de thi hsg mon toan lop 7 truong thcs hoang phu thanh hoa nam hoc 2016 2017

VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHỊNG GD&ĐT HOẰNG HĨA TRƯỜNG THCS HOẰNG PHỤ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5 điểm) a Thực phép tính sau: 212.35  46.92  3   510.73  255.492 125.7   59.143 b Tính giá trị biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 xy = 16 c Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = a số lớn c ba đơn vị Bài 2: (2,0 điểm) Tìm số x, y, z biết  x  5x  a (x – 1)3 = - b c x - x = d 12x = 15y = 20z x + y + z = 48 Bài 3: (1,0 điểm) a Với a, b số nguyên dương cho a + b + 2007 chia hết cho Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho b Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 4: (2,0 điểm) a  ac b  bd a c   Chứng minh rằng: a Cho c  ac d  bd b d b Cho a, b, c > dãy tỉ số: Tính: P = 2b  c  a 2c  b  a 2a  b  c   a b c  3a  2b 3b  2c 3c  2a   3a  c 3b  a3c  b VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí c Cho x, y, z, t  N Chứng minh rằng: M= x y z t    có giá trị số tự nhiên x y z x yt y zt zt  x Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có góc A nhọn Về phía ngồi ABC vẽ BAD vuông cân A, CAE vuông cân A Chứng minh: a DC = BE; DC  BE b BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC K Chứng minh K trung điểm BC  = 600 Chứng minh rằng: Bài 6: (0,5 điểm) Cho ABC nhọn với BAC BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Đáp án đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp Câu 1a 1b 1c Nội dung Điểm 212.35  46.92 510.73  255.492 212.35  212.34 510.73  510.7    (2 2.3)  84.35 (125.7)3  59.143 212.36  212.35 59.73  59.23.73 0,25đ 212.34.(3  1) 510.73.(1  7) 212.34.2 510.73.( 6) 10  12       (3  1) 59.73.(1  23 ) 212.35.4 0,25đ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + = 4xy – 2(x + y) + 0,25đ M = 45 0,25đ Ta có f(-2) =  4a – 2b + c = 0,25đ f(2) =  4a + 2b + c = a – c = 0,25đ 4b =  b = Từ 8a + 2c = a – c =  a = 3/5; c = -12/5 2a 2b (x – 1)3 = -8  x – = -2 0,25đ  x = -1 Vậy x = -1 0,25đ  x  x  ĐK x  9  x  x  3   9  x   x 12 x  12  x    (TMĐK) x = x = x   2x  2c 2d 3a x  (TMĐK) x  x - x = ĐK x ≥  x ( x  3)    12x = 15y = 20z  x y z x  y  z 48       x  20; y  16; z  12 12 12 Vì a  Z+  4a  (mod 3)  4a +  (mod 3) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Mà 4a +  (mod 2)  4a +  3b Khi ta có 4a + a + b = 4a + + a + + b + 2007 – 2010  0,25đ Vậy với a, b  Z+ cho a + b + 2007  4a + a + b  0,25đ Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9} 0,25đ Mặt khác ta có x2 + = 75 – 5x2 – 5y2   x2 = x2 = VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 4a Nếu x2 =  y2 = 10 (loại y  Z) 0,25đ Nếu x2 =  y2 =  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 0,25đ a c a c c a ac a ca c      b d b  d d b b  d b d b d  4b (a  c).a (c  a).c a  ac c  ac     đpcm (b  d ).b (d  b).d b  bd d  bd Ta có: 2b c  a 2c  b a 2a b c 2a 2b 2c b 3c a 3b c  3a       2 a b c a b c a b a c b c b + 3c = 2a + 2b 2a  bc  b    a + 3b = 2a + 2c  2c  3b  a  … P = c + 3a = 2b + 2c 2b  3a  c   4c Ta có 0,25đ x x x y y y   ;   x y  z t x y  z x y x y  z t x y t x y 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ z z z t t t   ;   x y  z t y  z t z t x y  z t x z t z t   x x y  z t y   z t  M       x y  z t  x y x y  z t z t  Hay < M < Vậy M có giá trị khơng phải số tự nhiên 5a 5b 0,25đ CM ABE = ADC (c.g.c)  DC = BE 0,5đ CM DC  BE 0,5đ Viết CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2; DE2 = MD2 + ME2; BC2 = MB2 + MC2 0,5đ  BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2 5c 0,25đ  BD2 + CE2 = BC2 + DE2 0,25đ Trên tia AK lấy điểm P cho AP = DE 0,25đ CM ADE = CPA  CP = AD  CP = AB 0,25đ    BAK ;  ABK  PCK CM P 0,25đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 0,25đ  CPK = BAK (g.c.g)  BK = KC  đpcm Hình vẽ: E D A M B C K P Hình vẽ A H C B Kẻ BH  AC AB   600   ABH  300  AH  Vì BAC (1) 0,25đ Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2=AH2+BH2 BC2 = BH2 + HC2  BC2 = AB2 – AH2 + HC2  BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2  BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2  BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2)  đpcm 0,25đ ... thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp Câu 1a 1b 1c Nội dung Điểm 212.35  46.92 510 .73  255.492 212.35  212.34 510 .73  510 .7    (2 2.3)  84.35 (125 .7) 3  59.143 212.36  212.35 59 .73  59.23 .73 ... + + b + 20 07 – 2010  0,25đ Vậy với a, b  Z+ cho a + b + 20 07  4a + a + b  0,25đ Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74 /6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9} 0,25đ Mặt khác ta có x2 + = 75 – 5x2 – 5y2... 59.143 212.36  212.35 59 .73  59.23 .73 0,25đ 212.34.(3  1) 510 .73 .(1  7) 212.34.2 510 .73 .( 6) 10  12       (3  1) 59 .73 .(1  23 ) 212.35.4 0,25đ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y