

a b c

 

       

Số đất sau chia cho đội , ,I II IIIlần lượt a b c m', ', ' 3 ĐK: ', ', ' 0a b c  Ta có ' ' ' ' ' ' ' ; ' ; ' (2)

6 15 15 15 15 15

a b c a b c x x x x

a b c

 

       

Vì a a' 6hay 6 360

18 15 90

x x x

x

     

Vậy tổng số đất phân chia cho đội 360m3đất Câu

 2017 2019

2017 2018

)

2017 2019 2017 2019 2017 2019

x x

a C

x x x

  

 

   

     

Biểu thức Cđạt giá tri nhỏ x2017 2019có giá trị nhỏ Mà x2017 0nên x2017 20192019

Dấu " " xảy 2017 2018 2019

x  C

Vậy giá trị nhỏ C 2018

2019khi x2017

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

3 15 1

)

4 16

1 1 1 1

1 1 1 1

2 4

1 (1)

n n

b S

n n

n n

S n

    

         

 

                   

 

  

Nhận xét:

 

2 2

1 1 1 1

; ; ; ;

2 1.2 2.3 3.4 n  n1 n

 

2 2

1 1 1 1 1

1

2 n 1.2 2.3 3.4 n n n

            



   

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

2 4

2(2)

n n n

n n

S n

   

                   

   

  

 

   

  

0

1

1 1

1 1 1.1 1

x xy y

x y y

y x y

x y

  

   

    

       

1-x -1

1-y -1

X

y

Vậy      x y;  0;0 ; 2;2  Câu

a) MDB NEC g c g DM EN(cặp cạnh tương ứng)

MB NC

  (cặp cạnh tương ứng) b) Ta có:

MDI

 vng D:DMI MID900(tổng hai góc nhọn tam giác vuông) NEI

 vuông E:ENI NIE900(tổng hai góc nhọn tam giác vng) Mà MIDNIE(đối đỉnh) nên DMI ENI

H

O

I

N M

A

B

C

( )

MDI NEI g c g IM IN

      (cặp cạnh tương ứng)

Vậy BCcắt MNtại điểm Ilà trung điểm MN

c) Gọi Hlà chân đường vng góc kẻ từ Axuống BC

AHB AHC

   (cạnh huyền – cạnh góc vng)HABHAC(cặp góc tương ứng) Gọi Olà giao điểm AHvới đường thẳng vng góc với MNkẻ từ I

( )

OAB OAC c g c OBA OCA

     (cặp góc tương ứng) (1)

OC OB

  (cặp cạnh tương ứng) ( )

OIM OIN c g c OM ON

     (cặp cạnh tương ứng )

( )

OBM OCN c c c OBM OCN

     (cặp góc tương ứng ) (2)

Từ (1) (2) suy OCAOCN 90 ,0 OCAC Vậy điểm Ocố định

Câu

a) Điểm Athuộc đồ thị hàm số yaxnên tọa độ  2;1 Aphải thỏa mãn hàm số yax

Do đó, 2

a a

   Vậy hàm số cho công thức y  x

Hai điểm Avà B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ tung độ chúng tỉ lệ thuận với

0

0

1 2

2 4

y y

x x



   

 (tính chất dãy tỉ số nhau)

Vậy 0

2 y

x

  

b) Nếu x0 5thì 0 0 2,5

2

y  x  

Diện tích tam giác OBClà: Áp dụng cơng thức

S  a hta có

.5.2,5 6, 25

OBC

UBND HUYỆN NAM TRÀ MY

TRƯỜNG THCS TRÀ KA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018-2019 Mơn: TỐN

Phần I Trắc nghiệm (6,0 điểm) Chọn đáp án Câu Giá tri xtrong biểu thức  x12 0, 25là:

A 1;

4 B

1 ; 4

  C 9;

4 4 D

9 ; 4



Câu Cho góc xOy50 ,0 điểm Anằm Oy.Qua Avẽ tia Am.Để Amsong song với Oxthì số đo góc OAmlà:

A 50 B 130 C.50 130 D 80

Câu Cho hàm số y f x xác định với x1.Biết f n   n1  f n1và  1

f  Giá trị f  4 là:

A B C D

Câu Cho tam giác ABCvuông B, AB6,A30 Phân giác góc Ccắt ABtại D Khi độ dài đoạn thẳng BDvà ADlần lượt là:

A 2;4 B 3;3 C 4;2 D 1;5

Câu Cho a2m  4.Kết 2a6m 5là:

A 123 B 133 C 123 D 128

Câu Cho tam giác DEFcó EF.Tia phân giác góc Dcắt EF I Ta có:

A DIE DIF B DEDF IDE, IDF

C IEIF DI, EF D Cả A, B, C Câu Biết a b 9.Kết phép tính 0,a b 0,b a là:

A B C.0,5 D 1,5

Câu Cho ab2 6ab36.Giá trị lớn xa b là:

A B 6 C D

Câu Cho tam giác ABC,hai đường trung tuyến BM CN, Biết AC AB.Khi độ dài hai đoạn thẳng BM CNlà:

A BM CN B BM CN C BM CN D BM CN Câu 10 Điểm thuộc đồ thị hàm số y 2xlà:

A M 1; 2 B N 1;2 C P0; 2  D Q1;2

Câu 11 Biết lãi suất hàng năm tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm hàm số theo số tiền gửi i0,005p(trong ilà tiền lãi thu được, plà tiền gốc gửi vào) Nếu tiền gửi 175000 đồng tiền lãi là:

Câu 12 Cho tam giác ABCcân A A, 20 Trên cạnh ABlấy điểm Dsao cho

ADBC Số đo góc BDClà:

A 50 B 70 C 30 D 80 Phần II Tự luận (14,0 điểm)

Bài (3,0 điểm)

a) Chứng tỏ M 75 4 2018 42017  4 2  4 1 25chia hết cho 10 b) Cho tích a blà số phương  a b, 1.Chứng minh avà bđều số

chính phương Bài (4,0 điểm)

a) Cho đa thức A2 x x  3 x x. 73.x673 Tính giá trị Akhi x2 Tìm xđể A2019

b) Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp 7Atrồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7Bvà 7Ctrồng theo tỉ lệ 1,5 1, 2.Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7Atrồng số lớp 7Btrông 120

Bài (5,0 điểm)

1 Cho đoạn thẳng AB.Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng ABvẽ hai tia Ax By, vng góc với ABtại Avà B Gọi Olà trung điểm đoạn thẳng AB.Trên tia Axlấy điểm C tia Bylấy điểm Dsao cho góc COD 900

a) Chứng minh ACBDCD b) Chứng minh

2

4

AB

AC BD

2 Cho tam giác nhọn ABC,trực tâm H.Chứng minh rằng:

 

2

HAHBHC  AB ACBC Bài (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ ,A biết:

7 2000

ĐÁP ÁN I.Trắc nghiệm

1A 2C 3C 4A 5B 6D 7B 8A 9C 10D 11B 12C II TỰ LUẬN

Bài

a) Ta có M 25 4   2018 42017  4 2  4 1 25

 2019 2018   2018 2017 

2019 2018 2018 2018

25 4 4 25 4 4 25 25.4 25.4.4 100.4 10 10

            

   

Vậy M 102

b) Giả sử akhơng phải số phương, suy phân tích số ara thừa số ngun tố số achứa thừa số kmũ lẻ

Vì  a b, 1 nên bkhông chứa thừa số nguyên tố k

Do a bchứa thừa số nguyên tố kmũ lẻa b khơng phải số phương, trái với giả thiết nên giả sử sai

Vậy a blà số phương  a b, 1thì avà bđều số phương Bài

a) Ta có: A2x2 6xx2 7x3x2019x2 2x2019 +) Tính giá trị Akhi x4, thay x4vào A,ta được:

2 2.2 2019 2019

A   

+)Tìm xđể A2019

2

2019 2019 2019

2

x

A x x x x

x

 

         

 

b) Gọi a b c a b c, ,  , ,  *lần lượt số ,7 ,7A B Ctrồng Theo đề ta có: (1); 120 (2)

1,5 1,

b c

b a

  

  40

32,5% (3)

13 a a a     b c a b c

Vậy lớp trồng số 2400 Bài

1)

a) Gọi Elà giao điểm COvà BD

Ta có : OACOBE90 ;0 OA OB gt AOC ( ); BOE(đối đỉnh)

( ) AC BE

AOC BOE g c g

CO EO

 

     

 

B D

E O

A C

Ta có: OCOE cmt OAC( ); OBE90 ;0 ODlà cạnh chung  

DOC DOE c g c CD ED

     

Mà EDEBBDACBDCD ACBD

b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng BOEvà BODta có:

2 2

2 2 2

2 2

OE OB EB

OE OD OB EB DB

OD OB DB

  

     



 



Mà OE2 OD2 DE2;nên:

   

 

 

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

DE OB EB DB

OB EB DE DB DB DE BE

OB EB DE EB BD DB DE DB BE

OB EB DE DB DE BD BE

OB DE EB DB BD BE

OB DE BD BE

  

    

    

   

   

  

2

2OB 2BD BE BD BE OB

     , mà ;

2 AB BE AC OB

Vậy

2 2

( )

2

AB AB

AC BD   dfcm

 

2)

Qua Hkẻ đường thẳng song song với ABcắt ACtại DCH HD

E

D

H A

Đường thẳng song song với AC cắt ABtại EBH HE Ta có AHD HAE g c g( )ADHE AE, HD

Trong AHD có HAHD ADnên HA AEAD  1 Từ BH HE HBEvuông cân nên HBBE 2

Tương tự, ta có: HCDC (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: HAHBHC ABAC(4)

Tương tự : HAHBHC ABBC(5) HAHBHC ABBC (6)

Từ (4), (5) (6) suy 2 

3

HAHBHC  AB ACBC

Bài Ta có 7x5y 0; 2z3x 0và xyyzzx2000   0 A Suy giá trị nhỏ Alà Dấu " " xảy

7

2

2000

x y

z x

xy yz zx

 

 



    

Dùng phương pháp thế, từ tìm : 20, 28, 30

20, 28, 30

x y z

x y z

  



      



Vậy minA0.Dấu " " xảy 20, 28, 30

20, 28, 30

x y z

x y z

  



      

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN – NĂM HỌC 2017-2018 Câu (1,5 điểm)

a)

2 1

0, 0, 25

2014

9 11 :

7 2015

1, 0,875 0,7

9 11

M

     

 

  

     

 

b) Tìm x,biết : x2   x x2 2

Câu (2,5 điểm)

a) Cho a b c, , ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện:

a b c b c a c a b

c a b

       

Hãy tính giá trị biểu thức B b a c

a c b

   

      

   

b) Ba lớp ,7 ,7A B Ccùng mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho lớp tỉ lệ với : : sau chia theo tỉ lệ : 5: nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua

Câu (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2x 2 2x2013với xlà số nguyên b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  y z xyz

Câu (3,0 điểm) Cho xAy600có tia phân giác Az.Từ điểm Btrên Axkẻ BH vng góc với Aytại H, kẻ BK vng góc với Azvà Btsong song với Ay Bt, cắt Aztại C Từ C kẻ CM  Ay M Chứng minh:

a) K trung điểm AC b) KMClà tam giác

c) Cho BK 2cm,Tính cạnh AKM

Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương 0   a b c Chứng minh rằng:

1 1

a b c

ĐÁP ÁN Câu

a) Ta có:

2 1

0, 0, 25 2014

9 11 :

7 2015

1, 0,875 0,7

9 11

1 1

2 2 1 2 1

2014 11 2014

5 11 : :

7 7 7 2015 1 1 2015

7

5 11 10 11

M                                                                            

2 2014

:

7 2015

 

   

 

b) Vì x2   x 0nên  1 x2   x x2 2hay x x x         Câu

a) +Nếu a  b c

Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

1

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

c a b a b c

                 

 

Mà a b c b c a c a b a b b c c a

c a b c a b

                  

Vậy B b a c b a c a b c

a c b a c b

  

       

          

       

+Nếu a  b c

Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

0

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

c a b a b c

             

   

 

Mà a b c b c a c a b 1

c a b

     

      a b b c c a

c a b

  

   

Vậy B b a c b a c a b c

a c b a c b

  

       

          

b) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x(xlà số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp ,7 ,7A B Clúc đầu là: , ,a b c

Ta có: ; ; (1)

5 18 18 18 18 18

a b c a b c x x x x x

a b c

 

        

Số gói tăm sau chia cho lớp a b c', ', 'ta có:

' ' ' ' ' '

' ; ' ; ' (2)

4 15 15 15 15 15

a b c a b c x x x x

a b c

 

       

So sánh (1) (2) ta có aa b', b c', c'nên lớp 7C nhận nhiều lúc ban đầu Vậy 'c c 4hay 4 360

15 18 90

x x x

x

     

Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu

a) Ta có:

2 2 2013 2 2013 2 2013 2015

A x  x  x   x  x   x 

Dấu " " xảy 2 2013 2  2013 x  x     x Vậy MinA2015khi 2013,

2

x x

   

b) Vì , ,x y znguyên dương nên ta giả sử 1  x y z

Theo 1 1 12 12 12 32 x2 x

yz yx zx x x x x

          

Thay vào đầu ta có 1  y z yz y yz  1 z 1  1   1 1

y z z y z

         

1: 1 2

2 : 1

TH y y z z

TH y y z z

                 

Câu

a) ABCcân B CABACBMACvà BK đường cao BK

 đường trung tuyến Klà trung điểm AC b) ABH BAK(cạnh huyền – góc nhọn) BH  AKmà

1

2

AK  ACBH  AC

Ta có BH CM (tính chất đoạn chắn) mà CK BH  AC

CM CK MKC

    tam giác cân (1)

Mặt khác MCB900và ACB300MCK 60 (2)0 Từ (1) (2)  MKClà tam giác

c) Vì ABKvng K mà KAB300 AB2AK 2.24cm Vì ABKvng K nên theo định lý Pytago ta có:

2

16 12

AK  AB BK   

M C

K

H

A y

x

z B

Mà 12

KC  AC KC  AK  KCM

 KCKM  12

Theo câu b, ABBC4;AH BK 2;HM BC(HBCMlà hình chữ nhật)

AM AH HM

   

Câu

Vì 0   a b c 1nên:

   1

1 1 (1)

1

c c

a b ab a b

ab a b ab a b

          

   

Tương tự: (2) ; (3)

1

a a b b

bc bc ac  ac

Do đó: (4)

1 1

a b c a b c

bc ac  ab bc ac ab

Mà: a b c 2a 2b 2c 2a b c 2(5)

b c a c a b a b c a b c a b c a b c

 

      

          

Từ (4) (5) suy : 2 

1 1

a b c

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN NĂM 2018-2019

Bài (5 điểm)

a) Thực phép tính:

   

12 10

6 9 3

2

2 25 49 125.7 14

A   

 

b) Tính giá trị biểu thức: B1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 17.18.19    

c) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết tăng chữ số hàng trăm thêm nđơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục giảm chữ số hàng đơn vị n đơn vị số có chữ số gấp nlần số có chữ số ban đầu

Bài (3 điểm)

a) Tìm số , ,x y zbiết rằng: 3x4 ,5y y6zvà xyz30 b) Tìm xbiết: 1,6

2

x     Bài (3 điểm)

1) Cho hàm số y f x   m1x a) Tìm mbiết f  2  f   1

b) Cho m5.Tìm xbiết f 3 2 x20 2) Cho đơn thức 2

2

A  x yz , 2,

B  xy z C x y

Chứng minh đơn thức A B C, , nhận giá trị âm Bài (7 điểm) Cho ABCnhọn có góc A60 Phân giác ABCcắt ACtại D, phân giác ACBcắt ABtại E.BDcắt CEtại I

a) Tính số đo BIC

b) Trên cạnh BClấy điểm Fsao cho BF BE.Chứng minh CID CIF c) Trên cạnh IFlấy điểm M cho IM IBIC.Chứng minh BCM tam

giác Bài (2 điểm)

ĐÁP ÁN Bài              

12 10 12 12 10 10

6 12 12 9 3

2

12 10

12 3

2 25 49 3 7

)

2 3 7 125.7 14

2

2 10

2 3.4

)4 1.2.3.4 2.3.4

a A A b B                         

    4.5 6 2 17.18.19 20 16 

4 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 19.20 16.17.18.19 17.18.19.20 17.18.19.5 290709 B B B               

c) Gọi số có chữ số cần tìm abc a b c( , , số tự nhiên có chữ số a0) theo ta có: an b n c nn abc

       

100 a n 10 b n c n n 100a 10b c

        

     

  

100 100 10 10 100 10

100 10 1 89

1 100 10 89

a n b n c n an bn cn

n a n b n c n

n a b c n

        

      

    

 

89n n

  mà 89;n 1 1nên n n 1, tìm n2 Vậy số cần tìm 178

Bài

3

) ; ; ;

4

1

30 30 240 30

2

4, 3,

x y y z x y z

a k x k y k z k

xyz k k k k k

x y z

         

      

   

1 3

) 1,6

2 5

3

1 1 4

1

1

2 4

4

b x x

Bài

1a) Vì f  2  f    1 m2 2 m1    1 2m m m

      

1b) Với m5ta có hàm số y f x( )4x

Vì f 3 2 x204 2  x2012 8 x20  x

2) Giả sử đơn thức A B C, , có giá trị âm A B C có giá trị âm (1) Mặt khác

8 A B C  x y z

Vì , , (2)

8x y z  x y ABC x y

Ta thấy  1 mâu thuẫn với  2 điều giả sử sai Vậy ba đơn thức A B C, , giá trị âm Bài

a) BDlà phân giác ABCnên 1 2

2 ABC B B 

2 1

43 2 1

N F I E

A

B

D

C

CE phân giac ACBnên 1 2

2 ACB C C 

Mà tam giác ABCcó A  B C 1800600 ABCACB1800

0 0

2

120 60 120

ABC ACB B C BIC

       

b) BIE BIF c g c( )BIEBIF

0 0

120 60 60

BIC  BIE BIEBIF  Mà BIEBIFCIF 1800CIF 600

0 60

CIDBIE (đối đỉnh)CIF CID600  CID CIF g c g( ) c) Trên đoạn IM lấy điểm Nsao cho IBINNM IC

BIN

  đềuBN BIvà BNM 1200  BNM  BIC c g c( )

BM BC

  B2 B4 BCM Bài

Đặt

2.2 3.2 4.2 2n

S     n

   

 

3

1 3

2 2.2 3.2 4.2 .2 2.2 3.2 4.2

.2 2 2

n n

n n n

S S S n n

S n



 

           

      

Đặt

2 2n n

T       Tính T 2T  T 2n123

 

1 3

.2n 2n 2n

S n   n 

      

  11 10

1 2n 2n 1025

PHÒNG GD&DDT HIỆP HÒA TRƯỜNG THCS ĐỨC THẮNG

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017

Môn : Toán – Lớp Bài (2,0 điểm)

a) Tìm ,x ybiết 4

7

x y

 

 x y 22

b) Cho x  y

và

5 y  z

Tính

3

x y z

M

x y z

 



 

Bài (2,0 điểm)

a) Cho H 220102200922008 1.  Tính 2010H b) Thực tính

       

1 1

1 2 3 16

2 16

M                

Bài (2,5 điểm) Tìm xbiết:

a) .30 31 4 10 62 64

x



b)

5 5 5 5 5

5 5 5

4 4 6 6 6

3 3 2

x

        

  

c) 4x   3 x Bài (3,5 điểm)

Cho tam giác ABCcó B2 C Kẻ đường cao AH.Trên tia đối tia BAlấy điểm Esao cho BEBH.Đường thẳng HEcắt ACtại D

a) Chứng minh BEH  ACB b) Chứng minh DH DCDA

ĐÁP ÁN Bài

   

) 28 28

4 7

22

2 8, 14

4 11

) ; (1)

3 15 20 20 24 15 20 24

2 4

1

30 60 96 30 60 96

3 5

1

45 80 120 45 80 120

2 4

:

30 60 96 45 80 120

a x y

x y x y

x y

x y

x y x y y z y z x y z

b

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z x

   

   



      

        

 

   

 

 

   

 

   

 

   

3 : 45

2 245 186

186 5 245

x

x y z x y z

M

x y z x y z

   

    

   

Bài a) Ta có:

2011 2010 2009

2011 2010 2010 2009 2009 2 2011 2010

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2.2 1

2010H 2010

H

H H

H

     

           

   

 

1 2.3 3.4 4.5 16.17

)

2 16

2 17

17

2 2 2

1 17.18

76

2

b M      

           

 

   

 

Bài

6

30

36

1 30 31

)

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 1.2.3 30.31

2 1.2.3.4 30.31.2

1

2 18

2

x x

x

a

x

 

   

5 6

3

5 6

6

3

3 12

4.4 6.6

)

3.3 2.2

4.6

2

3.2

2

x

x

x x

x

b

x

  

 

    

 

   

c) 4 3 1  11( )

4

x    x  x    x tm

 

3

1 1( )

4 x x x x ktm

         

 

1 1( )

Bài

a) BEHcân B nên EH1ABC  E H1 2E

ABC C BEH ACB

   

b) Chứng tỏ DHCcân D nên DCDH DAH

 có: DAH 900C DHA; 900 H2 900C DAH

  cân D nên DADH c) ABB'cân A nên 'B  B 2C

Mà B'A1Cnên 2C A1C  C A1 AB C' cân B' d) AB AB'CB'; BEBH B H'

Có: AE ABBE HC; CB'B H' AEHC 1

2 1

E

B' H

A

B

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

Mơn: Tốn Bài Tính

2 3

2

2010 2009

0 2

2

3

) :

5 4

4

) :

11 25 22

a A

b B

     

      

     

     

      

 

   

 

Bài Tìm xbiết: 1

)1 :

5

a  x  b) 2x  1 x Bài

a) Tìm a b c, , biết 3a2 ,4b b5cvà     a b c 52 b) Tính giá trị biểu thức

2

2

2

x x

C

x

 





3 x

Bài

Bốn ngựa ăn hết xe cỏ ngày, Dê ăn hết xe cỏ ngày, hai cừu 24 ngày ăn hết xe cỏ Hỏi ba (Ngựa, Dê Cừu) ăn hết hai xe cỏ ngày ?

Bài Cho tam giác ABC AB  AC M, trung điểm BC.Đường thẳng vng góc với tia phân giác Atại M cắt cạnh AB AC, Evà F Chứng minh:

a) EH HF

b) 2BME ACBB c)

2

2

4

FE

AH AE

 

ĐÁP ÁN Bài

3 3

2

2009 2010 8

2

9 1 35

) : 27

4 4 2

4

) 1

11 11 2

a A

b



     

             

     

 

 

       

   

Bài

1 26

) : :

5 5 26

a x    x    x

b)…  2x  1 x

*)Với 2x 1 0, từ (1) ta có: 2x    1 x x 5(tm) *)Với 2x  1  1 ta có: 2 x    x x 1(tm) Vậy x5,x 1

Bài

a) Từ

2 10 15

a b a b

a b   

Từ

5 15 12

b c b c

b c    52

4 10 15 12 12 10 15 13

a b c c a b 

     

b)

2

2

3

2

3 2 15

3

2

2

2

2 3 3

2

3 2

0

2

2

2

x C

x

x C

    

   

     

    

  

 

  

  

    

 

    

   

     

 

 

 

  



Bài

Vì bốn ngựa ăn hết xe cỏ ngày, ngựa ăn hết xe cỏ ngày

Một dê ăn hết xe cỏ ngày Hai cừu ăn hết hai xe cỏ 24 ngày nên cừu ăn hết xe cỏ 12 ngày

Trong ngày: Một ngựa ăn hết

4(xe cỏ), dê ăn hết

6(xe cỏ), cừu ăn hết

12(xe cỏ) Cả ba ăn hết: 1 1

4 6 12  2(xe cỏ)

Bài

a) Chứng minh AEH  AFH g c g( )EH HF dfcm( ) b) Từ AEH  AFH E1 F

Xét CMFcó ACBlà góc ngồi suy CMF  ACBF BME

 có E1là góc ngồi suy BME E1B

Vậy CMF BME ACBF(E1B)hay 2BME  ACBB dfcm( ) c) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng AFH:ta có:

2 2

HF HA  AF hay

2

( )

4

FE

AH AE dfcm

 

d) AHE AHF g  c g  AE AFE1F, từ C vẽ CD/ /AB D EF Chứng minh BME CMD g(  c g)BECD (1)

Và có E1CDF(cặp góc đồng vị) CDF   F CDFcân CF CD(2) Từ (1) (2) suy BECF

1

D H

F E

M B

C

PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017

Mơn: TỐN Bài (4 điểm) Tính :

   

 

12 10

6 9 3

2

3

2011

2

2 25 49 )

125.7 14

2

3 ) 12 a A b B                                

Bài (4 điểm) Tìm , ,x y zbiết: a) Tìm , ,x y zbiết 3;5

2 x

x z

y   x2y z 32

b) y z x z x y

x y z x y z

        

 

Bài (4 điểm)

a) Cho 42 15 x M x  

 Tìm số nguyên xđể M đạt giá trị nhỏ

b) Tìm xsao cho:

4

1

17

2

x x

            

Bài (6 điểm) Cho Ozlà tia phân giác xOy60 Từ điểm B tia Ox vẽ đường thẳng song song với tia Oycắt Oztại điểm C Kẻ BH Oy;

;

CM Oy BK Oz H M, Oy K; Oz.MC cắt Oxtại P Chứng minh: a) K trung điểm OC

b) KMClà tam giác c) OPOC

Bài (2 điểm)

a) Chứng minh : 3a2 17b 10ab17a b,  

b) Cho hàm số f x xác định với x Biết với xta có:

 

3

f x f x

x

    

ĐÁP ÁN Bài Thực bước điểm tối đa

7 72

2

A B

Bài

) 84, 56, 60

1 5

) ; ;

2 6

a x y z

b x y z

  



  

Bài

a) Ta thấy 42 27

15 15

x F

x x



   

  đạt GTNN

27 15 x



 nhỏ

Xét x150thì 27 15 x  Xét x150thì 27

15

x  Vậy 27

15

x đạt giá trị nhỏ x150 Phân số 27

15

x có tử dương mẫu âm Khi 27

15

x nhỏ x15là số nguyên âm lớn hay

15 14

x    x

Vậy Fmin    28 x 14

4

4

1 1 1 1

) 17 17

2 17 2 2 16

17 1

17 16 2

16 2

x x x x x

x x

x

b

x 



                

             

             

   

           

Bài

a) ABCcó O1O2(Oz tia phân giác xOy O); 1 C Oy1( / /BC,so le

O C OBC

    cân BBOBC,mà BK OCtại K

KC KO

  (hai đường xiên nên hai hình chiếu nhau) Hay Klà trung điểm OC

b) Học sinh lập luận để chứng minh KMC cân

Mặt khác OMCcó M 90 ;0 O300 MKC900 300 600  AMCđều

c) OMCvuông MMCOnhọn OCPtù (hai góc MCO OCP; bù nhau) Xét OCPcó OCPtù nên OPOC

Bài

a) *3a2 17b 10ab17

Ta có: 3a2 17b

     

 

9 17 27 18 17 17 17 10 17

10 17

a b a b a b a b

a b

       

 

*10ab173a2 17b

1

1 2

1

K M

H

C

O x

y

B

Ta có: 10ab 172 10 ab17

20a2 17b 17a3a2 17b 3a2 17b

SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN

KỲ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII NĂM HỌC 2016-2017

Mơn: Tốn

Bài (1,5 điểm) Tìm số xyzbiết

2 2

4 25

x  y  z

, x  y z

Bài (1 điểm) Biết

2

2 2

25; 9; 16

3

b b

a ab  c   a acc 

Và a0,c0,a c.Chứng minh rằng: 2c b c

a a c

 



Bài (2, điểm)

a) Tìm giá trị mđể đa thức sau đa thức bậc theo biến x

     

25 20

f x  m  x   m x  x 

b) Tìm giá trị nhỏ đa thức g x 16x4 72x2 90

Bài 4.(2 điểm) Tìm số chia số dư biết số bị chia 112 thương Bài (3 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, ABACBC.Các tia phân giác góc A góc Ccắt O Gọi F hình chiếu O BC; H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FCsao cho FI  AH.Gọi K giao điểm

FH AI

ĐÁP ÁN Bài

2 2

4 25

x y z

  , , ,

2

x y z

x y z x   

1

2 5

x y z x y z

     

 

2; 3;

x y z

    Vậy xyz235

Bài Ta có:

2

2 2

3

b b

c  a acc a ab (vì 16 25) Suy 2c2 a b c 2c b ca 0,b 0

a c



     

 

2

,

c b c c b c b c

a c a c

a c a c a c

   

       

 

Bài

a) f x m2 25x4 204m x 37x29là đa thức bậc biến xkhi :

2 5

25

5

20

m m

m m

m

 

     

   

  



Vậy m5thì f x là đa thức bậc biến x

b) g x 16x472x2 90 4x2 22.4 9x2   9 4x2 92 9

Với giá trị xta có:

 2 2    2 2

4x 9  0 g x  4x 9  9

2 ( )

3

9

2 g x

Min   x     x Bài

Gọi số chia avà số dư r a r ,  *;ar Ta có: 1125a r 5a112 a 22 (1)

Lập bảng số

a 19 20 21 22

112

r  a 17 12

Bài

a) Chứng minh CHO CFO ch( gn) Suy CH CF FCHcân C

- Vẽ IG/ /AC G FH, chứng minh FIGcân I - Suy AH IGvà IGK  AHK

- Chứng minh AHK  IGK g c g( ) - Suy AKKI

b) Vẽ OEABtại E tương tự câu a ta có AEH,BEFthứ tự cân ,A B Suy : BEBFvà AE AH

BABEEABF AH BF FI BI ABIcân B

Mà BOlà phân giác B, BK đường trung tuyến ABInên , ,B O Klà ba điểm thẳng hàng

E

G K

H

F O A

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016

Bài (3 điểm) Tính 181 0,06 : 71 0,382 : 19 42

6

      

   

    

 

Bài (4 điểm) Cho a c

c b Chứng minh rằng:

2 2

2 2

)a c a )b a b a

a b

b c b a c a

  

 

 

Bài (4 điểm) Tìm xbiết:

1 15

) )

5 12

a x    b  x  x

Bài (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc / ,m s cạnh thứ ba với vận tốc 4m s/ , vạnh thứ tư với vận tốc / m s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động cạnh 59 giây

Bài (4 điểm) Cho tam giác ABCcân A có

20 ,

A vẽ tam giác DBC(D nằm tam giác ABC).Tia phân giác góc ABDcắt ACtại M Chứng minh:

a) Tia ADlà phân giác BAC b) AM BC

ĐÁP ÁN Bài

1 2

18 0,06 : 0,38 : 19

6

109 15 17 38 19

: : 19

6 100 100

109 17 19 38

: 19

6 50 15 50

109 323 19

:

6 250 250

109 13 10                                                                        

3 506 253

19  30 19  95 Bài

a) Từ a c c2 ab

c  b 

 

 

2 2

2 2

a a b

a c a ab a

b c b ab b a b b



    

  

b) Theo câu a ta có:

2 2

2 2

a c a b c b

b c b a c a

    

 

từ

2 2

2 2 1

b c b b c b

a c a a c a

      

  hay

2 2

2

b c a c b a

a c a

    



Vậy

2 2

b a b a

a c a

  



Bài

a) 2

5 5

x           x x

b) 15 6 12x 5x 5x 4x

       

6 13 49 13 130

5 x 14 20x 14 x 343

       

 

 

Bài

Cùng đoạn đường, vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Gọi , ,x y zlà thời gian chuyển động với vận tốc / ,4 / ,3 /m s m s m s Ta có: 5x4y3zvà x   x y z 59

Hay 59 60

1 1 1 1 59

5 5 60

x  y  z x  x y z  

  

Do đó: 60.1 12; 60.1 15; 60.1 20

5

x  x  x 

Bài

a) Chứng minh ADB ADC c c c( )DABDAC, DAB20 : 100  b) ABCcân A, mà A20 ( )0 gt nên ABC 1800 20 : 800 

ABC

 nên

60

DBC , tia BDnằm hai tia BAvà BCsuy

0 0

80 60 20

ABD   Tia BM phân giác ABDnên ABM 100

Xét ABMvà BADcó: AB cạnh chung, BAM ABD20 ;0 ABM DAB100

Vậy ABM  BAD g c g( )AM BD, mà BDBC gt( )AM BC Bài

Ta có: 8x20092 25y2 8x20092  y2 25(*)

Vì    

 

2 2

2

2

2009 17( )

25

0 2009

8 2009 0 25 5

x y ktm

y x

y y

x

    



      

      



Vậy   x y;  2009;5 M D

C A

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: TỐN

Năm học 2015-2016 Bài (6 điểm) Thực phép tính:

3

) :

4

a   

 

b)

1 1

45 1

19

  

     

 

    

     

 

c)

15 20 10 19 29 5.4 4.3 5.2 7.2 27

 

Bài (6 điểm)

a) Tìm x,biết: 2x 1 3 2x2 4 2x 3 16 b) Tìm x,biết: : 21 21

2 x  22 c) Tìm , ,x y zbiết:

5 15

xy  y z

và x z 2y Bài (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c

b  d Chứng minh rằng: a2c b d  ac b 2d

Bài (4,5 điểm)

Cho tam giác ABCvuông A; K trung điểm BC.Trên tia đối tia KA lấy D, cho KDKA

a) Chứng minh : CD/ /AB

b) Gọi Hlà trung điểm AC BH; cắt ADtại M, DH cắt BCtại N Chứng minh ABH  CDH

c) Chứng minh HMNcân Bài (2 điểm)

ĐÁP ÁN Bài

1 1

15 20 2.15 2.9 20 3.9 10 19 29 10

3 9 27

) : : :

4 4 4 4

45 1 45 45 26 19

)

1

19 19 19 19 19

1

2 4

3 5.4 4.3 5.2 3 )

5.2 7.2 27 5.2 a b c                                                            

29 18 19 19 29 3.6 29 18

2 5.2 10 9 1 7.2 3 5.3 15

 

  

  

Bài

)2 6 12 16

12 20 16 12 36

a x x x

x x x

     

         

b) Nếu x

 

1 21 21

3 : : ( )

2 x  22  x  22 x tm Nếu

2

x , ta có:

 

1 21 21

3 : : ( )

2 x  22 2  x  22  x tm Vậy

3

x x   c) Từ x z 2yta có:

2

2 2

x y z x y z

x y y z x y y z

      

        

Vậy

5 15

xy  y z

thì 2x y 3y2z0 15  

Từ

2 x   y x y

Từ 3y2z0 &x z 2y   x z y 2z0hay y  y z

Hay

2y z hay

2

3

Vậy giá trị cần tìm ; ,

3

x z y z z

    

 

 hoặc

1

, ,

2

x y y z y

    

 

 

hoặc x ,y2 ,x z3x Bài

Ta có: a2c b d  ac b 2d

2 2

ab ad cb cd ab ad cb cd

a c

cb ad

b d

      

   

Bài

a) Xét tam giác ABKvà DCKcó:

, ( ); ( )

BK CK BKA CKD dd AK DK gt ( )

ABK DCK c g c DCK DBK

     

Mà ABC ACB900 ACD ACBBCD900

 

0

90 / / ,

ACD BAC AB CD AB AC CD AC

     

b) Xét tam giác vuông ABHvà CDHcó:

 ; ( )

BA CD do ABK  DCK AH CH gt  ABH  CDH c g c( ) c) Xét tam giác vng: ABCvà CDAcó:

N M

H

D K

B

A

0

; 90 ;

ABCD ACD BAC ACcạnh chung

( )

ABC CDA c g c ACB CAD

     

Mà AH CH gt( )và MHANHCABH  CDH AMH  CNH g c g( )

MH NH

  Vậy HMNcân H Bài

.1001 91.11 11

PHÒNG GD-ĐT ĐƯC THỌ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MƠN TỐN LỚP

Thời gian làm bài: 120 phút Câu Tìm giá tri nnguyên dương

1

) 81 27

n n

a  b) 82n 64

Câu Thực phép tính:

1 1 49

8 8.15 15.22 43.50 217

    

     

 

 

Câu Tìm cặp số  x y; biết: )

5 x y

a  xy405

1

)

24

y y y

b

x x

    

Câu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau:

) 5

a A  x

2

17 )

7 x b B

x

 



Câu Cho tam giác ABC CA CB(  ),trên BClấy điểm M Nsao cho BM MN NC Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với ABcắt AN I

a) Chứng minh Ilà trung điểm AN

ĐÁP ÁN Câu

4

3

1

) 81 3

27

)8 64 2 4,

n n n n

n n

a n n n

b n n

                 Câu    

1 1 49

1.8 8.15 15.22 43.50 217

5 49

1 1 1 1

7 8 15 15 22 43 50 217

5 12.50 25

1 1 49 625 7.7.2.2.5.31

7 50 217 50 7.31 7.2.5.5.7.31

                                                   Câu ) x y

a  xy405

2

405 25 81 5.9 45

x y xy

    

2

2

9.25 15 15

9.81 27 27

x x

y y

     

     

Do ,x ycùng dấu nên x15,y27 &x 15,y 27 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

1 9 7

24 2 7 24 24

2

5 24

5 24

y y y y y y y y y

x x x x x x x

y y

x x x

x x

              

   

       

 

Thay x2vào ta được:

1 5

5 25 24 49

24 49

y y

y y y y y

           



Vậy 2,

49

Câu

a) Ta có: x 5 Dấu " " xảy     x A Vậy MinA   5 x

b)

2

2 2

17 10 10

1

7 7

x x

B

x x x

  

   

  

Ta có: x2 0, Dấu " " xảy   x x2  7

2

10 10 10 10 17

1

7 7 B

x x

       

  , dấu " " xảy  x

Vậy 17

7

MaxB  x Câu

a) Từ I kẻ đường thẳng //BC cắt AB H Nối MH

Ta có: BHM  IMHvì: BHM IMH BMH; IHM slt HM( ); chung

BM IH MN

  

AHI IMN

   vì: IH MN cmt AHI( ); IMNABC;AIH INM (đồng vị)

P

F

E

K

I A

B

C M

( ) AI IN dfcm

 

b) Từ A kẻ đường thẳng song song với BCcắt EFtại P PKA FKB vì:

PKAFKB(đối đỉnh); APK BFK(so le trong); AK KBAPBF(1) EPAKFC(đồng vị); CEF KFC(CFEcân)

EPA CEF APE

Phòng GD & ĐT Thăng Bình ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018-2019 - Mơn: Tốn

Thời gian: 90 phút

Đề thi có 02 trang

-*** I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm)

Câu 1: Giá trị x biểu thức ( x - )2 = 0,25 là: A 1;

4 B

1 ; 4

  C.9;

4 4 D

; 4  Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm Oy Qua A vẽ tia Am Để Am song song với Ox số đo góc OAm là:

A 500 B 1300 C 500 1300 D 800

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với x > Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) f(1) = Giá trị f(4) là:

A B C D

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông B, AB = , Â = 300 Phân giác góc C cắt AB D Khi độ dài đoạn thẳng BD AD là:

A.2; B 3; C 4; D 1;

Câu 5: Cho a2m = - Kết 2a6m - là:

A -123 B -133 C 123 D -128

Câu 6: Cho tam giác DEF có  E = F Tia phân giác góc D cắt EF I Ta có:

A ∆ DIE = ∆ DIF B DE = DF ,  IDE = IDF C IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C

Câu 7: Biết a + b = Kết phép tính 0, ( ) 0, ( )a b  b a là:

A B C, 0,5 D 1,5

Câu 8: Cho (a - b)2 + 6a.b = 36 Giá trị lớn x = a.b là:

A B - C D

Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN Biết AC > AB Khi độ dài hai đoạn thẳng BM CN là:

A BM ≤ CN B BM > CN C BM < CN D BM = CN Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x :

A M ( - 1; -2 ) B N ( 1; ) C P ( ; -2 ) D Q ( -1; ) Câu 11: Biết lãi suất hàng năm tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p Nếu tiền gửi 175000 tiền lãi là:

A 8850 đ B 8750 đ C 7850 đ D.7750 đ

Câu 12: Cho tam giác ABC cân A, Â = 20 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Số đo góc BDC là:

A 500 B 700 C 300 D 800

II Phần tự luận (14 điểm)

Câu 1.(3 điểm)

A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017

+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 B, Cho tích a.b số phương (a,b) = Chứng minh a b số phương

Câu 2.(4 điểm)

2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) Tính giá trị A x = Tìm x để A = 2015

2.2 Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp 7A trồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7A trồng số lớp 7B trồng 120

Câu 3.(5 điểm)

1 Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ hai tia Ax By vng góc với AB A B Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm C tia By lấy điểm D cho góc COD 900

a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD

b) Chứng minh rằng: AB AC BD

2 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh rằng: HA + HB + HC < 2( )

3 ABACBC

Câu 4.(2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ A, biết :

A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000|

- Hết -

ĐỀ CHÍNH THỨC

Phòng GD & ĐT Lâm Thao ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016 – 2017 - Mơn: Tốn

Thời gian: 90 phút

Đề thi có 02 trang

-*** I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm)

Câu 10 11 12

Đ án

A C C A B D B A C D B C

II Phần tự luận (14 điểm)

Câu Nội dung Điểm

1(4 điểm)

M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25

= 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.42018 – 25 + 25

= 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100 Vậy M 102

B, Đặt a.b = c2

(1)

Gọi (a,c) = d nên a d, c d

Hay a = m.d c = n.d với (m,n) = Thay vào (1) ta m.d.b = n2

d2

=> m.b = n2 d => b n2 (a,b) = 1= (b,d) Và n2 b => b = n2

Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 2(4

điểm)

1 Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 = x2 – 4x + 2015

A, Với x = ta A = 2015

B, A = 2015 => x2 – 4x = => x(x - 4) =  x x

   



2 Gọi số ba lớp trồng a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề ta có b : c = 1,5: 1,2 b – a = 120

a = 32,5%( a + b + c)

3(5 điểm)

A, Vẽ tia CO cắt tia đối tia By điểm E

Chứng minh AOC BOE g  c gACBE CO; EO Chứng minh DOCDOE c   g c CDED

Mà EDEBBDACBD Từ : CDACBD (đpcm)

B, Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng BOE BOD ta có:

2 2

2 2 2

2 2

OE OB EB

OE OD OB EB DB OD OB DB

  

     



 



Mà 2 ; OE OD DE Nên

 

 

2 2

2 2

2

( )

DE OB EB DB

OB EB DE BD DB DE BE OB EB DE EB BD DB DE DB BE OB EB DE DB DE BD BE

                   2

2

OB DE EB DB BD BE OB DE BD BE

   

  

Suy 2

2OB 2BD BE  0 BD BE OB

Mà ;

2 AB BE AC OB Vậy

2 2

2

AB AB AC BD  

  (đpcm)

2

Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB E

Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g)

 AD = HE; AE = HD

Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) Từ HE  BH

ΔHBE vuông nên HB < BE (2) Tương tự ta có HC < DC (3)

Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) HA + HB + HC < BC + AC (6) Từ suy HA + HB + HC < 2( )

3 ABACBC đpcm

4(2 điểm)

Ta có |7x – 5y|  0; |2z – 3x| | xy + yz + zx - 2000|  Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000|

Mà A =

|7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = Có: |7x – 5y| =  7x = 5y 

5 x  y

|2z – 3x| = 

2 x z



|xy + yz + zx - 2000| =  xy + yz + zx = 2000 Từ tìm 20; 28; 30

20; 28; 30

x y z

x y z

  



      



A  0, mà A =  (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA =  (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30)

TRƯỜNG THCS GIAO TÂN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017

Mơn: TỐN Bài (4 điểm)

1 Rút gọn 1 1 1

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

A      

2 Tìm số tự nhiên nthỏa mãn điều kiện:

 

2 34

2.2 3.2 4.2   n1 2n n.2n 2n

Bài (5 điểm)

1 Tìm số , ,x y zbiết:

2 2

2 2

2 4 6 2

xy yz zx x y z

y x z y z x

 

  

    

2 Chứng minh khơng thể tìm số ngun , ,x y zthỏa mãn : 2017

x     y y z z x Bài (3 điểm)

Chứng minh rằng: 222 23 2425  2 99 2100chia hết cho 31 Bài (3 điểm)

Tìm giá trị lớn biểu thức: P2x5y 2  15y6x2 xy90 Bài (5 điểm)

Cho ABC có góc nhọn, ABACBC.Các tia phân giác góc Avà góc C cắt O Gọi Flà hình chiếu Otrên BC; Hlà hình chiếu O AC.Lấy điểm Itrên đoạn FCsao cho FI  AH.Gọi Klà giao điểm FH AI

a) Chứng minh FCHcân b) Chứng minh AKKI

ĐÁP ÁN Bài

1 1 1

1.1)

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

1 1 1

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

1 1 1

100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100

1 1 1 1 1

1

100 2 97 98 98 99 99 100

A A A A                                              

1 49

1

100 100 50

A           

1.2) 2.22 3.234.24  n1 2 n1n.2n 2n34(1)

Đặt                

2

2

3

3

2

3

2.2 3.2 4.2 2

2 2.2 3.2 4.2 2

2 2.2 3.2 4.2 2

2 2.2 3.2 4.2 2

2.2 3.2 4.2 2

2 n n n n n n n n n n

B n n

B n n

B n n

B B n n

n n B                                                

5

3

2 2 2.2

2 2 2

n n n n n n              

Đặt  

   

3

3 5

4

1

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 n n n n n n C C C C C                                

Khi  3

2n 2n

B    n  

 

1 3 1

2n n.2n 2n n.2n n 2n

         

 

 

34

1 33 33 33

2

2 2

n n

n

n

n n n

 



  

          

 

Vậy n2331 Bài

1 Xét x  0 y 0,z 0 2y4z0(vô lý) Suy x0;y0;z0

Khi từ đề suy :

2 2

2 2

2y 4x 4z 6y 6x 2z

xy yz zx x y z

       

 

2 2

2 2

2 4 6 2

2

x y y z z x x y z x

 

       

 

Đặt 1k 0 x   y z k 

2 2

2 2

2

x y z k

  

 

Suy : x2 ;k y4 ;k z6kvà x2 y2 z2 28 (3)k Thay x2 ,k y4 ,k z6kvào (3) ta được:

     2 2

2 28

0( )

56 28 1

( )

k k k k

k ktm k k k tm             

Với 1; 2;

2

k   x y z  Vậy x1,y2,z3

2.2 Ta có: x       y y z z x x y x y  y z y   z z x zx Với số nguyên xta lại có

0 x x x x x       

Suy x  xluôn số chẵn với số nguyên x

Từ ta có:

 

 

 

x y x y

y z y z

z x z x

             

Suy x y x y  y z y   z z x zxlà số chẵn với số nguyên , ,x y z

Hay x    y y z z xlà số chẵn với số nguyên , ,x y z Do đó, khơng thể tìm số ngun , ,x y zthỏa mãn:

x    y y z z x=2017 Bài

Đặt 99 100

2 2 2 2

D        (có 100 số hạng)

 5  10

2 2 2 2 2

          

 96 97 98 99 100

2 2 2

     (có 20 nhóm)

 4 6 4 96 4

6 96

2 2 2 2 2 2 2 2.31 31 31

D D

               

   

 96

31 2

D    chia hết cho 31

Vậy D 2 22 23 2425 2 992100chia hết cho 31 Bài

Ta có: P2x5y 2  15y6x2 xy90

   

   

 

2

2

2

2 15 90

2 90

8 90

x y x y xy

x y x y xy

x y xy

     

     

 

     

Ta thấy 2x5y2 0với ,x ynên 2 x5y2 0với ,x y 90

xy  với ,x y

Khi 2 x5y2  xy90 0với ,x y Suy 8 2 x5y2  xy900với ,x y Hạy P0với ,x y

Dấu " " xảy  

2

5

90 90

x y

x y

xy xy



   

 

 

 

 

Đặt x y

k

  ta x5 ,k y2k

Mà xy90nên 90 3

k

k k k

k

 

    

  

Nếu k   3 x 15,y6 Nếu k     3 x 15,y 6

Vậy 15;

15;

x y

MaxP

x y

 



      



Bài

a) Chứng minh

Ta có CHOCFO90 (0 OH  AC OF, BC)

Xét CHO vuông CFOvng có: OCchung; HCOFCO OC( phân giác )C Vậy CHO CFO(cạnh huyền – góc nhọn)

CH CF

  (hai cạnh tương ứng) Vậy FCH cân C b) Qua Ivẽ IG/ /AC G FH

E

G K

I H

F O A

Ta có FCHcân C (cmt)CHFCFH(1) Mà CHF FGI(đồng vị, IG/ /AC) (2)

Từ (1) (2) CFH FGI hay IFGIGF, Vậy IFGcân I FI GI

  , mặt khác : FI  AHnên GI AH(FI)

Ta lại có : IGK  AHK HAK; GIK(so le , IG/ /AC)

Xét AHKvà IGKcó: IGK  AHK cmt GI( );  AH cmt HAK( ); GIK cmt( )

( ) ( )

AHK IGK gcg AK KI dfcm

     

c) Vẽ OEAB E, Chứng minh BO tia phân giác ABC (*) Chứng minh ABBI

Chứng minh được: ABK  IBC c c c( )ABK IBK Từ suy BK lầ tia phân giác ABC **

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP

ĐỀ THI VÒNG NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: TỐN

Thời gian: 120 phút(không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

Câu (4 điểm)

a) Thực phép tính:    

12 10

6 9 3

2

2 25 49

A

125.7 14

 

 

 

b) Tính 100 99 98 2 2 2 S     

c) Chứng tỏ: 22 33 20192019 0, 75 33 3   

Câu (4 điểm)

a) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn : a+b+c Hãy tính giá trị biểu thức:

b)Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua

d) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5 Tính 2017 2018 2019 2017 2018 2019

x y z

P

x y z

 



 

Câu 3: (4 điểm)

a) Tìm x, y, z biết: 5z 6x 4z 5x

4

y y

    

3x – 2y + 5z = 96 b) Chứng minh rằng: 3x+1

+ 3x+2 + 3x+3 +……+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) Câu (6 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AB Gọi P,Q trung điểm AD, BC, I giao điểm đường vng góc với AD BC P Q

a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC

b) Chứng minh AI tia phân giác góc BAC c) Kẻ IE vng góc với AB, chứng minh AD

2

AE

Câu 5. (2 điểm) Cho biết xyz=1 Tính giá trị A =

1 1

x y z

xy x  yz y  xz z - b b a c a a c b c c b

a  

                             b c c a a b

B 1

Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - SBD:

PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP

NĂM HỌC 2018– 2019 Môn thi : Toán

Câu Phần Nội dung Điểm

Câu (4 điểm) a 2đ             10

12 10

6 9 3

2

12 12 10

12 12 9 3

12 10

12 3

10 12

12

2 25 49

125.7 14

2 3 7

2 3 7

5

2 10

2

A   

                     0,5 0,5 b 2đ

S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2015 -3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2015] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2016]

-3S – S = [(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2016]-(3)0-(-3)1- -(-3)2015 -4S = (-3)2016 -1

S =

2016

( 3)

 

 =

2016 2016

3 1

4     0.5 0.5 0.5 0.5 Câu ( điểm )

a 2đ

+Vì a+b+c

Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có:

= =

mà =

=> =2

Vậy B = =8

0.5 0.5 0.5 0.5  b b a c a a c b c c b

a  

    

 a b c b c a c a b

a b c

         

1 1

a b c b c a c a b

c a b

          

a b b c c a

c a b

    

1 b a c (b a)(c a)(b c)

a c b a c b

  

      

   

b 2đ

Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên

khác 0)

Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c

Ta có: (1)

Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có:

(2)

So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu

Vây: c’ – c = hay

Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói

1 0,5 0.5 Câu (4 điểm) a 2đ

Từ 5z 6x 4z 5x

4

y y

    

=>20z 24 30x 20z 24 30x

16 25 36

y y

    

=>10z = 12y = 15x =>

4

x y z

  =>3 12 10 30

x y z

  3x – 2y + 5z = 96

Giải ta x = 12; y = 15; z = 18

0.5 0.5 0.5 0.5 b 2đ

3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…… + 3x+100

= (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+…+ (3x+97 +

3x+98 + 3x+99 + 3x+100)

= 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…+3x+96

(3+32+33+34)

= 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120 = 120(3x + 3x+4 +…+3x+96) 120 (đpcm)

1 0.5 0.5

Câu (6 điểm )

0,5

5

; ;

5 18 18 18 18 18

a b c a b c x x x x x

a b c

 

        

, , , , , ,

, , ,

; ;

4 15 15 15 15 15

a b c a b c x x x x x

a b c

 

        

6

4 360

15 18 90

x x x

a 2đ

Ta có IB = IC, IA = ID Lại có AB = CD (gt)

Do ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)

1 0,5 0,5 b

1,5đ

CM: DAI = D

∆AIB = ∆DIC (câu a), suy BAI = D Do DAI = BAI

Vậy AI tia phân giác góc BAC

0,5 0,5 0,5 c

2đ

Kẻ IE AB, ta có ∆AIE = ∆AIP => AE = AP

Mà AP = ½ AD (vì P trung điểm AD)

Suy AD

2

AE

0,5 0,5 0,5 0,5 Câu

( điểm ) 1

x y z

xy x  yz y xz z 

2

1

xz xyz z

xyzxzz xyz xyzxzxz z =

1

1 1

xz xyz z xyz xz

xz z z xz xz z xyz xz

 

   

       

1

PHÒNG GD & ĐT THIỆU HĨA Đề thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016-2017

Mơn: TỐN Câu (4,0 điểm) Tính hợp lý

     

7 18 19 12

) )

25 25 23 23 19 11 19 11 19

7 10

) 25 125.4 17 )

35 19 35 19 35

a b

c d



     



    

Câu (3,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau:

1 1 1

1

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017

a A          

     

b B2x23x5với x 

c    

0

3 2 2015

2 13 15

2016 C  x y x y x y  y xx y   

  , biết x y

Câu (4,0 điểm) Tìm ,x ybiết :

2

2 12

6

x y

     

 

 

2 Tìm , ,x y zbiết: 2 4

4

x y  z x y z

và x  y z 18 Câu (3,0 điểm)

1 Tìm số nguyên ,x ybiết: x2xy  y

2 Cho đa thức f x  x10101x9 101x8 101x7  101 x101 Tính f  100

Câu (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn AB AC.Vẽ phía ngồi tam giác ABCcác tam giác ABD ACE.Gọi Ilà giao CDvà BE, K giao ABvà DC

a) Chứng minh ADC ABE b) Chứng minh DIB600

c) Gọi M N, trung điểm CD BE Chứng minh AMN

d) Chứng minh IAlà phân giác DIE

Câu (1,0 điểm)

ĐÁP ÁN Câu

7 18 19 18 19

)

25 25 23 23 25 25 23 23

5 1

7

a             

    

    

7 12 12 12

) 1

19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19

b         

 

           

     

) 25 125.4 17 25 4.125 17 100 1000 17 1700000

c       

     

7 10 10

)

35 19 35 19 35 19 19 35 35 35

d        

 

Câu

1 1 1

) 1

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017

1 2 3 4 2016 2016

2 2015 2017

1 2 3 4 2016 2016

2 2015 2017

a A          

     

       

          

      

          2016 2017     b) Vì 2

1 1

2

2 2

1

2 1 1 1

2

2 2

x B x x B                                       

c)    

0

3 2 2015

2 13 15

2016 C x y x y x y  y xx y   

 

   

3

2(x y) 13x y x y 15xy x y 1

Câu 1)Vì 2 x      

  với ; 3x y12 0y,do đó:

2

2 12 ,

6

x y x y

      

 

  , theo đề thì:

2

1

2 12 12

6

x y x y

           

   

    Khi đó:

1

2

6 12

4 12

x x y y                

2) Ta có: 2 4

4

x y  z x  y z

Suy

     

4 3 4 12 12

0

16 29

x y  x x  y z  x y z x y z 

Do đó:

3

0 (1)

4

x y x y

x y

     

2

0

3

z x x z

z x



     (2)

Từ (1) (2) suy

2

x  y z

Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 18

2 4; 6;

2 4

x y z x y z

x y z

 

        

 

Câu

1 Ta có: x2xy  y

      

2

2 2 1

x xy y x xy y

x y y x y

         

        

2x1 -1 -5

1 2 y -5 -1

x -2

y -2 0 3 1

Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Ta có:

 

         

10

10 9 8 7

9

101 101 101 101 101

100 100 100 101 101

100 100 100 100 101

f x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

      

         

          

Vậy f  100 1 Câu

a) Ta có ADAB DAC, BAEvà AC AE ADC ABE c g c( ) b) Từ ADC ABE(câu a) ABE ADC,mà BKI  AKD(đối đỉnh)

Khi xét BIKvà DAKsuy BIK DAK 60 (0 dfcm) c) Từ ADC ABE(câu a)CM EN ACM,  AEN

J N

M K

I

E

D

A

B

( )

ACM AEN c g c AM AN

      CAM EAN

0 60

MAN CAE

   Do AMNđều

d) Trên tia IDlấy điểm Jsao cho IJ JB BIJđều BJ BI

  JBI DBA600 IBA JBD,kết hợp BABD

 

120

IBA JBD c g c AIB DJB

       mà BID600

0 60

DIA IA

   phân giác DIE

Câu

Vì Inằm tam giác ABCcách cạnh nên Ilà giao đường phân giác tam giác ABC

Tam giác ABC vng A nên tính BC5cm Chứng minh CEI  CMI CECM Chứng minh tương tự : AE AD BD,  BM Suy MBBCABAC: 22

D

E

M I A

B

SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG Trường THCS Nguyễn Khuyến

KỲ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN NĂM HỌC 2017-2018

Mơn:Tốn Bài (1,5 điểm)

Cho

3 2

3

x x y

A

x y

 



 biết

1 ;

x  ylà số nguyên âm lớn Bài (2,0 điểm)

Cho 16 25

9 16 25

x  y  z

và 11

7

x x

   

Tìm x y z

Bài (1,5 điểm)

Tìm ,x y biết 2xy3x4 Bài (2,0 điểm)

Cho đa thức

3

P x  x  x

a) Chứng minh x1là nghiệm đa thức b) Tính giá trị Pbiết x2   x

Bài (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông A AB AC,trên cạnh AClấy điểm Esao cho

AE AB Tia phân giác BACcắt đường trung trực CEtại F a) Chứng minh tam giác BFCcân

ĐÁP ÁN Bài

Tìm 1;

x  y 

Với 1; 17

2 50

x  y    A

Với 1, 27

2 50

x y    A Bài

Từ 11 2  1

7 9

x x

x x

          

 

 

Thay 16 25 16

9 16 25 50

x y z x y z

x                x y z 100 Bài

Biến đổi x2y 3  

,

x y  x U 2y3lẻ

x 4 2 1

2y+3 1 -2 4

y 2 Loại Loại Loại Loại 1

Bài

a) Tính P 1  0 dfcm b) +Rút gọn x2  x 3(1)

Biến đổi P3x3 3x2  x2 x9x 1 3x x x  x2 x9x1

Bài

a) Chỉ Flà giao điểm trung trực BECFthuộc trung trực BC BFCcân

b) +Tính EBC150

+Hạ FK AB FKB FHC ch cgv(  ) BFCvuông cân

45

FBC BFE

   

K

F

H E

B

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN – KHỐI LỚP Thời gian: 90 phút (không kể giao đề)

Bài (2 điểm) Cho bốn số dương a b c d, , , thỏa điều kiện a c 2bvà c b d2bd Chứng minh

8 8 8

8

a c a b

b d b d

 

  

   

 

Bài (2 điểm)

a) Tìm xbiết: 3, 25 1, 25 2 2,5.0, 25  0, 252 3x

 

        

b) Tìm ,x ybiết 3 y 2x y Bài (2 điểm)

a) Tìm nghiệm đa thức 7x2 35x420

b) Đa thức f x ax2 bxccó a b c, , số nguyên, a0.Biết với giá trị nguyên xthì f x chia hết cho Chứng minh a b c, , chia hết cho

Bài (2 điểm)

a) Tìm số nguyên ,x ybiết x2 2x8y2 41

b) Biết x 0 x 1.Chứng minh xn xvới n ,n2 Bài (2 điểm)

Cho tam giác nhọn ABCcó AB AC,ba đường cao BD CE, AF cắt H Lấy điểm M cạnh AB cho AM AC.Gọi N hình chiếu M AC; K giao điểm MNvà CE

ĐÁP ÁN Bài

Từ c b d 2bd b d 2bd c

    

Viết

8 8 8

8

2

a c bc c a c a c a c a b

b d bd d b d b d b d b d

           

 

     

Bài

a) Tính

3

3

3

4

2 x x

x

  

   

  

b) Vì 3 y 0, 2x    y y 2x y

3

2

2 3

y x

x y y



   

 

 

 

 

   

Bài

a) Viết 35 42 7 3 2

x

x x x x

x

 

      

 

b) Từ giả thiết  f  0 cchia hết cho  1

f f  1 chia hết cho 7, tức a b cvà a b cchia hết cho Suy 2a2cchia hết cho để có a 7b

Bài

a) Viết x12 42 8 y2

Suy x12là số chẵn , để có x12chia hết 42 8 y2không chia hết cho Vậy khơng có số ngun ,x ythỏa mãn đề

b) Xét xn  x x x n11

1

Bài

a) Nêu AK MCKAH MCB b) Chứng minh CEMN

Viết AB ACBD CE BM BDMN MI BDBM BI

Vậy AB CE  ACBD

K

N

M

H F

E D

A

B

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Bài (1,5 điểm) So sánh hợp lý

a)

200 16

     

1000

   

  b)  

27 32

 1839 Bài (1,5 điểm) Tìm x,biết:

a) 2x14 16 b) 2 x1 4  2x16 c x)   3 20 Bài (1,5 điểm) Tìm số , ,x y zbiết :

a) 3x52006 y2 12008 xz2100 0

b)

2

x  y z

và x2  y2z2 116 Bài (1,5 điểm)

Cho đa thức :

   

4 2 2 2

11 20 10 2008

A x y z  x yz xy z x yz x y z  xyz  x y z

a) Xác định bậc A

b) Tính giá trị Anếu 15x2y1004z

Bài (1 điểm) Chứng minh M x y z t

x y z x y t y z t x z t

   

       

có giá trị số tự nhiên x y z t, , ,  *

Bài (3 điểm) Cho tam giác ABCvuông cân A, M trung điểm BC.Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu Bvà C xuống đường thẳng AD.Đường thẳng AMcắt CI N Chứng minh rằng:

a) BH AI

ĐÁP ÁN Bài

 

   

200 4.200 800 1000

27

27 135 156 4.39 39 39

27 39

27 39

1 1

)

16 2

)32 2 2 16 18

32 18 32 18

a b                                       Bài         4

2 1,5

) 16

2 0,5

0,5

) 2

15

25

3 20 28

31

) 20

3 20

3 12( )

x x

a x

x x

x

b x x x

x x x x x c x x x ktm                                                             Bài

 2006  2 2008  2010

)

3 5

1

1

a x y x z

x x z y y x z                          b)

2

x y z

  x2  y2 z2 116 Từ giả thiết

2 2 2

116

4 16 16 29

x y z x y z

     

 

4, 6,

4, 6,

x y z

x y z

  



        

Bài

2 2

) 30 2008

a A x yz xy z xyz Acó bậc

 

) 15 1004

Bài Ta có: x x x x  y z t  x y z  x y

y y y

x y z t x y t x y

z z z

x y z t y z t z t

t t t

x y z t x z t z t

x y z t x y z t

M

x y z t x y x y z t z t

 

     

 

     

 

     

 

    

      

          

Hay 1M 2 Vậy M có giá trị số tự nhiên Bài

a) AIC BHABH  AI b) BH2 CI2 BH2 AH2  AB2

c) AM CI, hai đường cao cắt NNlà trực tâm DN AC

d) BHM AIM HI MI

BMH IMA

 

    

 

N I

H

M B

A C

Mà IMABMI 900BMH BMI 900 HMI

  vuông cân HIM 450

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN – NĂM HỌC 2016 – 2017

Bài Tìm giá trị nnguyên dương: ) 161 )27 243

n n n

a  b  

Bài Thực phép tính

1 1 1 49

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

     

 

 

Bài a) Tìm xbiết 2x  3 x

b) Tìm giá trị nhỏ A x 2006  2007x xthay đổi

Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng

ĐÁP ÁN Bài

4

3

1

) 16 2

8

)27 243 3

n n n n

n n

a n n n

b n



       

      

Bài

 

 

1 1 1 49

4.9 9.14 14.19 44.49 89

2 49

1 1 1 1 1

5 9 14 14 19 44 49 12

2 12.50 25

1 1 5.9.7.89

5 49 89 5.4.7.7.89 28

    

     

 

 

     

 

          

 

 

 

       

 

Bài

a) Ta có : x    2 x

Nếu

2

x  2x   3 x 2x     3 x x 1(tm)

Nếu

2 x

    2 5( )

3 x          x x x x tm Nếu x 2thì khơng có giá trị xthỏa mãn

b)

+Nếu x2006thì A  x 20062007   x 2x 4013 Khi   x 2016  2x 4013 40124013 1  A +Nếu 2006 x 2007thì A x 20062007 x

+Nếu x2007thì A x 2006 2007  x 2x4013 Do x20072x40134014 4013 1   A Vậy Ađạt giá trị nhỏ 1khi 2006 x 2007 Bài

Gọi ,x ylà số vòng quay kim phút kim 10 đến lúc kim đối đường thẳng, ta có:

1

Và :x y 12(do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

Do 12 1:11

1 12 11 33

x x y x y

y



      12

33 x

  (vòng)

11 x

  (giờ)

Vậy thời gian để kim đồng hồ từ lúc 10 đến lúc nằm đối diện đường thẳng

11giờ Bài

Đường thẳng ABcắt EItại F

ABM DCM

   AM DM gt MB( ); MC gt AMB( ), DMC dd( )

F E

I

D H M

A

/ /

BAM CDM FB ID ID AC

     FAI CIA(so le trong) (1) / / ( )

IE AC gt FIA CAI (so le ) (2)

Từ (1) (2)  CAI  FIA AI( chung)ICAC AF (3)

Và EFA900 (4),mặt khác EAF BAH(đối đỉnh), BAH  ACB(cùng phụ với )

ABC EAF  ACB (5)

PHÒNG GD&ĐT HỒNG NGỰ

TRƯỜNG THCS TT HẬU A ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN : TOÁN NĂM HỌC 2017-2018

Bài (4 điểm)

Tính giá trị biểu thức:

3

6 3.6 )

13

a  



5 16

) 5,13: 1, 25

28 63

b A     

 

Bài (4 điểm)

Biết 12 22  32 10 385.Tính 22 42 62  20 Bài (4 điểm)

Cho đa thức  

2

P x x  x  x Tìm đa thức Q x R x   , cho: a) P x Q x x52x2 1

b) P x R x  x3

Bài (4 điểm)

Ba đội san đất làm ba khối công việc Đội thứ hồn thành cơng việc ngày, đội thứ hai hồn thành cơng việc ngày đội thứ ba hồn thành cơng việc ngày Hỏi đội có máy (có suất), biết đội thứ có nhiều đội thứ hai máy

Bài (4 điểm)

Cho tam giác ABCcân Acó A20 ,0 vẽ tam giác DBC(D nằm tam giác ABC).Tia phân giác ABDcắt ACtại M Chứng minh:

ĐÁP ÁN Bài

 

 

3

3 3 3 3 2 2 1

6 3.6 3 3

) 27

13 13 13

5 16

) 5,13 : 1, 25

28 63

5 13 16

5,13 :

28 36 63

5 13 16 5,13 :

28 36 63

5,13 : 1, 26 14

a

b A

 

       

  

 

     

 

 

     

 

  

        

 

 

 

     

 

Bài Ta có:

 

2 2 2 2 2

2 20 2 10 4.385 1540

S            

Bài a) Ta có:

   

     

5

5

4

5

2

2

1

3

2

1

P x Q x x x

Q x P x x x

x x x x x

x x x x

   

    

      

     

Vậy  

b) Vì

        4

3

2

P x R x x R x P x x x  x   x x x x  x  x Bài

Gọi số máy ba đội theo thứ tự a b c, , (các máy có suất) Vì số máy số ngày hai đại lượng tỉ lệ nghịch , ta có:

4a6b8c hay

1 1

4

a b c

  , theo tính chất dãy tỉ số ta có:

2 24

1 1 1

4 12

a b c ab

    



6

a b c

    

  

Vậy số máy ba đội theo thứ tự 6;4;3 máy Bài

D A

B C

a) Chứng minh ADB ADC c c c( )DABDAC,

0

20 10

DAB 

b) ABCcân A, mà A20 ( )0 gt nên ABC800 ABC

 nên

60 DBC

Tia BDnằm hai tia BAvà BCsuy ADB800 600 200 Tia BM phân giác ABDnên ABM 100

Xét tam giác ABM BADcó:

AB cạnh chung; BAM  ABD20 ;0 ABM DAB100

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP

NĂM HỌC: 2015-2016 Câu (5,0 điểm)

Tính giá trị biểu thức sau:

1 1 1

) 1

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017

a A          

     

2

)

b B x  x với x 

c)    

0

3 2 2015

2 13 15 ,

2016 C x y x y x y  y xx y   

  biết x y

Câu (4,0 điểm) Tìm ,x ybiết:

2

2 12

6

x y

     

 

 

2 Tìm , ,x y zbiết 2 4

4

x y z x y z

  x  y z 18 Câu (5,0 điểm)

1 Tìm số nguyên ,x ybiết x2xy  y

2 Cho đa thức f x  x10101x9 101x8 101x7  101 x101 Tính f  100 Chứng minh từ số nguyên dương tùy ý không lớn 20, chọn

được ba số , ,x y zlà độ dài ba cạnh tam giác Câu (5,0 điểm)

1 Cho ABC có B C 60 ,0 phân giác AD.Trên ADlấy điểm O,trên tia đối tia AClấy điểm M cho ABM  ABO Trên tia đối tia ABlấy điểm N cho ACN  ACO Chứng minh

a) AM  AN

b) MONlà tam giác

2 Cho tam giác ABCvuông ,A điểm M nằm B C Gọi ,D Ethứ tự hình chiếu M AC AB, Tìm vị trí M để DEcó độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm)

Cho x y 1,x0,y0.Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

a b

P

x y

ĐÁP ÁN Câu

1 1 1

) 1

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017

1 2 3 4 2016 2016

2 2015 2017

1 2 3 4 2016 2016

2 2015 2017

a A          

     

       

          

      

          2016

2017     b) Vì 1 2 x x x           Với

1 1

2

2 2

x  B      

 

Với

2

1 1

2

2 2

x   B      

   

Vậy B4khi

x B7khi x 

   

     

0

3 2

3

2015

) 2 13 15

2016

2 13 15 1( 0)

c C x y x y x y y x x y

x y x y x y xy x y x y

                       Câu 1.Vì

2 ; 12

6

x x y y

       

 

  , đó:

2

2 12

6

x y

     

 

  x y,

Theo đề

2

1

2 12 12

6

x y x y

           

   

   

Khi ta có:

x  12 ;

12

y   x y  2.Ta có : 2 4

4

x y  z x  y z

Suy 3  2  4  12 12

16 29

x y z x y z x y z x y z

3

0

4

2 4

0

3

x y x y

x y

x y z

z x x z

z x                    

Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 18

2 4; 6;

2 4

x y z x y z

x y z

 

        

 

Câu

1) Ta có : x2xy  y

      

2

2 2 1

x xy y x xy y

x y y x y

         

        

Lập bảng:

2x1 -1 -5

1 2 y -5 -1

x -2

y -2 0 3 1

Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 2) Ta có:

  10

101 101 101 101 101

f x x  x  x  x   x

           

 

10 9 8 7

9

100 100 100 101 101

100 100 100 100 100 101

100

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

f

         

            

 

3) Giả sử số nguyên dương tùy ý cho a a a1, 2, 3, ,a8với

1

1 a a  a 20

Nhận thấy với ba số dương a b c, , thỏa mãn a b cvà b c athì a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Từ đó, ta thấy số a a a1, 2, 3, ,a8không chọn số độ dài ba cạnh tam giác thì:

6

1 2

3

5 8 13

13 21

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

                             

Vậy điều giả sử sai.Do đó, số ngun cho ln chọn số , ,

x y zlà độ dài ba cạnh tam giác Câu

1

a) ABCcó B C 600nên A1200

Do ADlà tia phân giác nên A1 A2 60 ,0 ta lại có A3  A4 1800  A 600 Suy A1 A2  A3  A4600 ( ) (1)

( ) (2)

ABM ABD g c g AM AO

ACN ACO g c g AN AO

    



     



Từ (1) (2) suy AM  AN

b) AOM  ON c g c( )OM ON(3)

( ) (4)

AOM AMN c g c OM NM

    

Từ (3) (4) suy OM ON NM MON tam giác 3

2 1 4 A M

B

C N

2

DE AM AH(AH đường cao ABC)

Vậy DEnhỏ AM nhỏ M trùng với H Câu

Ta có:

   

2

2 2 2

2

2

2

.1 a x y b x y

a b a b a y b x

P a b

x y x y x y x y

a y b x

a b

x y

 

         

 

   

 

Các số dương

a y x

2

b x

y có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ

khi  

2

2 2

1

a y b x a

a y b x ay bx a x bx x

x  y          ab

Suy y b a b

 

Vậy giá trị nhỏ biểu thức Pab2khi x a ;y b

a b a b

 

 

H

D E

A

B

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH LỘC

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017

MƠN THI: TỐN Ngày thi: 11/04/2017 Bài (4,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức 21 3,5 : 41 31 7,5

3

A      

   

b) Rút gọn biểu thức

4

7 7 2.8 27 4.6 40.9

B 



c) Tìm đa thức M biết rằng: M 5x22xy6x2 9xy y2

Tính giá trị M ,x ythỏa mãn 2x52012 3y42014 0 Bài (4,0 điểm)

a) Tìm :x 1 2  x

b) Tìm , ,x y zbiết: 2x3 ;4y y5zvà x  y z 11 c) Tìm x,biết : x2n1 x2n11với nlà số tự nhiên Bài (4,0 điểm)

a) Tìm độ dài cạnh tam giác có chu vi 13 cmBiết độ dài đường cao tương ứng 2cm cm cm,3 ,4

b) Tìm ,x ynguyên biết : 2xy  x y

Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC(AB AC B, 60 ).0 Hai phân giác ADvà CEcủa ABCcắt I, từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AI tai H, cắt ABở P, cắt ACở K

a) Tính AIC

b) Tính độ dài cạnh AKbiết PK 6cm AH, 4cm c) Chứng minh IDEcân

ĐÁP ÁN Bài

a) 21 3,5 : 41 31 7,5

3

A      

   

7 25 22 15

:

3

35 43 15 245 15

:

6 42 43

490 645 155

86 86 86

                            

11 13 11

7 7 14 10 10

2

2.8 27 4.6 3

)

2 40.9 3 3.5

b B      

  

  2  

2 2 2

)

6 11

c M x xy x xy y x xy

M x xy y x xy x xy y

      

        

Ta có : 2x52012 3y42014 0 Ta có:  

     

2012

2012 2014 2014

2

2

3

x x y y             

Mà 2x52012 3y42014  0 2x52012 3y42014 0

    2012 2014

2 2

1

3 1

3 x x y y                   Vậy 2 1 x y         Vậy 2

5 4 25 110 16 1159

11

2 3 36

M               

     

Bài

a)1 1

1 1

5

x   1

5 x

  

TH1: 1

5 30

x    x

TH2: 1 1 11

5 6 30

x        x

Vậy ; 11

30 30 x   

 

b) Ta có :

3 x y x y  hay

15 10 x y  5 y z y z  hay

10 y  z

Vậy

15 10 x  y  z

Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

11 15 10 15 10 33

x  y  z x y z  

  , suy

10

5, ;

3

x  y  z  c) x2n1x2n11

   

   

1 11

1 10

2

2

n n n x x x x               

TH1: x2n1    0 x

TH2:  210  210 1

2

x x x x x x                    

Vậy x 2;x 1;x 3 Bài

a) Gọi độ dài ba cạnh tam giác x y z cm x y z, ,   , , 0 Theo ta có: x  y z 13

Và

6

ABC

x y z

x y z  S   

13

1 6, 4,

6 13

x y z x y z

x y z

 

        

 

b) 2xy  x y

 

  

4 2

2 2

2 5.1 1.5 1

xy x y

x y y

y x

  

   

           

Xét trường hợp tìm       ,y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2    Bài

a) Ta có ABC600 BACBCA1200 ADlà phân giác BACsuy

2 IAC BAC

CElà phân giác ACBICA BCA

Suy 1.1200 600

IACICA  Vậy AIC1200

H F

K

P

M I

E

D B

b) Xét AHPvà AHKcó: PAH KAH AH( phân giác BAC) AHchung; PHAKHA900

( )

AHP AHK g c g PH KH

      (hai cạnh tương ứng)

Vậy HK3cm

Vì AHKvng H, theo định lý Pytago ta có:

2 2 2

4 25

AK AH HK    Suy AK 5cm c) Vì AIC1200, : AIEDIC600 Trên cạnh AClấy điểm Fsao cho AF  AE

Xét EAI FAI có:AE AF EAI, FAI AI, chung

Vậy EAI  FAI c g c( )IE IF (hai cạnh tương ứng ) (1)

0

60 60

AIE AIF  FIC AICAIF 

Xét DICvà FICcó: DICFIC60 ;0 ICchung; DIC FIC  

DIC FIC g c g ID IF

      (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy IDEcân I

Bài

Giả sử 10 số hữu tỷ 10 a( ,a b

b

  số tự nhiên, b khác 0;  a b, 1)

2 10

a b 

2

10

a b

 

2 2

2 10 2

a a b b b

    

TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC : 2015-2016 Môn thi: Tốn

Câu Tìm số , ,x y zbiết:  3

)

a x   b) 7 x 5x3

)

c x x  d)12x15y20zvà x  y z 48 Câu

a) Tìm số dư chia 22011cho 31

b) Với a b, số nguyên dương cho a1và b2007chia hết cho Chứng minh rằng: 4a  a bchia hết cho

c) Tìm số nguyên ,x ythỏa mãn 6x2 5y2 74 Câu

a) Cho tỉ lệ thức a b

b  c Chứng minh ta có tỉ lệ thức

2 2

a b a

b c c

  

b) Trên bảng có ghi số tự nhiên từ 1đến 2008, người ta làm sau: lấy hai số thay vào hiệu chúng, làm đến cịn số bảng dừng lại Hỏi làm để bảng cịn lại số khơng ? Giải thích ?

Câu Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, đường cao AH.Vẽ phía ngồi tam giác ABCcác tam giác ABEvà ACF vuông cân A Từ Evà Fkẻ đường vuông góc EK FN với đường thẳng HA

a) Chứng minh rằng: EK FN

b) Gọi Ilà giao điểm EF với đường thẳng HA.Tìm điều kiện tam giác ABCđể EF 2AI

Câu

a) Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a   b c d 1.Gọi Slà tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ bốn số a b c d, , , Hỏi Scó thể đạt giá trị lớn

b) Cho tam giác nhọn ABCcó BAC60 Chứng minh

2 2

ĐÁP ÁN Câu

 3

)

a x         x x b) 7 x 5x3 Điều kiện

5 x

9 12 12

( )

9

x x x x

tm

x x x x

    

  

  

    

  

c) x3 x 0.DK x: 0

 

( )

9

x

x x tm

x          48

)12 15 20

5 12 12

20; 16; 12

x y z x y z x y z

d x y z

x y z

 

          

   

Câu

a) Ta có: 25 32 mod31   25 402 1 mod31 

 

2011

2 mod31

  Vậy số dư chia 22011cho 31là

b) Vì angun dương nên ta có 4a 1 mod3 4a  2 mod3 

Mà 4a  2 mod 2 4a 2

Khi ta có 4a   a b 4a     2 a b 20072010

Vậy với a b, số nguyên dương cho a1và b2007chia hết cho 4a  a bchia hết cho

c) Từ 74 74 74

x  y   x  x  mà xnguyênx20;1;4;9

Mặt khác ta có

2

2 2

2

4 10( )

1 75 5

9

x y ktm

x x y

x y

   

     

  



    x y,  3,2 ; 3, ;  3;2 ,  3, 2

     

Câu a) Ta có:

2 2 2 2 2

2 2

a a b a a b a b a b

c b c c c c b c b c

    

        

    

Vậy có tỉ lệ thức a b

b  c ta có tỉ lệ thức

2 2

a b a

b c c

 



Ta có 2008 2008.2009 1004.2009

S       số chẵn Khi lấy hai số a b, thay vào hiệu hai số tổng Sbớt ab  a b 2b số chẵn

Nên tổng phải số chẵn Vậy bảng lại số Câu

a) Chứng minh KAF  HBA ch( gn)EK AH Chứng minh NFI  HCA ch( gn)FN  AH Suy EK FN

b) Chứng minh ( )

2

KEI NFI c g c EI FI EF

     

Mà ( )

2 EF

AI  gt  AI EI FI IEAIAEvà IAF IFA

I

H K N

F

E

A

B

0

90 90

EAF BAC

   

Vậy EF 2AIkhi tam giác ABCvuông A Câu

a) Giả sử a   b c d

Ta có: S            a b b c c d a c a d b d

 

3

S a b b c c d a c a d b d

S a b c d

            

    

Mà c3d  0 S 3ab

Mặt khác a     b c d a

Suy S3a b 2a  a b 2.1 3  Dấu xảy

3

1

0

c d

a

a b c d

b c d

a

 



       

    

  



Vậy Slớn bốn số a b c d, , , có số số b)

Kẻ BH AC

Vì 600 300 (1)

2 AB

BAC  ABH   AH 

Áp dụng định lý Pytago ta có:

2 2

AB AH BH BC2 BH2 HC2

2 2 2

2 2

2

2 (2)

BC AB AH AC AC AH AH

BC AB AC AH AC

     

   

Từ (1)  2 dfcm

H A

TRƯỜNG THCS ÂN TƯỜNG ĐÔNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2014-2015

Mơn Tốn Bài (2 điểm) Thực phép tính:

14 14 3

) 34,8 65, ) : ( 7)

25 25 4

a A   b B    

 

Bài (4 điểm) Tìm xbiết:

1

2

3 29 1

) )

4 60

2

) 0, 24 ) 0,6 :

5

x

a x b

c x d x



 

    

 

 

     

 

Bài (4 điểm) Tìm số a b c, , biết:

3

a b c

  a  b c 10 Bài (2 điểm)

Cho 1 1

2 48 49 50

S        48 49

49 48 47

P     

Hãy tính S P Bài (3 điểm)

Cho ABCcó AB AC.Kẻ tia phân giác ADcủa BAC D BC.Trên cạnh AClấy điểm Esao cho AEAB,trên tia AB lấy điểm Fsao cho AF  AC.Chứng minh rằng:

) )

a ADB ADE

b BDF EDC

  

  

Bài (5 điểm)

Cho tam giác ABC D, trung điểm AB E, trung điểm AC.Vẽ điểm Fsao cho Elà trung điểm DF.Chứng minh rằng:

a) ADFCvà AB/ /FC b) BDC FCD

ĐÁP ÁN Bài

 

 

14 14 14 14

) 34,8 65, 34,8 65, 100 56

25 25 25 25

5 3

) :

4 4

5 31

7

4

a A

b B

         

   

        

   

   

Bài

3 29 29 2

) :

4 60 60 15

a  x  x    x  

1

5

2

1 1

)

2 2

24 16

2 100 5 25

) 0, 24

24

5

100 25

x

b x x

x x

c x

x x



        

   

   

    



   

     



7 17

) 0,6 : :

3 10

7 17 17 20

4

3 5 5

7 12 :

3

d x x

x x

x

       

   

   

       

  

Bài

Ta có: 10

3 7

a   b c a b c

 

10 30; 10 50; 10 70

3

a b c

a b c

Vậy a30,b50,c70 Bài

1 48 49 48

1 1

49 48 47 49 48 47

50 50 50 50 50 50 50 50 50

49 48 47 50 49 48 47

1 1 1

1 1 2 3 4 49 50

50

50 49 48

5

P

S P

       

                 

       

 

          

 

    

 

       

 

1

1 1 50

0

50 49 48



     

 

 

Bài

a) ADB ADE cgc( ) b) BDF  EDC cgc( ) F

E

D A

Bài

a) Chứng minh ADE  CFE c g c( )ADFC DAEECF, mà góc vị trí so le AB/ /FC

b) BDC FCD c g c Do AD( )( BD AD; CFBDCF BDC; FCD slt DC( ); chung)

c) BDC FCDBCDEDCmà góc vị trí so le

1

/ /

2

DE BC DE DF BC

   

F E

D A

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN

Năm học 2009-2010 Bài 1.(6 điểm) Thực phép tính:

1 1

15 20 10 19 29

3

) :

4

45 1

)

19

5.4 4.3 )

5.2 7.2 27

a

b

c

  

  

 

 

     

 

    

     

 

 

Bài (6 điểm)

a) Tìm x,biết: 2x 1 3 2x24 2 x 3 16 b) Tìm x,biết: : 21 21

2 x  22 c) Tìm , ,x y z, biết:

5 15

x y  y z

và x z 2y Bài (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức : a c

b  d Chứng minh rằng: a2c b d  ac b 2d

Bài (4,5 điểm) Cho tam giác ABCvuông A, K trung điểm BC Trên tia đối tia KAlấy D, cho KDKA

a) Chứng minh CD/ /AB

b) Gọi H trung điểm AC BH; cắt ADtại M; DHcắt BC N Chứng minh ABH  CDH

c) Chứng minh : HMNcân

ĐÁP ÁN Bài

1 1

15 20 30 18 20 3.9 10 19 29 10 19 19 29

3 9

) : : :

4 4 4

45 1 45 45 26

)

1

19 19 19 19

1

2 4

3 5.4 4.3 5.2 3 )

5.2 7.2 27 5.2 7.2 a

b

c

  

         

   

   

     

 

         

      

 



  

 

 

 

.6 29 18

29 18

2 5.2 10 9 1 5.3 15

 

  

 

Bài

)2 6 12 16 12 36

a x  x  x    x   x

b) Nếu

x , ta có:

 

1 21 21

3 : : ( )

2 x  22  x  22 x tm Nếu

2

x , ta có:

 

1 21 21

3 : : 2 ( )

2 x  22  x  22     x x tm

Vậy

3

x   x

c) Từ x z 2y ta có:

2

Vậy 2

5 15

x y y z

x y y z

       

Từ

2 x   y x y

Từ 3y2z0và 2

2

x z y   x z y z   y  y z

3

0

2y z y 3z x 3z

      

Vậy giá trị , ,x y zcần tìn là: ; ;

3

x z y z z

    

 

 hoặc

1

; ;

2

x y y z y

    

 

 hoặc x ,y2 ,x z3x

Bài 3.Ta có:

     

2 2

a c b d a c b d

ab ad cb cd ab ad cb cd

a c cb ad

b d

    

       