Đang tải... (xem toàn văn)
Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t1. - Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu t[r]
(1)CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I Lý thuyết phương trình bậc hai ẩn 1 Khái niệm phương trình bậc hai ẩn
Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng: ax + by = c Trong a,b,c là những số cho trước a ≠ b ≠ 0.
- Nếu số thực x0,y0 thỏa mãn ax + by = c cặp số (x0,y0) gọi nghiệm phương trình ax + by = c
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nghiệm (x0,y0) phương trình ax + by = c biểu diễn bới điểm có tọa độ (x0,y0)
2 Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn
Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm
Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng d: ax + by = c
+ Nếu a ≠ b = phương trình có nghiệm
c x
a
y R
đường thẳng d song song hoặc trùng với trục tung
+ Nếu a = b ≠ phương trình có nghiệm
x R c y
b
đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành
+ Nếu a ≠ b ≠ phương trình có nghiệm
x R
ax c y
b b
đường thẳng d đồ thị hàm
số
ax c y
b b
II Các dạng toán thường gặp phương trình bậc hai ẩn
Dạng 1: Tìm điều kiện tham số để cặp số cho trước nghiệm phương trình bậc hai ẩn
Phương pháp:
Nếu cặp số thực (x0,y0) thỏa mãn ax + by = c gọi nghiệm phương trình ax + by = c
Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc hai ẩn Biểu diễn tập nghiệm hệ trục tọa độ
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai ẩn ax + by = c
1 Để viết công thức nghiệm tổng quát phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) đưa công thức nghiệm tổng quát
2 Để biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c
Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp:
(2)1 Nếu a ≠ b = phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng c x
a
Khi d song song trùng với Oy
2 Nếu a = b ≠ phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng c y
b
Khi d song song trùng với Ox
3 Đường thẳng d: ax + by = c qua điểm M(x0,y0) ax0 + by0 = c Dạng 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn
Phương pháp:
Để tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn ax + by = c, ta làm sau: Cách 1:
Bước 1: Rút gọn phương trình, ý đến tính chia hết ẩn
Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x ) theo ẩn Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x
Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố biểu thức x số nguyên t, ta phương trình bậc hai ẩn y t
- Cứ tiếp tục ần biểu thị dạng đa thức với hệ số nguyên
Cách 2:
Bước Tìm nghiệm nguyên(x0,y0) phương trình
Bước Đưa phương trình dạng a(x − x0) + b(y − y0) = từ dễ dàng tìm nghiệm nguyên phương trình cho
III Một số ví dụ phương trình bậc hai ẩn
Ví dụ Chứng tỏ cặp số (1; 1) nghiệm phương trình 2x - y = 1. Giải:
Ta có: VT = 2.1 - = = VP
Vậy cặp số (1; 1) nghiệm phương trình 2x - y = Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt phương trình sau:
a) 3x - y = b) 4x - 3y = -1 Giải:
a) Ta có: 3x - y = <=> y = 3x -
Vậy nghiệm tổng quát phương trình x R y x
b) Ta có: 4x - 3y = -1 <=> 4x = 3y - <=>
3
4
x y
Vậy nghiệm tổng quát phương trình
3
4
x y
y R
Ví dụ Tìm điều kiện m để đường thẳng
5
1
2
m m
x y
song song với trục tung. Giải: Đường thẳng d:
5
1
2
m m
x y
có a = m
; b =
(3)Để đường thẳng d song song với trục tung 0 a b
=>
5 2
0 m
m
<=>
5
2
m m
<=>
5 m m
<=> m = Vậy với m = d song song với trục tung
IV Bài tập phương trình bậc hai ẩn
Bài Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau vẽ đường thẳng biễu diễn tập nghiệm đó:
a) 2x + y = b) x - 2y = c) 4x + 0y = -2 Bài Phương trình sau xác định hàm số dạng y = ax + b?
a) 5x – y = b) 3x + 5y = 10 c) 0x + 3y = −1 d) 6x – 0y = 18 Bài HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Lý thuyết hệ hai phương trình bậc hai ẩn
1 Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn
Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng:
(1)
' ' ' (2)
ax by c a x b y c
Trong a, b, c, a’, b’, c’ số thực cho trước, x y ẩn số.
- Nếu hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung (x0,y0) (x0,y0) gọi nghiệm hệ phương trình Nếu hai phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung hệ phương trình vơ nghiệm
- Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm 2 Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm 3 Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn
- Tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng d: ax + by = c d′: a′x + b′y = c′
Trường hợp 1: d ∩ d′ = A(x0; y0) ⇔ Hệ phương trình có nghiệm (x0; y0); Trường hợp 2: d // d′ ⇔ Hệ phương trình vơ nghiệm;
Trường hợp 3: d ≡ d′⇔ Hệ phương trình có vơ số nghiệm + Hệ phương trình có nghiệm ⇔ ' '
a b
a b ; + Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ ' ' '
a b c
a b c ; + Hệ phương trình có vơ số nghiệm ⇔ ' ' '
a b c
a b c .
* Chú ý: (không nên sử dụng trường hợp hệ pt có chứa tham số) II Các dạng tốn thường gặp hệ hai phương trình bậc hai ẩn Dạng 1: Dự đốn số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn
(4)Xét hệ phương trình bậc hai ẩn
(1)
' ' ' (2)
ax by c a x b y c
- Hệ phương trình có nghiệm ⇔ ' '
a b
a b - Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ ' ' '
a b c
a b c
- Hệ phương trình có vơ số nghiệm ⇔ ' ' '
a b c
a b c
Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn hay không?
Phương pháp: Cặp số (x0;y0) nghiệm hệ phương trình ' ' ' ax by c a x b y c
khi nó
thỏa mãn hai phương trình hệ
Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp đồ thị
Phương pháp: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ' ' ' ax by c a x b y c
bằng phương pháp đồ
thị ta làm sau:
Bước Vẽ hai đường thẳng d: ax + by = c d': a'x + b'y = c' hệ trục tọa độ Hoặc tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng
Bước Xác định nghiệm hệ phương trình dựa vào đồ thị vẽ bước (hay nghiệm hệ phương trình tọa độ giao điểm hai đường thẳng)
III Một số ví dụ hệ hai phương trình bậc hai ẩn
Ví dụ Khơng cần vẽ hình, cho biết số nghiệm hệ phương trình sau giải thích:
a)
3
3
y x
y x
b)
3
2
x y
x y
Giải:
a) (Do phương trình có dạng đường thẳng y = ax + b nên cần xét hệ số a, b) Từ:
3
3
y x
y x
<=>
2
3
y x
y x
Ta có: a = -2; b = a’ = 3; b’ = -1
Vì a a’(-23) nên hai đường thẳng cắt nhau. Vậy hệ phương trình có nghiệm
b) Cách 1: Đưa phương trình dạng y = ax + b để so sánh hệ số a, b
Từ
3
2
x y
x y
<=>
3
2
y x
y x
<=>
3 y x y x
Ta có: a = 1; b = -3 a’ = 1; b’ =
(5)Vậy hệ phương trình vơ nghiệm
Cách 2: Dựa vào hệ số a, b, c hai phương trình để xét Từ
3
2
x y
x y
ta có: a = 1; b = -1; c = a’ = 2; b’ = -2; c’ = 3. Do ' ' '
a b c
a b c (
1
2
) nên hệ phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ Cho hệ phương trình:
x y mx y 2m
Xác định m để hệ phương trình: a) Có nghiệm b) Vơ nghiệm c) Có vơ số nghiệm Giải:
Ta có hệ (I)
x y (1) mx y 2m (2)
(1) <=> x = - y Thay x vào phương trình (2), ta được:
(2) => -m(3 - y) - y = 2m <=> -3m +my - y = 2m <=> (m - 1)y = 5m (*)
a) Để hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm <=> m - 10 <=> m1 Vậy với m1 hệ (I) có nghiệm.
b) Để hệ (I) vơ nghiệm phương trình (*) vơ nghiệm <=>
1
5
m m
<=>
0 m m
<=> m = 1 Vậy với m = hệ (I) vơ nghiệm
c) Để hệ (I) vơ nghiệm phương trình (*) có vơ số nghiệm <=>
1
5
m m
<=>
0 m m
(Vơ lí) Vậy khơng có giá trị m để hệ (I) có vơ số nghiệm
IV Bài tập hệ hai phương trình bậc hai ẩn
Bài Khơng cần vẽ hình, cho biết số nghiệm hệ phương trình sau giải thích:
a)
2
2
y x
y x
b)
3
2
x y
x y
c)
4
2
x y
x y
Bài Cho hệ phương trình {mxx −+32y=−y=54 Xác định m để hệ phương trình: a) Có nghiệm b) Vô nghiệm
Bài GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I Lý thuyết giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số 1 Quy tắc thế
Phương pháp cách biến đổi tương đương hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:
Bước Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn)
(6)2 Quy tắc cộng đại số
Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, ta sử dụng phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau :
Bước 1. Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình đả cho để dược phương trình
Bước 2. Dùng phương trình để thay cho hai phương trình hệ phương trình giữ nguyên phương trình ta hệ tương đương với hệ cho
II Các dạng toán thường gặp giải hệ phương trình phương pháp thế Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số. * Phương pháp thế:
Căn vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, ta làm sau:
Bước Rút x y từ phương trình hệ phương trình, thay vào phương trình cịn lại, ta phương trình cịn ẩn
Bước Giải phương trình ẩn vừa có, từ suy nghiệm hệ phương trình cho. Để lời giải đơn giản, ta thường chọn phương trình có hệ số có giá trị tuyệt đối khơng q lớn (thường - ) rút x y có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ qua ẩn lại
* Phương pháp cộng đại số:
Từ quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số ta làm sau:
Bước Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số của ẩn trog hai phương trình đối
Bước Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để thu một phương trình (chỉ cịn ẩn )
Bước Giải phương trình ẩn vừa thu từ suy nghiệm hệ phương trình cho Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn
Phương pháp :
Bước Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn. Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn Dạng 1.
Dạng 3: Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ Phương pháp :
Bước Đặt ẩn phụ cho biểu thức chung phương trình hệ phương trình cho để thu hệ phương trình bậc hai ẩn
Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp Dạng 1, ta tìm được nghiệm hệ phương trình cho
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp :
Một số kiến thức thường sử dụng:
+ Hệ phương trình bậc hai ẩn ' ' ' ax by c a x b y c
có nghiệm(x0;y0)⇔
0 0
' ' '
ax by c
a x b y c
+ Đường thẳng d: ax + by = c qua điểm M(x0;y0) ⇔ ax0 + by0 = c
(7)a) 4 x y x y b) ¿
3x −2y=4 2x+y=5
¿{ ¿ Giải:
* Cách 1: (bằng phương pháp thế) a) 4 x y x y ⇔
3 (4 )
4 x x y x ⇔
3 4
4 x x y x ⇔ x y x ⇔ x y ⇔ 2 x y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 2)
b)
¿
3x −2y=4 2x+y=5
¿{ ¿
⇔
¿
3x −2(5−2x)=4 y=5−2x
¿{ ¿
⇔
¿
3x −10+4x=4 y=5−2x
¿{ ¿
⇔
¿
7x=14 y=5−2x
¿{ ¿
⇔
¿ x=2
y=5−2
¿{ ¿ ⇔ ¿ x=2 y=1 ¿{ ¿
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) * Cách 2: (bằng phương pháp cộng đại số)
a) Ta có:
3 4 x y x y ⇔ x x y ⇔ x y ⇔ 2 x y
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 2)
Lưu ý: bước 1, pt có hệ số ẩn y hai số đối Khi đó, ta cộng vế 2 pt: (3x - y) + (x + y) = (4 + 4) để pt mới: 4x = Đồng thời giữ lại hai pt ban đầu để có hpt
4 x x y . b) ¿
3x −2y=4 2x+y=5
¿{ ¿
⇔
3
2 2.5
x y x y ⇔ ¿
3x −2y=4 4x+2y=10
¿{ ¿
⇔
¿
7x=14 2x+y=5
¿{ ¿
⇔
¿ x=2 2+y=5
¿{ ¿ ⇔ ¿ x=2 y=1 ¿{ ¿
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1)
Lưu ý: bước 1, nhân vế pt (2) với để hệ số ẩn y pt hai số đối nhau. Khi đó, ta cộng vế pt để pt mới: 7x = 14 Đồng thời giữ lại hai pt ban đầu để có hpt
¿
7x=14 2x+y=5
¿{ ¿
.
- Trong q trình làm bỏ qua bước giải:
3
2 2.5
(8)Ví dụ Giải hệ phương trình sau:
1 1
16
3
4 x y x y
Giải: Ta có:
1 1
16
3
4 x y x y
<=>
1 1
16
1 1
3 x y x y
(I) Đặt u =
1
x v = y (I) <=> 16 u v u v
<=>
3 3 16 u v u v
<=>
1 16 16 u v v
<=>
1 48 16 48 u v
<=>
1 24 48 u v Khi đó: 1
x 24 => x = 24 ;
1
y48 => y = 48 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (24; 48)
Ví dụ Tìm giá trị m để đường thẳng (d): y = (2m - 5)x - 5m qua giao điểm hai đường thẳng (d1): 2x + 3y =7 (d2): 3x + 2y = 13.
Giải:
Tọa độ giao điểm M hai đường thẳng (d1và (d2) nghiệm hệ pt:
2
3 13
x y x y
(I)
Ta có: (I) <=>
6 21
6 26
x y x y
<=>
5
2
y x y
<=>
1
2 3.( 1) y x
<=>
1 y x => Giao điểm hai đường thẳng (d1và (d2) M(5; -1)
Vì đường thẳng (d): y = (2m - 5)x - 5m qua giao điểm M(5; -1) nên x = 5; y = -1 Thay x = 5; y = -1 vào y = (2m - 5)x - 5m, ta được:
(2m - 5) - 5m = -1 <=> 10m - 25 - 5m = -1 <=> 5m = 24 <=> m = 24
5 Vậy m =
24
Ví dụ Cho hệ phương trình:
x y mx y 2m
Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy (x; y) thỏa mãn điều kiện: x - y =
Giải: Ta có hệ (I)
x y (1) mx y 2m (2)
(1) <=> x = - y Thay x vào phương trình (2), ta được:
(2) => -m(3 - y) - y = 2m <=> -3m +my - y = 2m <=> (m - 1)y = 5m (*)
Để hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm <=> m - 10 <=> m1 Với m1 từ (*) => y =
5 m m .
Thay y vào phương trình x = - y, ta được: x = -
1 m m =
3
1
m m m
m m
(9)=> Hệ pt (I) có nghiệm (x; y) = (
2
1 m m
;
1 m
m ) (với m1). Theo đề bài, ta có: x - y = <=>
2
1
1
m m
m m
=> ( 2m 3) 5m m 1 <=> -2m - 5m -m = -1 + <=> -8m =
<=> m =
Vậy với m =
Hệ pt (I) có nghiệm
IV Bài tập giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số. Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
a)
3
2 16
x y x y
b)
x y
3x 4y
c)
3x y 2x y
d)
3
2
x y
x y
e)
x 2y 3x 4y
f)
5
4
x y x y
g)
x 4y 4x 3y 11
h)
2
4
1
1
1
1
x y
x y
Bài Xác định hệ số a, b, biết hệ pt:
2x by
bx ay
có nghiệm (x; y) = (1; -2).
Bài 3. Cho hệ phương trình
3
1 x my x y
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nhất? Vơ số nghiệm? b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0, y >
Bài 4. Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau: 3x + 2y = 5; 2x - y = mx + 7y = 11 đồng quy điểm mặt phẳng tọa độ
Bài Xác định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên:
¿
mx+2y=m+1
2x+my=2m−1 ¿{
¿
Bài Cho hệ phương trình
¿
3x −my=−9 mx+2y=16
¿{ ¿
a) Giải hệ phương trình m =
b) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m
c) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy
d) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = Bài GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Lý thuyết giải tốn cách lập hệ phương trình
(10)- Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
Bước Giải hệ phương trình vừa thu phương pháp cộng đại số. Bước Kết luận
- Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn - Kết luận toán
II Các dạng toán thường gặp giải toán cách lập hệ phương trình Dạng 1: Tốn liên quan đến mối quan hệ số
Phương pháp:
Ta thường sử dụng kiến thức sau:
+) Biểu diễn số có hai chữ số : ab10a b , a chữ số hàng chục 0< a ≤ 9, a∈N, b chữ số hàng đơn vị 0≤ b ≤9, b∈N
+) Biểu diễn số có ba chữ số: abc100a10b c , đó: a chữ số hàng trăm < a ≤ 9, a∈N,
b chữ số hàng chục ≤ b ≤ 9, b∈N, c chữ số hàng đơn vị ≤ c ≤ 9, c∈N Dạng 2: Toán chuyển động
Phương pháp:
Ta thường sử dụng công thức s = v.t, v = s.t, t = s.v (s: quãng đường, v: vận tốc, t: thời gian) Dạng 3: Toán làm chung công việc
Phương pháp:
Một số lưu ý giải tốn làm chung cơng việc:
- Có ba đại lượng tham gia là: Tồn cơng việc, phần công việc làm đơn vị thời gian (năng suất) thời gian
- Nếu đội làm xong cơng việc x ngày ngày đội làm
x cơng việc. - Xem tồn cơng việc (cơng việc)
Dạng 4: Toán phần trăm Phương pháp:
- Nếu gọi tổng số sản phẩm x số sản phẩm vượt mức a% (100 + a)%.x (sản phẩm) - Nếu gọi tổng số sản phẩm x số sản phẩm giảm a% (100 − a)%.x (sản phẩm) Dạng 5: Tốn có nội dung hình học
Phương pháp:
Một số cơng thức cần nhớ + Với tam giác:
- Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy) :2 - Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh + Với tam giác vng: Diện tích = Nữa tích hai cạnh góc vng
+ Với hình chữ nhật:
- Diện tích = (Chiều dài) (Chiều rộng) - Chu vi = (Chiều dài + chiều rộng).2 + Với hình vng cạnh a
- Diện tích = a2 - Chu vi = 4.a
Dạng 6: Một số dạng toán khác
(11)Ví dụ (Tốn tìm số) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hai lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại số (có hai chữ số) bé số cũ 27 đơn vị
Giải:
Gọi chữ số hàng chục x (0 < x ≤ 9, x ∈ N) chữ số hàng đơn vị y (0 < y ≤ 9, x ∈ N) Theo điều kiện đầu, ta có: 2y - x = <=> -x + 2y =
Theo điều kiện sau, ta có: (10x + y) - (10y + x) = 27 <=> 9x - 9y = 27 <=> x - y = Ta có hệ phương trình:
2
3 x y x y
<=> 4 y x
<=> y x
Vậy số tự nhiên có hai chữ số 74
Ví dụ (Tốn chuyển động) Một xe tải từ Tp HCM đến Tp Cần Thơ có quãng đường dài 189 km Sau xe tải xuất phát giờ, xe khách bắt đầu từ Tp Cần Thơ Tp HCM gặp xe tải sau 48 phút Tính vận tốc xe, biết xe khách nhanh xe tải 13 km
Phân tích tốn:
Từ lúc xuất phát đến hai xe gặp thì: - Thời gian xe khách 48 phút =
9 5giờ. - Thời gian xe tải +
9 5giờ =
14
5 (vì xe tải khởi hành trước xe khách giờ) Nếu gọi vận tốc xe tải x (km/h) vận tốc xe khách y (km/h) (x > 0, y > 0) thì: - Quãng đường xe tải
14
5 x (km) - Quãng đường xe khách
9
5y (km)
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
13
14
189
5
y x
x y
<=>
13
14 945
x y x y
Có thể dùng bảng sau:
Thời gian (h) Vận tốc (km/h) Quãng đường (km)
Xe tải 14
5 x
14 x
Xe khách
5 y
9 5y Giải:
Gọi vận tốc xe tải x (km/h) vận tốc xe khách y (km/h) (0< x < y) Thời gian xe khách 48 phút =
9 5giờ. Thời gian xe tải +
9 5giờ =
14 giờ. Quãng đường xe tải
14
5 x (km) Quãng đường xe khách
9
(12)Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
13
14
189
5
y x
x y
<=>
13
14 945
x y x y
<=>
9 117
14 945
x y x y
<=>
13 23 828
x y x
<=>
36 13
36 y x
<=>
49 36 y x
Vậy vận tốc xe tải xe khách 36 km/h 49 km/h
Ví dụ (Tốn suất) Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu?
Cách 1:
Phân tích tốn: 25% =
- Nếu gọi thời gian hồn thành cơng việc người thứ x (giờ) thời gian hồn thành cơng việc người thứ hai y (giờ) (x > 0, y > 0)
- Trong giờ, người thứ làm
x (công việc) người thứ hai làm y (công việc)
- Nếu hai người làm
16 (cơng việc) Ta có pt: x +
1 y =
1 16
- Người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Từ đó, ta có pt:
1 x + 6.
1 y =
1 Ta tóm tắt bảng sau:
Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) Năng suất/1
Người thứ x
x
Người thứ y 1y
Hai người 16
16
Ta có hệ pt:
1 1
16
1 1
3 x y
x y
Giải:
Gọi thời gian hồn thành cơng việc người thứ x (giờ) thời gian hoàn thành công việc người thứ hai y (giờ) (x > 0, y > 0)
Trong giờ, người thứ làm
x (công việc) người thứ hai làm
(13)Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
1 1
16
1 1
3 x y
x y
(I) Đặt u =
1
x v = y
(I) <=>
1 16
1
3
4 u v
u v
<=>
3
3
16
3
4 u v u v
<=>
1 16
16 u v
v
<=>
1
48 16 48 u v
<=>
1 24
1 48 u v
Khi đó:
1
x 24 => x = 24 ;
1
y48 => y = 48
Vậy người thứ làm xong công việc 24 người thứ hai làm xong cơng việc 48
Cách 2:
Phân tích tốn: 25% =
- Nếu gọi số phần công việc người thứ làm x (công việc) số phần công việc người thứ làm y (công việc) (x > 0, y > 0)
- Thời gian hoàn thành công việc người thứ làm
x (giờ) thời gian hồn
thành cơng việc người thứ hai làm
y (giờ) - Nếu hai người làm
1
16 (cơng việc) Ta có pt: x + y = 16
- Người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Từ đó, ta có pt: 3.x + 6.y =
1 Ta tóm tắt bảng sau:
Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) Năng suất/1
Người thứ 1
x x
Người thứ 1y y
Hai người 16
16
Ta có hệ pt:
1 16
1
4 x y
x y
Giải:
(14)Thời gian hồn thành cơng việc người thứ làm
x (giờ) thời gian hồn thành cơng việc người thứ hai làm
1
y (giờ)
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
1 16
1
4 x y
x y
(I)
(I) <=>
3
3
16
3
4 x y x y
<=>
1 16
16 x y
y
<=>
1
48 16 48 x y
<=>
1 24
1 48 x y
Khi đó:
1
1:
x 24 =>
x = 24 ;
1
1:
y 48 => y = 48
Vậy người thứ làm xong cơng việc 24 người thứ hai làm xong cơng việc 48
Ví dụ (Tốn có nội dung hình học) Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài bốn lần chiều rộng 20m Tính chiều dài chiều rộng sân trường
Giải:
Gọi chiều dài sân trường hình chữ nhật x (m)
Chiều rộng sân trường hình chữ nhật y (m) (x > y > 0)
Vì chu vi sân trường 340m nên 2(x + y) = 340 hay x + y = 170
Do ba lần chiều dài bốn lần chiều rộng 20m nên ta có pt: 3x - 4y = 20 Ta có hệ pt:
170
3 20
x y x y
<=>
4 680
3 20
x y x y
<=>
7 700
170 x
x y
<=>
100
100 170
x y
<=>
100 70 x y
Vậy chiều dài 100m chiều rộng 70m
IV Bài tập giải tốn cách lập hệ phương trình * Dạng tốn tìm số
Bài 1 Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 28 lấy số lớn chia cho số bé thương số dư (dùng công thức: a = b.q + r)
Bài 2 Tìm hai số tự nhiên biết rằng: Tổng chúng 1012 Hai lần số lớn cộng số nhỏ 2014
Bài 3.Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hai lần chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số cho ta số có hai chữ số lớn số ban đầu * Dạng tốn chuyển động
Bài 4 Có hai ơtơ khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 35 km Hai xe ngược chiều gặp sau Tính vận tốc xe, biết xe từ A nhanh xe từ B 10 km
Bài 5 Một ô tô mô tô khởi hành lúc từ hai địa điểm A B cách 200 km ngược chiều gặp sau 2,5 Tính vận tốc ơtơ mô tô, biết vận tốc mô tô nhỏ vận tốc ôtô 20 km/h
* Dạng tốn suất
(15)hồn thành 15 ngày Hỏi làm riêng ngời phải làm ngày để hồn thành cơng việc
Bài 7 Hai người làm công việc 12 phút xong cơng việc Nếu người thứ làm người thứ hai làm đựơc 50% cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc ?
Bài 8 Hai vịi nớc chảy vào bể khơng có nớc sau đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy vòi thứ hai chảy đợc
14
15 bể nước Hỏi vịi chảy một
mình sau đầy bể ? * Dạng tốn hình học
Bài 9 Hai cạnh góc vng tam giác vuông cm Nếu giảm cạnh lớn cm tăng cạnh nhỏ lên cm diện tích khơng đổi Tính diện tích tam giác vng
Bài 10 Một hình chữ nhật có chu vi 110m Hai lần chiều dài ba lần chiều rộng 10m Tính diện tích hình chữ nhật
Bài 11 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, tăng chiều dài mét giảm chiều rộng mét chiều dài gấp lần chiều rộng Hỏi kích thước khu vườn ?
Bài 12 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 90m Nếu giảm chiều dài 5m chiều rộng
2m diện tích giảm 140m2 Tính diện tích mảnh đất đó.