Một số nghiệm soliton của các phương trình yang mills và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Quốc Hoàn MỘT SỐ NGHIỆM SOLITON CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH YANG-MILLS VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Hà Nội – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Quốc Hồn MỘT SỐ NGHIỆM SOLITON CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH YANG-MILLS VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 62440103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN VIỄN THỌ Hà Nội – 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Những kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Mọi báo đồng tác giả cho phép sử dụng Hà Nội, tháng năm 2014 Giáo viên hướng dẫn Tác giả luận án GS, TSKH Nguyễn Viễn Thọ Nguyễn Quốc Hoàn i Lời cảm ơn Nhìn lại khoảng dài, với năm trục thời gian Thời khoảng mà nhận tình cảm tốt đẹp từ thầy cơ, đồng nghiệp, bạn bè gia đình Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng tơn kính biết ơn đến GS.TSKH Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy tận tình dạy bảo giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin tỏ lịng biết ơn đến thầy giáo Tô Bá Hạ, thầy nhiệt tình giúp đỡ động viên tơi q trình học tập nghiên cứu Bản luận án lời cảm ơn chân thành tới thầy cô Viện Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt thầy, cô bạn Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Những nhận xét tỉ mỉ thầy (cô) phản biện giúp tơi hồn thiện luận án Cá nhân tơi coi học quý báu học tập nghiên cứu Tôi xin gửi tới thầy (cô) phản biện lời cảm ơn chân thành Nhân dịp này, muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo đồng nghiệp Sở Giáo dục Đào tạo Hà Giang - nơi công tác, quan tâm, ủng hộ giúp đỡ quý báu Gia đình điểm tựa vững cho tơi, nơi mà tơi bày tỏ cảm xúc Xin gửi tới gia đình tơi lịng biết ơn sâu nặng tình cảm khơng thể nói lời Nguyễn Quốc Hồn ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn .ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt vi Danh mục hình vẽ đồ thị vii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án 5 Bố cục luận án SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL 1.1 Hệ Yang-Mills khơng có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang 11 1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov dyon Julia – Zee 16 1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov 16 1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee 19 1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) 21 1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn 21 1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) 23 1.4 Trường Yang-Mills không gian Euclide nghiệm instanton 24 iii 1.5 Kết luận chương 26 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC 27 2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm đối xứng trục 27 2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm 28 2.1.2 Nguồn đối xứng trục 31 2.2 Phương pháp số tìm nghiệm phương trình trường cân 32 2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm số topo cao 34 2.3.1 Phương trình trường ansatz đối xứng trục 34 2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục 35 2.3.3 Mô nghiệm trường [III, IV] 37 2.3.4 Sự phân bố không gian vector điện, từ trường phi Abel [IV] 39 2.3.5 Sự phân bố không gian mật độ lượng trường phi Abel [III, IV] 41 2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số nghiệm giải tích 42 2.4.1 Giới thiệu phương trình Yang-Mills với nguồn dạng sợi dây 43 2.4.2 Nghiệm tĩnh phương trình 44 2.4.3 Nghiệm sóng phương trình [VI] 52 2.5 Kết luận chương 56 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG TRƯỜNG CHUẨN 58 3.1 Hạt màu trường chuẩn - Phương trình Wong 59 3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn [V] 65 iv 3.3 Đối xứng Lorentz địa phương toán hạt trường hấp dẫn 74 3.4 Kết luận chương 76 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN 77 4.1 Hạt trường Wu-Yang 77 4.2 Hạt trường đơn cực 'tHooft-Polyakov trường soliton BPS 84 4.2.1 Hạt trường gauge 'tHooft 84 4.2.2 Hạt trường soliton BPS 88 4.3 Chuyển động hạt trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills 93 4.3.1 Thế hiệu dụng chuyển động hạt [V] 93 4.3.2 Quỹ đạo chuyển động hạt [II, V] 98 4.4 Kết luận chương 99 KẾT LUẬN 100 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án 103 Tài liệu tham khảo 104 Phụ lục 111 v Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt : : : : : : : : : : : : : : : : Mật độ Lagrangian Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng ma trận Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng thành phần Thế Yang-Mills Tensor cường độ trường gauge dạng thành phần Vector màu Đạo hàm hiệp biến Đạo hàm phản biến Mật độ dịng nguồn ngồi Điện trường phi abel dạng thành phần Từ trường phi abel dạng thành phần Số topo Mật độ lượng trường phi abel 4-xung lượng tắc Spin đồng vị hạt Các vi tử phản Hermit nhóm Lorentz : : : : Hằng số cấu trúc nhóm Lorentz Cường độ trường trường gauge Lorentz Ma trận phép quay thông số không gian Hàm ma trận vi Danh mục hình vẽ đồ thị Hình 2.1 Thế phi Abel với nguồn ngồi kỳ dị 38 Hình 2.2 Thế phi Abel với nguồn ngồi kỳ dị 38 Hình 2.3 Sự phân bố khơng gian điện trường phi Abel Hình 2.4 Sự phân bố đường từ trường phi Abel vector nguồn ngồi kỳ dị với 40 Hình 2.5 Sự phân bố không gian mật độ lượng trường nguồn ngồi kỳ dị với 41 Hình 2.6 Sự biến thiên lượng trường tổng cộng theo giá trị tích 42 màu với nguồn ngồi kỳ dị Hình 2.7 Thế phi Abel với nguồn ngồi dạng sợi dây 46 Hình 2.8 Thế phi Abel với nguồn ngồi dạng sợi dây 47 Hình 2.9 Sự phân bố khơng gian mật độ lượng trường nguồn dạng sợi dây Hình 2.10 Các hàm profile vortex tĩnh ; Mật độ tích màu mật độ lượng với nguồn ngồi dạng sợi dây Hình 2.11 Sự biến thiên lượng tổng cộng Abel với nguồn dạng sợi dây Hình 4.1 Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo tồn phần Hình 4.2 Đường biểu diễn hiệu dụng Schwarzschild-like Hình 4.3 Đường cong hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, hiệu 98 dụng giới hạn Newton hiệu dụng lý thuyết tổng quát Einstein theo vii 40 với 47 49 vào tổng điện tích phi 52 theo theo 96 97 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết trường gauge Yang-Mills [1] đề xướng vào năm 1954 Ý tưởng dựa yêu cầu xây dựng Lagrangian bất biến phép biến đổi đối xứng nội Ngày lý thuyết trường gauge Yang-Mills thừa nhận rộng rãi hình thức luận khung cho lý thuyết thống tương tác điện từ tương tác yếu, cho sắc động lực lượng tử tương tác mạnh Đầu tiên khám phá Glashow vào năm 1960 cách thức để thống tương tác điện từ tương tác yếu [2], với việc sử dụng mơ hình chưa hồn chỉnh mặt vật lý lượng tử trường khơng có khối lượng Năm 1967, Weinberg [3] Salam [4] kết hợp chế Higgs [5, 6, 7] vào lý thuyết Glashow giúp cho việc sinh khối lượng boson gauge, kết xây dựng thành cơng mơ hình thống tương tác điện - yếu, gọi mơ hình Weinberg-Salam chế Higgs cho nguyên nhân tạo nên khối lượng cho hạt Sự thành công thuyết phục hầu hết nhà Vật lý lý thuyết gauge phi Abel tương tác điện - yếu lý thuyết vật lý hồn hảo Đặc biệt, sau tìm thấy dịng yếu trung hòa gây trao đổi boson CERN năm 1973 [8, 9, 10], lý thuyết điện - yếu chấp nhận cách rộng rãi Glashow, Weinberg, Salam trao giải Nobel Vật lý năm 1979 Tiếp cơng trình xây dựng sắc động lực học lượng tử (viết tắt QCD) lý thuyết tương tác mạnh dựa bất biến phép biến đổi gauge nhóm Ngày nay, hầu hết thí nghiệm kiểm chứng ba lực miêu tả mơ hình chuẩn dự đốn thuyết Tuy nhiên, mơ hình chuẩn chưa thuyết thống lực tự nhiên cách hoàn toàn, vắng mặt lực hấp dẫn [ ][ ] (4.65) √ đó, ta đặt Ta thấy , (4.65) hàm thực với dấu trước thức) có giá trị âm Do đó, số [ ] (4.65) triệt tiêu Vì tiệm cận đến (√ ) triệt tiêu thừa tăng cách đơn điệu , nên phương trình nghiệm đơn trị √ có nằm khoảng Tình minh họa hình 4.1, chúng tơi √ vẽ (tương ứng cho trường hợp √ Đường lấy thí dụ cho cắt đường cong thỏa mãn điểm , khoảng cách mà hiệu dụng đạt cực tiểu Hình 4.1 Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo Với giá trị thông số vẽ đường biểu diễn hiệu dụng theo hình 4.2 Từ chúng tơi nhận khác cách định lượng kiểu quỹ đạo chuyển động hạt 96 Hình 4.2 Đường biểu diễn hiệu dụng Schwarzschild-like Nếu lượng tổng cộng hạt lớn theo hình 4.2) ( chuyển động hạt tiến vô cực, trái lại lượng nằm khoảng ( hình 4.2) chuyển động bị giam giữ Hình vẽ 4.2 giống hiệu dụng trường lực hấp dẫn Để có so sánh hiệu dụng (4.64) với tương ứng lý thuyết hấp dẫn Newton Einstein ta sử dụng hệ đơn vị ký hiệu theo sách tài liệu [77] Theo , khối lượng, lượng moment quỹ đạo chuyển thành độ dài Dưới minh họa việc so sánh hiệu dụng hạt không thời gian Schwarzschild thuyết tương đối rộng (GR): [( )( (4.66) )] giới hạn Newton (4.67) thông số chọn Trong hình 4.3 chúng tơi vẽ đường cong Yang-Mills tựa Schwarzschild theo phương trình (4.64), thông số cho hạt thử chọn với , , , , đơn vị trục hồnh 97 , Hình 4.3 Đường cong hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, hiệu dụng giới hạn Newton hiệu dụng lý thuyết tổng quát Einstein theo Hình vẽ cho thấy hầu hết phần đuôi đoạn tiệm cận Ngồi cịn có điều thú vị là, với vùng , chẳng hạn khác đáng kể, song khoảng cách , hồn tồn tương tự Đường (chấm đứt) cho hiệu dụng hạt không thời gian Schwarzschild; đường nét đứt cho giới hạn Newton; đường nét liền cho hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild 4.3.2 Quỹ đạo chuyển động hạt [II, V] Để tìm quỹ đạo chuyển động hạt, ta phải tìm nghiệm phương trình (4.62) Các thơng số phương trình (4.62) coi thơng số tự lý thuyết mà đưa vào để làm tăng tính tổng qt cho mơ hình lý thuyết Cho giá trị khác sử dụng chương trình Mathematica 7.0 với gói phần mềm phương pháp Runge-Kutta với điều kiện ban đầu ̇ Chúng vẽ quỹ đạo chuyển động hạt (khơng đưa hình 98 vẽ đây), có dạng tựa tiến động hành tinh định luật Kepler gọi quỹ đạo Kepler-like 4.4 Kết luận chương Những kết thu chương cho thấy đối xứng gauge Lorentz coi cách mô tả tương tác hấp dẫn kiểu Yang-Mills đóng góp cho việc nghiên cứu phát triển lý thuyết để thống tương tác tự nhiên Trong chương chúng tơi tìm cách mở rộng đối xứng địa phương unitary cho đối xứng không-thời gian cách Phương pháp dựa phương trình Wong tương tự điện tích chuyển động trường điện từ Đối với lý thuyết này, trường hấp dẫn coi trường gauge Lorentz, thành phần trường phần tự đối ngẫu liên quan tới spin [78, 79, 80, 81, 82, 83] Cách tiếp cận chúng tơi trình bày đưa đến gần tốn chuyển động hạt trường hấp dẫn miền gần điểm kỳ dị, cịn ngồi miền phù hợp với lý thuyết hấp dẫn riêng phần khác Nhiệm vụ để nghiên cứu lý thuyết hấp dẫn theo hướng coi vấn đề cịn để ngỏ, phải tìm cách để tiến gần đến điểm kỳ dị Chúng coi hướng tiếp cận toán chuyển động hạt trường hấp dẫn bên cạnh nhiều hướng nghiên cứu khác Tuy nhiên, để có kết luận đầy đủ hướng nghiên cứu cần phải có nhiều nghiên cứu tỉ mỉ công phu 99 KẾT LUẬN Trong luận án này, chúng tơi trình bày nghiên cứu lý thuyết mơ hình trường chứa nghiệm soliton lý thuyết phi tuyến Yang-Mills Yang-Mills-Higgs cách xây dựng chương trình tìm nghiệm, mơ kết tìm hiểu ý nghĩa vật lý nghiệm Để từ làm sáng tỏ số vấn đề động lực học tương tác hạt Đồng thời mở rộng phạm vi nghiên cứu tương tác gauge cho nhóm đối xứng khơng thời gian (nhóm Lorentz) cách tiếp cận với toán hạt trường hấp dẫn Các kết cụ thể thu sau: Chúng tơi xây dựng thuật tốn lập chương trình giải số để tìm nghiệm hệ phương trình phi tuyến rút từ tương tác trường Yang-Mills với nguồn ngồi cách sử dụng tính chất đối xứng hệ vật lý ansatz tìm nghiệm Chương trình cho phép tìm nghiệm với số topo tùy ý Với nghiệm tìm được, tính tốn vẽ tường minh điện trường, từ trường phi Abel mật độ lượng với số topo khác Qua chúng tơi tìm thấy số tính chất vật lý hệ tương tác này, thay đổi phân bố không gian của: Mật độ lượng trường; trường Yang-Mills; điện từ trường phi Abel, theo số topo Một kết thú vị tượng che chắn tích rẽ nhánh lượng trường số topo cao tích màu có giá trị lớn Từ chương trình giải số tốn nguồn ngồi hai tích màu, chúng tơi mở rộng số nguồn ngồi lên đặc biệt khảo sát trường hợp cho điểm nguồn nằm tất nút lưới trục với giá trị Lúc nguồn ngồi coi gần sợi dây vô hạn Kết nghiệm mà chúng tơi thu dự đốn, đặc tính trường cịn phụ thuộc vào khoảng cách tới "dây" Chúng mô kết 100 tìm hiểu thay đổi phân bố không gian mật độ lượng, trường Yang-Mills vào số topo Ngồi ra, chúng tơi tìm lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn dạng dây Với trường hợp nghiệm tĩnh chứng minh tượng rẽ nhánh đồ thị lượng phụ thuộc độ lớn tích màu, cịn nghiệm phụ thuộc thời gian có dạng sóng trụ mang đặc điểm như: có truyền tải xung lượng, khơng phát xạ màu, tích màu tổng cộng nguồn không đổi theo thời gian Những kết nghiên cứu đăng báo [III, IV, VI] Từ việc nghiên cứu nghiệm phương trình trường chuẩn nói trên, chúng tơi mở rộng mơ hình cho tương tác hấp dẫn cách sử dụng phương pháp mơ tả tương tác từ nhóm unita sang nhóm đối xứng khơng-thời gian - nhóm Lorentz, kết hợp với việc dùng ngơn ngữ tốn học bó thớ, phép tham số hóa vector, phức hóa vector Chúng tơi tìm hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển động trường Yang-Mills nhóm Chúng tơi tìm nghiệm hệ phương trình Wong mở rộng trường hợp phi tương đối tính cho chuyển động hạt màu hiệu dụng Yang-Mills (khi khơng có trường Higgs) có dạng tương tự Schwarzschild lý thuyết hấp dẫn, qua tìm cách mơ tả tương tác hạt trường hấp dẫn hiệu dụng cho tương tác hạt So sánh kết với cách mơ tả hấp dẫn biết, lý thuyết hấp dẫn Newton, lý thuyết tương đối tổng quát Einstein Kết thú vị quỹ đạo hạt có dạng tựa Kepler, cịn hiệu dụng có dạng tựa Schwarzschild Tại vùng khơng xa điểm kỳ dị tìm thấy thống tương tác tự nhiên, cịn miền có khác chuyển động hạt màu bị giam giữ miền Mặc dù để mơ tả tương tác đơn lẻ, có lý thuyết riêng phần xác, song việc tìm lý thuyết đầy đủ để mơ tả tất tương tác toán thách thức nhà vật lý Vì với cách 101 tiếp cận tương tác hấp dẫn kiểu Yang-Mills phần này, chúng tơi hy vọng có đóng góp vào hướng nghiên cứu tốn lớn Những kết nghiên cứu đăng báo [II, V] báo cáo Hội nghị Vật lý Quốc tế [I] Các kết góp phần làm phong phú hiểu biết cấu trúc lý thuyết Yang-Mills, mà thừa nhận lý thuyết đóng vai trị tảng để xây dựng mơ hình lý thuyết mô tả tương tác tự nhiên 102 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án [I] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2009) A Test for the Local Intrinsic Lorentz Symmetry The 5th International Conference on Flavor Physics, Hanoi, September 24-30, 2009 [II] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2010), On the Yang-Mills gravity Communications in Physics, Vol 20, №3, (2010) pp 271 [III] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha and Nguyen Quoc Hoan (2010) Solutions for Yang-Mills field with singular source terms and higher topological indices Proc Natl Conf Theor Phys., 35 (2010), pp 80-85 [IV] Nguyen Quoc Hoan (2012) Properties of Yang-Mills Field with Axially Symmetric External Color Charge Sources Proc Natl Conf Theor Phys 37 (2012), pp 187-192 [V] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2012) A Test for the Local Intrinsic Lorentz Symmetry Journal of Physical Science and Application (8) (2012), pp 328-334 [VI] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha and Nguyen Quoc Hoan (2013) Vortex Solutions of the Yang-Mills Field Equations with External Sources Journal of Physical Science and Application (1) (2014), pp 50-59 103 Tài liệu tham khảo [1] C N Yang and R L Mills (1954) Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance Phys Rev 96, pp 191-195 [2] S L Glashow (1961) Partial-Symmetries of weak interaction Nucl Phys 22, pp 579-588 [3] A Abada, A J R Figueiredo, J C Romao and A M Teixeira (2011) Probing the supersymmetric type III seesaw: LFV at low-energies and at the LHC arXiv: 1104.3962 [hep-ph] [4] J Abdallah (2005), Photon events with missing energy in collision at Eur Phys J C 38, 395 [arXiv: hep√ ex/0406019] [5] F Englert, R Brout (1964) Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons Phys Rev Lett 13, pp 321-323 [6] P W Higgs (1964), Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons Phys Rev Lett 13, pp 508-509 [7] G S Guralnic, C R Hagen and T W B Kibble (1964) Global Conservation Laws and Massless Particles Phys Rev Lett 13, pp 585587 [8] F J Hasert (1973) Search for elastic muon-neutrion electron scattering Phys Lett B 46, pp 212 [9] F J Hasert (1973) Observation of neutrino-like intractions without muon or electron in the gargameelle neutrino experiment Phys Lett B 46, pp 138 [10] F J Hasert (1974) Observation of neutrino-like intractions without muon or electron in the Gargamelle neutrino experiment Nucl Phys B 73, pp [11] E B Bogomolny (1976) The stability of classical solutions Sov J Nucl Phys 24, pp 499-454 [12] A A Abrikosov (1957) On the magnetic Properties of Superconductors of the Second Group Sov Phys JETP 5, pp 1174 104 [13] W J Zakrzewski (1989) Low Dimentional Sigma Models Bristol, Institute of Physics Publishing [14] A M Polyakov (1974) Particle spectrum in quantum field theory JETP Lett 20, pp 194-195 [15] G ’t Hooft (1974) Magnetic monopoles in unified gauge theories Nucl Phys B 79, pp 276-284 [16] T H R Skyrme (1961) A nonlinear field theory Proc R Soc Lond A260, pp.127 [17] T H R Skyrme (1962) A unified field theory of mesons and baryons Nucl Phys 31, pp 556 [18] A A Belavin, A M Polyakov, A S Schwartz and Y S Tyupkin (1975) Pseudoparticle solution of the Yang-Mills equations Phys Lett B 59, pp 85-88 [19] S Coleman (1977) Non-Abelian plane waves Phys Lett 70B, pp 59-60 [20] T T Wu and C N Yang (1968) Properties of Matter Under Unusual Conditions edited by H Mark and S Fernbach (Intercience, New York) [21] B Julia and A Zee (1975) Poles with both magnetic and electric charges in non-Abelian gauge theory Phys Rev D 11, pp 2227-2232 [22] J P Hsu and E Mac (1977) Symmetry and exact dyon solutions for classical Yang–Mills field equations J Math Phys 18, pp 100 [23] A M Polyakov (1975) Isomeric states of quantum fields Sov Phys JETP 41, pp 988-995 [24] A M Polyakov (1975) Compact gauge fields and the infrared catastrophe, Phys Lett B 59, pp 82-84 [25] E B Bogomolny and M S Marinov (1976), Calculation of the monopole mass in gauge theory Sov J Nucl Phys 23, pp 355 [26] M K Prasad and C M Sommerfield (1975) Exact Classical Solution for the 't Hooft Monopole and the Julia-Zee Dyon Phys Rev Lett 35, p 760762 [27] B Kleihaus, J Kunz (1999) Monopole-antimonopole solution of the SU(2) Yang-Mills-Higgs model Phys Rev D 61, 025003 105 [28] J Jersák (1995) Numerical simulations in quantum field theory of elementary particles Journal of Computational and Applied Mathematics 63, pp 49-56 [29] F Karsch and E Laermann (1993) Numerical simulations in particle physics Rep Prog Phys 56 Printed in the UK, pp 1347-1395 [30] D F Litim, M C Mastaler, F Synatschke-Czerwonka, and A Wipf (2011) Critical behavior of supersymmetric O(N) models in the large-N limit Phys Rev D 84, 125009 [31] C Wozar, A Wipf (2011) Supersymmetry Breaking in Low Dimensional Models Annals Phys 327, arXiv:1107 3324 [hep-lat] [32] H Gies, F Synatschke, A Wipf (2009) Supersymmetry breaking as a quantum phase transition Phys Rev D80: 101701 [33] V De Alfaro, S Fubini, G Furlan (1976) A new classical solution of the Yang-Mills field equations Phys Lett B 65, pp 163-166 [34] C Rebbi, P Rossi (1980) Multimonopole solutions in the PrasadSommerfield limit Phys Rev D 22, pp 2010-2017 [35] B Kleihaus, J Kunz, Y Shnir (2003) Monopoles, antimonopoles, and vortex rings Phys Rev D 68 (2003) 101701(R) [36] R Jackiw, L Jacobs and C Rebbi (1979) Static Yang-Mills field with sources Phys Rev D 20, pp 474-486 [37] M P Isidro Filho, A K Kerman and H D Trottire (1989) Topologically nontrivial solutions to Yang-Mills equations with axisymmetric external sources Phys Rev D 40, pp 4142-4150 [38] P Sikivie and N Weiss (1978) Screening Solutions to Classical YangMills Theory Phys Rev Lett 40, pp 1411-1413; P Sikivie and N Weiss (1978) Classical Yang-Mills theory in the presence of external sources Phys Rev D 18, pp 3809 [39] J E Mandula (1977) Total charge screening Phys Lett B 69, pp 495498 [40] C H Oh (1993) Analytic solutions of the Yang-Mills field equations with external sources of higher topological indices Phys Rev D 47, pp 16521655 106 [41] H B Nielsen and P Olesen (1973) Vortex-line models for dual string Nucl Phys B 61, pp 45-61 [42] S Mandelstam (1976) Vortices and quark confinement in non-Abelian gauge theories Phys Rept 23, pp 245-349 [43] A J Niemi, K Palo and S Virtanen (2000) (Meta) stable closed vortices in 3+1 dimensional gauge theories with an extended Higgs sector Phys Rev D 61, 085020 [44] A Achucarro and T Vachaspati (2000) Semilocal and electroweak strings Phys Rept 327, pp 347-426 [45] P Forgács, S Reuilon and M S Volkov (2006) Superconducting Vortices in Semilocal Models Phys Rev Lett 96, 041601; P Forgács, S Reuilon and M S Volkov (2006) Twisted superconducting semilocal strings Nucl Phys B 751, pp 390-418 [46] H J de Vega and F A Schaposnik (1986) Vortices and electrically charged vortices in non-Abelian gauge theories Phys Rev D 34, pp 3206-3213 [47] F A Schaposnik and P Suranyi (2000) New vortex solution in SU(3) gauge-Higgs theory Phys Rev D 62, 125002 [48] M Shifman and A Yung (2007) Supersymmetric solitons Rev Mod Phys 79, pp 1139-1196 [49] J E Mandula (1976) Classical Yang-Mills potential Phys Rev D 14, pp 3497-3507 [50] H J de Vega and F A Schaposnik (1976) Classical vortex solution of the Abelian Higgs model Phys Rev D 14, pp 1100 [51] E J Weinberg (1979) Multivortex solution of the Ginzburg-Landau equations Phys Rev D 19, pp 3008-3012 [52] C H Oh and R R Parwani (1987) Bifurcation in the Yang-Mills field equations with static sources Phys Rev D 36, pp 2527-2531 [53] E Rothwell and M Cloud (2001) Electromagnetics CRC Press, 2001 Chap [54] C H Oh, C H Lai and R The (1987) Color radiation in the classical Yang-Mills theory Phys Rev D 36, pp 2527-2531 107 [55] S G Matinyan, E B Prokhorenko, and G K Savvidy (1986) Stochastic nature of spherically symmetric solutions of the time-dependent YangMills equations, JETP Lett 44, pp 138-141 [56] M Alford, K Rajagopal and F Wilczek (1998) QCD at finite baryon density: nucleon droplets and color superconductivity, Phys Lett B 422, pp 247-256; [57] R Rapp, T Scha efer, E V Shutyak and M Velkovsky (1998) Diquark Bose Condensates in High Density Matter and Instantons Phys Rev Lett 81, pp 53-56 [58] M Alford, K Rajagopal and F Wilczek (1999) Color-Flavor Locking and Chiral Symmetry Breaking in High Density QCD Nucl Phys B 537, pp 443-488 [59] R Rapp, T Scha efer, E V Shutyak and M Velkovsky (2000) HighDensity QCD and Instantons Ann Phys (N.Y.) 280, pp 35-99 [60] S K Wong (1970), Fiels and particle equations for the classical YangMills field and particle with isotopic spin Nuovo Cim 65A, pp 689 [61] L S Brown, W I Weinberg (1979) Vacuum polarization in uniform nonAbelian gauge field Nucl Phys, B157, pp 285-326 [62] S Kobayashi, K Nomizu (1969) Foundations of differential geometry Vol 1, (Ed.) Wiley, NewYork [63] M Daniel, C.M Viallet (1980) The geometrical settings of gauge theory of the Yang-Mills type Rev Mod Phys 52, pp 175-197 [64] A Duriryak (2000) Classical mechanics of Relativistic Particle Proceeding of Institude of Mathematics of NAS of Ukraine, pp 473 [65] N V Tho (2008) Interaction of imaginary-charge-carrying dyon with particles Journal of Mathematical Physics 49 (2008) 062301-1-10 [66] V I Kuvshinov and N V Tho (1994) Local vector parameters of group, Cartan forms, and application to theories of gauge and chiral field Phys Part Nucl 25(3), pp 253-271 [67] F I Fedorov (1979) Lorentz Group (Nauka, Moscow 1979); (Editorial USSR, Moscow, 2003) 108 [68] V I Kuvshinov, N V Tho (1993) A new method for calculating the Cartan forms and applications to gauge and chiral field theories J Math Phys A 26 (1993) 631-645 [69] D Singleton (1995) Exact Schwarzschild-like solutions for Yang-Mills theories Phys Rev D 51, pp 5911-5914 [70] A H Chamseddine (2004) SL(2,C) gravity with complex vierbein and its noncommutative extension Phys Rev D 69 (2004) 024015 [71] T T Wu, C N Yang (1976) Static sourceless gauge field Phys Rev D 13, pp 3233-3236 [72] A I Alekseev and B A Arbuzov (1985) Interaction of color charges Teoret Mat Fiz., 65, pp 202–211 [73] R M Fernandes, P S Letelier (2005) Motion of a particle with Isospin in the Presence of a Monopole arXiv: hep-th/0508219, vl [74] J Schechter (1976), Yang-Mills particle in ’t Hooft’s gauge Field Phys Rev D 14(2), pp 524-527 [75] A Azizi (2002), Planar trajectories in a monopole field J Math Phys 43, pp 299 [76] R M Fernandes, P S Letelier (2004) Motion of coloured particles in soliton of the O(3) non-linear model Proceeding of Science [77] C W Misner, K S Thorn, J A Wheeler (1973) Gravitation (Ed.) W H Freedman and Company, San Francisco, pp 25 [78] F W Held, P Von de Heyde, D Kerlick, J Nester (1976) General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects Rev Mod Phys 48, pp 393-416 [79] A Ashtekar (1986) New variables for classical and quantum gravity Phys Rev Lett 57, 18, pp 2244-2247 [80] A Ashtekar (1987) New Hamiltonian formalism of general relativity Phys Rev D 36, pp 1587-1602 [81] G ’t Hooft (1991) A chiral alternative to the vierbein fiel in general relativity Nucl Phys B 357 (1991), pp 211-221 109 [82] R K Kaul (2006) Gauge theory of gravity and supergravity Phys Rev D 73, (2006) 065027-1-13 [83] A H Chamseddine (2006) Applications of the gauge principle to gravitational interactions International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 03 (2006), pp 149-176 110 ... trình Yang- Mills ứng dụng? ?? Nhằm nghiên cứu sâu nghiệm soliton lý thuyết Yang- Mills Yang- Mills- Higgs, tìm thêm số nghiệm ứng dụng Các kết nội dung nghiên cứu nghiệm phương trình Yang- Mills so với... nghiệm tĩnh với đối xứng cầu phương trình Yang- Mills cổ điển với nhóm chuẩn từ nghiên cứu ứng dụng nghiệm cổ điển toán lượng tử Trong luận án chọn đề tài ? ?Một số nghiệm soliton phương trình Yang- Mills. .. số Nếu thỏa mãn yêu cầu sai số đặt cho kết cuối 2.3 Nghiệm phương trình Yang- Mills với hai nguồn điểm số topo cao Bây ta áp dụng phương pháp tính số vừa trình bày vào việc tìm nghiệm phương trình