Bài giảng số 2: Hệ thức về cạnh và goc trong tam giác vuông

Dạng 3: Dạng bài sử dụng kiến thức hệ thức lượng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để giải quyết bài toán khác.. III.[r]

Bài giảng số 2: Hệ thức cạnh góc tam giác vng

I Lý thuyết

Tỉ số cạnh đặc trưng cho độ lớn góc nhọn xét gọi tỉ số

lượng giác góc nhọn ABC  ta có:

;

;

*Áp dụng tỉ số lượng giác để tính cạnh tam giác vuông ABC:

b = a.sinB = a.cosC c = a.sinC = a.cosB b = c.tanB = c.cotanC c = b.tanC = b.cotanB

* Ghi nhớ:

- Trong tam giác vng, cạnh góc vng cạnh huyền nhân sin góc đối cạnh huyền

nhân cos góc kề

- Trong tam giác vng, cạnh góc vng cạnh góc vng cịn lại nhân tan góc đối

cotan góc kề sinα = b

a

cosα = c a b

tanα = c

c cotgα =

- Một số công thức bổ sung:

2

2

2

sin α + cos α = 1; tan cot = 1; sinα = cos(90 - α); tanα cot(90 - α)

1

1 cot ; tan α

sin α cos α

o o

 





   

II Các dạng tập phương pháp giải

Dạng 1: Dạng tính cạnh, đoạn thẳng nhờ áp dụng hệ thức lượng tỉ số lượng giác của góc nhọn tam giác vuông

*Phương pháp giải chung

- Ghi nhớ hệ thức phần lí thuyết

- Thể kiện đề cho hình vẽ

- Quan sát hình xét xem cạnh, đoạn thẳng tìm số đo hệ thức nào, cơng thức nào? Tính theo hệ thức, cơng thức hợp lý

- Vận dụng thêm định lí Talet, định lý đường phân giác tam giác cần thiết - Sử dụng MTBT để tính góc biết tỉ số lượng giác

Ví dụ

Cho ABC vng A có AB = ; AC = a) Tính tỉ số lượng giác góc C

b) Từ kết câu a)  Các tỉ số lượng giác góc B

a Theo Pitago

BC = 2

AC

AB  = 2

4

3  = 25= sinC = BC AB =

; cosC =

BC AC

=

5

; tanC =

AC AB = ; cotC = AB AC =

SinB = cosC =

5

; cosB = sinC =

4

tanB = cotC =

3

; cotB = tanC =

4

Dạng 2: Dạng biến đổi biểu thức lượng giác, chứng minh đẳng thức Ví dụ Đơn giản biểu thức sin1 sin  

Giải

      2

sin1 sin   1 sin sin   1 sin  cos 

Dạng 3: Dạng sử dụng kiến thức hệ thức lượng tỉ số lượng giác góc nhọn trong tam giác vng để giải toán khác

III Bài tập luyện tập

Dạng

Bài Cho tam giác vng ABC Tính tỉ số lượng giác góc B góc B có số đo trường hợp 300; 450; 600

Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Tính tỉ số lượng giác góc: ABH HAB

Bài Cho ∆ABC vuông A, kẻ đường cao AH Biết AB = 6cm, ˆ 50o

B , tính AH, AC, CH

Bài Cho tam giác vng A có đường cao AH chia BC thành BH=64cm CH=81cm Tính cạnh góc tam giác ABC

Bài Cho ABC vng A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi: a BC =5cm AB =3cm

b BC =13 cm AC =12 cm c AC = 4cm AB =3cm Bài Dựng góc nhọn , biết sin

2

 

Bài Dựng góc nhọn , biết tan

 

Bài Cho biết tan  Tính tỉ số lượng giác cịn lại

Bài 10 ChoABC có góc C = 20o; ˆB= 300 ; BC = 60cm Đường cao kẻ từ AP Hãy tính AP?; AC?

Bài 12: Cho ABC vng A có AB=10cm AC=15cm a Tính góc B

b Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c Vẽ AH  BI H Tính AH

Dạng

Bài Đơn giản biểu thức a) - sin2

b) (1 - cos).(1+ cos) c) 1+ sin2  + cos2

e) sin4  + cos4  + 2sin2.cos2 

f) sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 –

2

g) tan210 tan220 tan230 tan2870 tan2880 tan2890

h) (tan2 10 : cotan2 890) + (tan2 20 : cotan2 880) + .+ (tan2 440 : cotan2 460) + tan2450

i) 2 2 2 2

sin 10osin 20osin 30osin 40osin 50osin 60osin 70osin 80o

Bài Cho  góc nhọn Chứng minh:

1 tan cos sin tan cos sin

  

  

  

 

Bài Cho hình thang ABCD có Bˆ Cˆ 90o Hai đường chéo vng góc với H

Biết AB = 5cm, HA = 3cm

a) Chứng minh: HA:HB:HC:HD=1:2:4:8 b) Chứng minh: 12 - 12 = 12 - 12

AB CD HB HC

Dạng

Bài Cho tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo, AC  4cm BD;  5cm Hai đường chéo cắt có góc 50 độ Tính diện tích tứ giác ABCD đưa công thức tổng quát

Bài Cho tam giác ABC vng A có dường phân giác AF Biết BD = 3cm, DC = cm Tính cạnh tam giác ABC?

Bài Một hình thang cân có đường chéo vng góc với cạnh bên Tính chu vi diện tích hình thang biết đáy nhỏ dài 14 cm đáy lớn dài 50 cm

Bài Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy 3cm 14 cm Độ dài đường chéo 8cm 15 cm Tính diện tích hình thang ABCD ?