Điều kiện cần cực trị và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương trình elliptic62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI TRỌNG KIÊN PGS TS NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả luận án Vũ Hữu Nhự LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình TS Bùi Trọng Kiên PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Trước tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Trọng Kiên - người đặt toán, giúp đỡ, bảo tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Điển, người hướng dẫn tận tình ln động viên tác giả q trình học tập, nghiên cứu Tiếp theo, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn GS J.-C Yao giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả làm thực tập sinh 06 tháng Đại học Quốc gia Tôn Trung Sơn (National Sun Yat-sen University, Kaosiung, Taiwan, 3/2013 - 9/2013) Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học tập thể thầy cô giáo trường Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trình học tập nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo trường Học viện Quản lý giáo dục, Ban Lãnh đạo trường Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, thầy giáo bạn đồng nghiệp Khoa Công nghệ thông tin – Học viện Quản lý giáo dục Khoa Cơ – Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng ln động viên giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Nhờ ý kiến nhận xét góp ý quý báu GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, PGS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Phạm Ngọc Anh, PGS.TS Nguyễn Quang Huy TS Lê Huy Chuẩn – Thầy Hội đồng chấm luận án cấp sở Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Quốc gia, luận án cải thiện đáng kể so với dự thảo luận án ban đầu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Hội đồng chấm luận án cấp sở dẫn quan trọng Xin chân thành cám ơn GS.TSKH Hoàng Xuân Phú, GS.TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS.TS Tạ Duy Phượng, PGS.TS Phan Thành An, TS Nguyễn Quỳnh Nga, thầy cô bạn đồng nghiệp góp nhiều ý kiến quý báu thời gian tác giả tham dự Xêmina Phòng Giải tích số Tính tốn khoa học Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy phản biện độc lập nhận xét quý báu, nhờ mà thảo lần có cải thiện đáng kể Cuối cùng, xin cám ơn bạn nghiên cứu sinh gia đình, bạn bè chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Ánh xạ đa trị 1.2 Giải tích biến phân 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 Giải tích lồi 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 Không gian Sobolev phư 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Chương Điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp 2.1 Bài tốn quy hoạch toán học 2.1.1 2.1.2 2.2 Bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa hợp Chứng minh Định lý 2.7 Hệ Các ví dụ Kết luận 2.3 2.4 2.5 Chương Điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái 3.1 Các điều kiện cần cực trị cho toá 3.2 Các điều kiện cần cực trị bậc hai ch elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc 3.3 Kết luận Chương Tính ổn định nghiệm số toán điều khiển tối ưu elliptic cha tham s 4.1 Tớnh liờn tc Holderă ca ỏnh xạ ngh 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.2 Tính nửa liên tục ánh xạ n 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 Kết luận Kết luận kiến nghị Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo F:X Y Dom(F), Graph(F), Im(F) miền hữu hiệu, đồ thị, miền ảnh R R N N X X không gian WCG hx , xi kxk kxkX jx j T x [x1, x2] ˘ x2A x 2/ A A B(B A) A*B A\B A[B AnB A B A+B jA j BX BX(x, r) d(x, K) ¶BX(x, r) biên hình cầu tâm x bán kính r X SX mặt cầu đơn vị khơng gian X T tốn tử liên hợp toán tử T T T(K, x) [ ánh xạ ngược ánh xạ T nón tiếp tuyến Bouligand tập K x T (K, x) nón tiếp tuyến trung gian (kề) tập K x TC(K, x) nón tiếp tuyến Clarke tập K x T (K, x, d) 2[ T (K, x, d) TC (K, x, d) tập tiếp tuyến Bouligand bậc hai tập K x theo hướng d tập tiếp tuyến trung gian bậc hai tập K x theo hướng d tập tiếp tuyến Clarke bậc hai tập K x theo hướng d N(K, x) nón pháp tuyến tập K x s(x , K) hàm giá tập K (X, d) không gian mêtric L(X, Y) không gian tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y f ,rf f 00 ,r f rx f , r xy f A, cl(A) đạo hàm ánh xạ f đạo hàm bậc hai ánh xạ f đạo hàm bậc 1, f theo biến x x, y bao đóng tập A int(A) phần tập A span(A) khơng gian tuyến tính sinh tập A cone(A) tập nón sinh tập A dãy véc tơ xn fxng, (xn) xn ! x dãy fxng hội tụ (mạnh) tới x xn * x dãy fxng hội tụ yếu tới x dãy xn * x fxng hội tụ yếu tới x dãy fxng xn ! x f :X![ ¥,+¥] hội tụ tới x xn K hàm thực mở rộng dom( f ) miền hữu hiệu hàm f K epi( f ) ¶ f (x) supp(j) epigraph hàm f a := (a1, a2, , aN ) a a a x1 x2 x := vi phân hàm f a x NN x tập giá hàm j đa D := ¶ ¶ xj a a a a D := D1 D2 D NN m số C (W) đơn thức cấp jaj := åi =1 toán tử vi phân C0(W) toán tử vi phân cấp jaj j N không gian hàm khả vi cấp m ¥ W khơng gian hàm liên tục C0 (W), D(W) với giá compact W không gian hàm khả vi vô hạn D (W ) p L (W), lần với giá compact W pWm,p(W), Wm,p(W), < m hàm khả tích địa phương W không gian m hàm bị chặn hầu khắp nơi W >H (W), H (W) : W m,p0 (W)(p +p không gian Sobolev m,p = 1) G không gian đối ngẫu tôpô W0 (W ) X,!Y X ,!,! Y X nhúng liên tục Y C(W ) X nhúng compact ¯ ¯ M(W ) A:= B Y ¯ 9x không gian hàm liên tục tập W không gian độ đo Borel quy hữu 8x hạn A định nghĩa B tồn x h.k tr với x hầu khắp trang kết thúc chứng minh > > : 155 Suy S(m, l) = f(S(1), 1)g Gọi BZ bán kính d = Để chứng minh ánh xạ minh tồn dãy (mn, ln) ! (m¯, l) cho n > Thật vậy, ta chọn dãy (mn, ln) = ( S ¯ (mn, l) = f(S(1), 1)g Vì k(S(1), 1) (m S n ¯ , l ) n (m¯, l) 4.3 Kết luận Chương đưa điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm toán iu khin ti u elliptic liờn tc Holderă (cho trng hợp hàm mục tiêu lồi mạnh) nửa liên tục (cho trường hợp hàm mục tiêu không lồi mạnh) theo tham số \ BZ 156 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án bao gồm: Điều kiện cần cực trị bậc bậc hai cho lớp toán điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái điểm Điều kiện cần cực trị bậc bậc hai cho lớp tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái điểm Điều kiện đủ cho tính ổn định (cụ th l tớnh liờn tc Holderă v tớnh na liờn tục dưới) ánh xạ nghiệm số tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic tuyến tính chứa tham số với hàm mục tiêu lồi ràng buộc tuyến tính Có thể phát triển kết luận án sau: Nghiên cứu mở rộng điều kiện quy (2.9) nghiên cứu Chương Đồng thời đưa điều kiện cần cực trị bậc bậc hai cho tốn điều khiển tối ưu phương trình elliptic parabolic (nửa tuyến tính tựa tuyến tính) Nghiên cứu điều kiện đủ bậc hai cho lớp tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính Nghiên cứu sâu thêm kết Chương độ nhạy tính ổn định ánh xạ nghiệm toán điều khiển tối ưu elliptic chứa tham số Nghiên cứu tính ổn định hàm giá trị tối ưu tốn điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng chứa tham số 157 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nhu V.H., Anh N.H and Kien B.T (2013), "Holderă continuity of the solu-tion map to an elliptic optimal control problem with mixed controlstate constraints", Taiwanese J Math 17(4), pp 1245-1266 Kien B.T and Nhu V.H (2014), "Second-order necessary optimality condi-tions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints", SIAM J Control Optim 52(2), pp 1166-1202 Kien B.T., Nhu V.H and Roschă A (2015), "Lower semicontinuity of the solu-tion map to a parametric elliptic optimal control problem with mixed point-wise constraints", Optimization 64(5), pp 1219-1238 Kien B.T., Nhu V.H and Roschă A (2015), "Second-order necessary optimal-ity conditions for a class of optimal control problems governed by partial differential equations with pure state constraints", J Optim Theory Appl 165(1), pp 30-61 158 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Toàn (2012), Hàm Giá Trị Tối Ưu Ánh Xạ Nghiệm Trong Các Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu Chứa Tham Số, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Vinh [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo Trình Giải Tích Lồi Ứng Dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo Trình Giải Tích Đa Trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Tiếng Anh [4] Adams R.A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [5] Alt W., Griesse R., Metla N and Roschă A (2010), "Lipschitz stability for el-liptic optimal control problems with mixed control-state contraints", Opti-mization 59, pp 833-849 [6] Aubin J.-P and Ekeland I (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York [7] Aubin J.-P and Frankowska H (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser,ă Boston [8] Aubin J.-P and Cellina A (1984), Differential Inclusions, Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [9] Berger M.S (1977), Nonlinearity and functional analysis: Lectures on nonlinear problems in mathematical analysis, Academic Press, New York, San Francisco, London 159 [10] Bonnans J.F and Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Prob-lems, Springer, New York [11] Bonnans J.F and Hermant A (2009), "Second-order analysis for optimal control problems with pure state constraints and mixed controlstate con-straints", Ann I H Poincaré-AN 26, pp 561-598 [12] Bonnans J.F and Hermant A (2009), "No-gap second-order optimality con-ditions for optimal control problems with a single state constraint and con-trol", Math Program., Ser B 117, pp 21-50 [13] Borwein J.M and Zhu Q.J (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, Berlin, Heidelberg and New York [14] Brézis H (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York [15] Cartan H (1971), Differential Calculus, Hermann, Paris [16] Casas E (1994), "Pontryagin’s principle for optimal control problems gov-erned by semilinear elliptic equations", International Series of Numerical Math-ematics, Ed Birkhauseră Verlad 118, pp 97-114 [17] Casas E (1997), "Pontryagin’s principle for state constrainted boundary con-trol problems of semilinear parabolic equations", SIAM J Control Optim 35, pp 1297-1327 [18] Casas E (1993), "Boundary control of semilinear elliptic equations with pointwise state constraints", SIAM J Control Optim 4, pp 993-1006 [19] Casas E and Mateos M (2002), "Second order optimality conditions for semilinear elliptic control problems with finitely many state constraints", SIAM J Control Optim 40, pp 1431-1454 [20] Casas E., Mateos M and Raymond J.-P (2007), "Error estimates for the nu-merical approximation of a distributed control problem for the steady-state Navier-Stokes equations", SIAM J Control Optim 46, pp 952-982 160 [21] Casas E., Raymond J.-P and Zidani H (1998), "Optimal control problems governed by semilinear elliptic equations with integral constraints and pointwise state constraints", International Series of Numerical Mathematics, Ed Birkhauseră Verlad 126, pp 89-102 [22] Casas E., Raymond J.-P and Zidani H (2000), "Pontryagin’s principle for lo-cal solutions of control problem with mixed control-state constraints", SIAM J Control Optim 39, pp 1182-1203 [23] Casas E., Reyes J.C.D.L and Troltzschă F (2008), "Sufficient second-order optimality conditions for semilinear control problems with pointwise state constraints", SIAM J Optim 19, pp 616-643 [24] Casas E and Troltzschă F (2010), "Recent advanced in the analysis of point-wise state-constrained elliptic optimal control problems", ESAIM: Control, Optim Caculus of Variations 16, pp 581-600 [25] Casas E and Troltzschă F (2009), "First- and second-order optimality condi-tions for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equa-tions",SIAM J Control Optim 48, pp 688-718 [26] Cesari L (1983), Optimization Theory and Applications, Springer, New York [27] Chipot M (2009), Elliptic Equations: An Introduction Course, Birkhauseră Verlag AG, Basel-Boston-Berlin [28] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlin-ear Problems, Kluwer Academic Publishers, London [29] Clarke F.H (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia [30] Cominetti R (1990), "Metric regularity, tangent sets, and secondorder opti-mality conditions", Appl Math Optim 21, pp 265-287 [31] Dacorogna B (1989), Direct Methods in Calculus of Variations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [32] Diestel J (1975), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 161 [33] Domokos A (1999), "Solution sensitivity of variational inequalities", J Math Anal Appl 230, pp 382-389 [34] Dontchev A.L and Hager W.W (1998), "Lipschitzian stability for state con-strained nonlinear optimal control," SIAM J Control Optim 36(2), pp 698-718 [35] Dubovitskii A.Ya and Milyutin A.A (1965), "Second variations in extremal problems with constarints", Dokl Akad Nauk SSSR 160, pp 1821 [36] Evans L.C (2010), Partial Differential Equations, American Mathematical So-ciety [37] Gilbarg D and Trudinger N.S (2001), Elliptic Partial Differential Equation of Second Order, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [38] Griesse R (2006), "Lipschitz stability of solutions to some stateconstrained elliptic optimal control problems", J Anal Appl 25, pp 435-455 [39] Grisvard P (1985), Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston [40] Hardy G., Littlewood J.E and Po´lya G (1934), Inequalities, Cambridge, At The University Press [41] Hoehener D (2012), "Variational approach to second-order optimality con-ditions for control problems with pure state constraints", SIAM J Control Optim 50, pp 1139-1173 [42] Ioffe A.D and Tihomirov V.M (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holand Publishing Company, Amsterdam [43] Jourani A (1993), "Regularity and strong sufficient optimality conditions in differentiable optimization problems", Numer Funct Anal and Optimiz 14, pp 69-87 [44] Jourani A (1994), "Metric regularity and second-order necessary optimality conditions for minimization problems constraints", J Optim Theor Appl 81, pp 97-120 under inclusion 162 [45] Kawasaki H (1988), "An envelope like effect of infinitely many inequality constraints on second-order necessary conditions for minimization prob-lems", Math Programming 41, pp 73-96 [46] Kawasaki H (1991), "Second order necessary optimality conditions for min-imizing a sup-type function", Math.Program 41, pp 213-229 [47] Kien B.T (2008), "Lower semicontinuity of the solution set to a paramet-ric generalized variational inequality in reflexive Banach spaces",Set-Valued Analysis 16, pp 1089-1105 [48] Kien B.T and Nhu V.H (2014), "Second-order necessary optimality condi-tions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints", SIAM J Control Optim 52(2), pp 11661202 [49] Kien B.T., Nhu V.H and Roschă A (2015), "Lower semicontinuity of the solu-tion map to a parametric elliptic optimal control problem with mixed point-wise constraints", Optimization 64(5), pp 1219-1238 [50] Kien B.T., Nhu V.H and Roschă A (2015), "Second-order necessary optimality conditions for a class of optimal control problems governed by partial differ-ential equations with pure state constraints", J Optim Theory Appl 165(1), pp 30-61 [51] Kien B.T., Nhu V.H and Wong M.M (2015), "Necessary optimality condi-tions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with pure state constraints and mixed pointwise constraints", J Nonlinear and Convex Analysis 16 (7), pp 1363-1383 [52] Kien B.T., Toan N.T., Wong M.M and Yao J.-C (2012), "Lower semicontinuity of the solution set to a parametric optimal control problem", SIAM J Control Optim 50, pp 2889–2906 [53] Knowles G (1981), An Introduction to Applied Optimal Control, Academic Press, New York [54] Kufner A., John O and S Fucik (1977), Function Spaces, Noordhof Interna-tional Publishing Leyden and Academi, Prague 163 [55] Li X and Yong J (1995), Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Sys-tems, Birkhauser,ă Boston [56] Malanowski K and Troltzschă F (2000), "Lipschitz stability of solutions to parametric optimal control for elliptic equations", Control Cybern 29, pp 237-256 [57] Maurer H and Zowe J (1979), "First- and second-order necessary and suf-ficient optimality conditions for infinite-dimensional programming prob-lems", Math Program 16, pp 98-110 [58] Meyer C., Prufertă U and Troltzschă F (2007), "On two numerical methods for state-constrained elliptic control problems", Opt Meth Software 22, pp 871-889 [59] Morrey C (1996), Multiple Integrals in the Calculus of Variations, Springer, New York [60] Nhu V.H., Anh N.H and Kien B.T (2013), "Holderă continuity of the solution map to an elliptic optimal control problem with mixed control-state con-straints", Taiwanese J Math 17(4), pp 1245-1266 [61] Páles Z and Zeidan V (1994), "Nonsmooth optimum problems with con-straints", SIAM J Control Optim 32, pp 1476-1502 [62] Páles Z and Zeidan V (1998), "Optimum problems with certain lower semi-continuous set-valued constraints", SIAM J Optim 8, pp 707-727 [63] Páles Z and Zeidan V (2003), "Optimal control problems with setvalued control and state constraints", SIAM J Control Optim 14, pp 334358 [64] Penot J.-P (2013), Calculus Without Derivatives, Springer, New York [65] Penot J.-P (1989), "Metric regularity, openness and Lipschitzian behavior of multifunctions", Nonlinear Anal 13, pp 629-643 [66] Robinson S.M (1976), "Stability theory for systems of inequalities, part II: Differentiable nonlinear systems", SIAM J Numer Anal 12, pp 497-513 164 [67] Rockafellar R.T and Wets R.J-B (1997), Variational Analysis, Springer, Berlin [68] Troltzschă F (2010), Optimal Control of Partial Differential Equations, Theory, Method and Applications, Americal Mathematical Society, Providence, Rhode Island [69] Yen N.D (1995), "Holderă continuity of solutions to a parametric variational inequality", Appl Math Optim 31, pp 245-255 [70] Zeidler E (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo [71] Zeidler E (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications II/B: Non-linear Monotone Operators, Springer - Verlag, Berlin [72] Zowe J and Kurcyusz S (1979), "Regularity and stability for the mathemat-ical programming problem in Banach spaces", Appl Math Optim 5, pp 49-62 165 ... thiết lập điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu tổng quát Mục 3.2 trình bày điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng... VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng elliptic Tổng quan Nghiên cứu điều kiện cần cực trị cho toán tối ưu việc khảo sát số điều kiện liên quan tới nghiệm tối ưu (hoặc nghiệm tối ưu địa phương)