VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHỊNG GD&ĐT HOẰNG HĨA TRƯỜNG THCS HOẰNG PHỤ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5 điểm) a Thực phép tính sau: 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 b Tính giá trị biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 xy = 16 c Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = a số lớn c ba đơn vị Bài 2: (2,0 điểm) Tìm số x, y, z biết x 5x a (x – 1)3 = - b c x - x = d 12x = 15y = 20z x + y + z = 48 Bài 3: (1,0 điểm) a Với a, b số nguyên dương cho a + b + 2007 chia hết cho Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho b Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 4: (2,0 điểm) a ac b bd a c Chứng minh rằng: a Cho c ac d bd b d b Cho a, b, c > dãy tỉ số: Tính: P = 2b c a 2c b a 2a b c a b c 3a 2b 3b 2c 3c 2a 3a c 3b a3c b VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí c Cho x, y, z, t N Chứng minh rằng: M= x y z t có giá trị số tự nhiên x y z x yt y zt zt x Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có góc A nhọn Về phía ngồi ABC vẽ BAD vuông cân A, CAE vuông cân A Chứng minh: a DC = BE; DC BE b BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC K Chứng minh K trung điểm BC = 600 Chứng minh rằng: Bài 6: (0,5 điểm) Cho ABC nhọn với BAC BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Đáp án đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp Câu 1a 1b 1c Nội dung Điểm 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 510.7 (2 2.3) 84.35 (125.7)3 59.143 212.36 212.35 59.73 59.23.73 0,25đ 212.34.(3 1) 510.73.(1 7) 212.34.2 510.73.( 6) 10 12 (3 1) 59.73.(1 23 ) 212.35.4 0,25đ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + = 4xy – 2(x + y) + 0,25đ M = 45 0,25đ Ta có f(-2) = 4a – 2b + c = 0,25đ f(2) = 4a + 2b + c = a – c = 0,25đ 4b = b = Từ 8a + 2c = a – c = a = 3/5; c = -12/5 2a 2b (x – 1)3 = -8 x – = -2 0,25đ x = -1 Vậy x = -1 0,25đ x x ĐK x 9 x x 3 9 x x 12 x 12 x (TMĐK) x = x = x 2x 2c 2d 3a x (TMĐK) x x - x = ĐK x ≥ x ( x 3) 12x = 15y = 20z x y z x y z 48 x 20; y 16; z 12 12 12 Vì a Z+ 4a (mod 3) 4a + (mod 3) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Mà 4a + (mod 2) 4a + 3b Khi ta có 4a + a + b = 4a + + a + + b + 2007 – 2010 0,25đ Vậy với a, b Z+ cho a + b + 2007 4a + a + b 0,25đ Từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 ≤ 74 x2 ≤ 74/6 mà x Z x{0; 1; 4; 9} 0,25đ Mặt khác ta có x2 + = 75 – 5x2 – 5y2 x2 = x2 = VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 4a Nếu x2 = y2 = 10 (loại y Z) 0,25đ Nếu x2 = y2 = (x, y) {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 0,25đ a c a c c a ac a ca c b d b d d b b d b d b d 4b (a c).a (c a).c a ac c ac đpcm (b d ).b (d b).d b bd d bd Ta có: 2b c a 2c b a 2a b c 2a 2b 2c b 3c a 3b c 3a 2 a b c a b c a b a c b c b + 3c = 2a + 2b 2a bc b a + 3b = 2a + 2c 2c 3b a … P = c + 3a = 2b + 2c 2b 3a c 4c Ta có 0,25đ x x x y y y ; x y z t x y z x y x y z t x y t x y 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ z z z t t t ; x y z t y z t z t x y z t x z t z t x x y z t y z t M x y z t x y x y z t z t Hay < M < Vậy M có giá trị khơng phải số tự nhiên 5a 5b 0,25đ CM ABE = ADC (c.g.c) DC = BE 0,5đ CM DC BE 0,5đ Viết CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2; DE2 = MD2 + ME2; BC2 = MB2 + MC2 0,5đ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2 5c 0,25đ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 0,25đ Trên tia AK lấy điểm P cho AP = DE 0,25đ CM ADE = CPA CP = AD CP = AB 0,25đ BAK ; ABK PCK CM P 0,25đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 0,25đ CPK = BAK (g.c.g) BK = KC đpcm Hình vẽ: E D A M B C K P Hình vẽ A H C B Kẻ BH AC AB 600 ABH 300 AH Vì BAC (1) 0,25đ Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2=AH2+BH2 BC2 = BH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2 BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2) đpcm 0,25đ ... thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp Câu 1a 1b 1c Nội dung Điểm 212.35 46.92 510 .73 255.492 212.35 212.34 510 .73 510 .7 (2 2.3) 84.35 (125 .7) 3 59.143 212.36 212.35 59 .73 59.23 .73 ... + + b + 20 07 – 2010 0,25đ Vậy với a, b Z+ cho a + b + 20 07 4a + a + b 0,25đ Từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 ≤ 74 x2 ≤ 74 /6 mà x Z x{0; 1; 4; 9} 0,25đ Mặt khác ta có x2 + = 75 – 5x2 – 5y2... 59.143 212.36 212.35 59 .73 59.23 .73 0,25đ 212.34.(3 1) 510 .73 .(1 7) 212.34.2 510 .73 .( 6) 10 12 (3 1) 59 .73 .(1 23 ) 212.35.4 0,25đ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y