Phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 và bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính toàn phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TỒN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Ni 2014 LIC MèN Lun vôn ữổc thỹc hi»n v ho n th nh t⁄i Khoa To¡n - Cì - Tin håc, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhiản, i hồc Quc Gia H Ni dữợi sỹ hữợng dÔn tn tnh chu Ăo ca GS TSKH Phm Ký Anh TĂc giÊ xin y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi GS TSKH Phm Ký Anh  luổn hữợng dÔn v ch bÊo chu Ăo, tn tnh, nghiảm khc sut quĂ trnh tĂc giÊ nghiản cứu lun vôn b T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Khoa Sau ⁄i håc, Ban chı nhi»m Khoa To¡n - Cì - Tin håc, PhỈng o t⁄o, PhỈng CTCT - SV, trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, i hồc Quc gia H Ni  to iãu kiằn thu“n lỉi v gióp ï thíi gian t¡c gi£ håc t“p v nghi¶n cøu CuŁi cịng, t¡c gi£ xin b y tọ lặng bit ỡn tợi nhng ngữới thƠn v bn b  ữu Ăi, giúp ù, ng viản, kh‰ch l» ” t¡c gi£ ho n th nh lu“n v«n n y H Nºi, ng y 20 th¡ng 11 nôm 2014 Hồc viản Nguyn Th nh Chiảu Mửc lửc L˝IC MÌN DANH MƯC C C KÞ HI U Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 B i to¡n iãu khin ti ữu rới thữớng 1.1.1 1.1.2 1.2 Phữỡng trnh sai phƠn tu 1.2.1 1.2.2 1.2.3 B i toĂn iãu khin ti ữu cho phữỡng trnh sai phƠn tuyn tnh suy bin 2.1 B i toĂn iãu khin ti ữu ch 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 B i toĂn iãu khin ti ữu cho 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 B i to¡n iãu khin ti ữu mổ hnh kinh t 3.1 Mỉ h…nh mỉ t£ bði ph÷ 3.1.1 3.1.2 3.2 Mỉ h…nh mỉ t£ bði ph÷ KTLUN T ILI UTHAMKH O DANH MƯC C C KÞ HI U dimW : sŁ chi•u cıa khỉng gian vectì W kerA: khỉng gian nh¥n cıa ma tr“n A imA: khỉng gian £nh cıa ma tr“n A rankA: h⁄ng cıa ma tr“n A n span(fxig W1 i=1): khæng gian sinh bði h» vectì x1; x2; : : : ; xn W2: tŒng trüc ti‚p cıa hai khæng gian W1, W2 W1 \ W2: giao cıa hai khæng gian W1, W2 P n Ai: tŒng cıa c¡c ma tr“n A1; A2; : : : ; An i=1 y A : nghàch £o suy rºng Moore - Penrose cıa ma tr“n A diag(A1; A2): ma tr“n ÷íng ch†o khŁi câ c¡c th nh phƒn A1, A2 nm trản ữớng cho M U Do nhu cu ca thỹc tin, viằc nghiản cứu phữỡng trnh vi phƠn i s v phữỡng trnh sai phƠn 'n ữổc nhiãu nh nghiản cứu toĂn hồc nữợc cụng nhữ nữợc ngo i quan tƠm nghiản cứu Nhiãu b i to¡n thüc t‚ (h» thŁng i»n, mæ h…nh dƠn s, mổ hnh kinh t, ) ữổc mổ tÊ bi phữỡng trnh sai phƠn 'n Mt khĂc phữỡng trnh sai ph¥n 'n l k‚t qu£ cıa vi»c ríi r⁄c hõa phữỡng trnh vi phƠn i s, phữỡng trnh o h m riảng i s Chflng hn, dũng phữỡng phĂp Euler hin Ăp dửng cho phữỡng trnh phƠn i s ch¿ sŁ th… ta nh“n ÷ỉc ph÷ìng tr…nh sai ph¥n tuy‚n t ‰nh 'n ch¿ sŁ [3] vi XuĐt phĂt t nhng nghiản cứu ca cĂc tĂc giÊ D J Bender and A J Laub [5] v• b i toĂn iãu khin ti ữu dng to n phữỡng cho h» ºng lüc mỉ t£ bði ph÷ìng tr…nh sai phƠn 'n hằ s hng, chúng tổi  ữa ÷ỉc c¡c k‚t qu£ cho ph÷ìng tr…nh sai ph¥n tuy‚n t‰nh 'n ch¿ sŁ Ngo i ra, tł mæ h…nh kinh t‚ cıa t¡c gi£ D G Luenberger [8] cho b i toĂn iãu khin mổ tÊ bi phữỡng trnh sai phƠn thữớng, chúng tổi cụng ữa ữổc k‚t qu£ t÷ìng tü cho h» mỉ t£ bði ph÷ìng tr…nh sai ph¥n tuy‚n t‰nh 'n ch¿ sŁ BŁ cửc lun vôn nhữ sau: Chữỡng Kin thức chu'n b Trong chữỡng n y, chúng tổi giợi thiằu iãu kiằn cn cho b i toĂn iãu khin ti ữu rới rc mổ tÊ bi phữỡng trnh sai phƠn thữớng Ngo i ra, chóng tỉi giỵi thi»u c¡c kh¡i ni»m vã phữỡng trnh sai ph'n tuyn tnh 'n ch s 1, phữỡng trnh dữợi liản hổp cõ ch s v cæng thøc nghi»m cho b i to¡n gi¡ trà ban ƒu, b i to¡n i•u ki»n cuŁi Chữỡng B i toĂn iãu khin ti ữu cho phữỡng trnh sai phƠn tuyn t nh suy bin Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi tr…nh b y ph÷ìng ph¡p giÊi b i toĂn iãu khin ti ữu dng to n phữỡng cho phữỡng trnh sai phƠn 'n hằ s h‹ng b‹ng khai tri”n ký dà v ph÷ìng tr…nh Riccati T Ơy ta tm ữổc nghiằm ti ữu ca b i to¡n CuŁi cịng, chóng tỉi ÷a ph÷ìng ph¡p giÊi b i toĂn iãu khin ti ữu cho phữỡng tr…nh sai ph¥n tuy‚n t ‰nh 'n ch¿ sŁ nhí ph†p bi‚n Œi Kronecker -Weierstrass v ph÷ìng tr…nh Riccati K‚t qu£ cuŁi thu ÷ỉc ch÷ìng n y l mợi Chữỡng B i toĂn iãu khin ti ữu mỉ h…nh kinh t‚ Trong ch÷ìng n y, chóng tổi trnh b y iãu kiằn cƠn bng gia cung v cƒu ” ⁄t læi nhu“n cüc ⁄i mæ t£ bi b i toĂn iãu khin ti ữu tuyn tnh ríi r⁄c Ti‚p theo chóng tỉi mð rºng k‚t qu£ trản cho b i toĂn iãu khin ti ữu tuyn tnh rới rc suy bin Ơy l kt quÊ mợi ca lun vôn v nhng ni dung chnh  ữổc tr…nh Seminar cıa bº mæn To¡n håc t‰nh to¡n, Khoa To¡n Cì - Tin håc, ⁄i håc Khoa håc Tü Nhi¶n - ⁄i håc QuŁc Gia H Nºi Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 B i toĂn iãu khin ti ữu rới rc cho phữỡng trnh sai phƠn thữớng Trong mửc n y chúng tổi tr…nh b y mºt sŁ nghi¶n cøu cıa t¡c gi£ A P Sage [9] v• b i to¡n i•u khi”n tŁi ÷u cho h» ºng lüc mỉ t£ bði ph÷ìng trnh sai phƠn thữớng 1.1.1 Phữỡng trnh Euler - Lagrange ríi r⁄c X†t h m mưc ti¶u N X J= n=0 â vỵi mØi n = 0; 1; : : : ; N 1, (:; :; n) : Rm Rm ! R l h m i•u ki»n kh£ vi liản tửc BƠy giớ ta s tm cn cüc ti”u h m J Gi£ sß r‹ng, xn = x^n + " xn , xn+1 l = x^n+1 + " xn+1 , vỵi x^ = (^x0; : : : ; x^N 1) c¡c i”m cüc trà, " > ı nhä Sß dưng khai tri”n Taylor ta câ J = J(^xn + " xn ) J(^xn) N X = n=0 N X = n=0 suy Do x^ l im cỹc tr nản õ Vợi xn = xn , ta thu ÷ỉc k‚t hỉp v N T @ n X x n=0 n+1 @x^n+1 Hn = G ~ 69 n = n En = Hn B n = H nB n = Khi â B~n = 0 B1n = 0 ; S~n = W12n B1n = 0 ; ) Tł ph÷ìng tr…nh (2.66) ta thu ÷ỉc D 11N =W 11n = 1; ti‚p töc qu¡ tr…nh thay v o ph÷ìng tr…nh (2.66) ta câ D11n = 1; vỵi n = 0; N 1: B C Hìn nœa, v… u0 = n¶n @A = 0; x2 = 0; u0 = 0 Do x10 = z10 = 1, ta th§y 10 = D110 x10 = Sò dửng dặng u ti¶n cıa h» (2.61) ta câ Ti‚p tưc qu¡ tr…nh nhữ trản ta thu ữổc nghiằm ca b i toĂn iãu khin ti ữu l xn = 70 un = 0; vỵi n = 0; N Khi â h m mửc tiảu ti ữu l N J(u ; x ) = : n n 1: Ch÷ìng B i toĂn iãu khin ti ữu mổ hnh kinh t Trong ch÷ìng n y chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ nghi¶n cøu cıa t¡c gi£ D G Luenberger [8] vã mổ hnh kinh t mổ tÊ bi phữỡng trnh sai phƠn thữớng Sau õ chúng tổi m rng cĂc kt quÊ cho phữỡng trnh sai phƠn tuyn tnh suy bi‚n 3.1 Mỉ h…nh mỉ t£ bði ph÷ìng tr…nh sai phƠn thữớng Trong phn n y chúng tổi s trnh b y c§u tróc cho h» ºng lüc mỉ hnh kinh t HÂy tững tữổng h ng hõa ữổc ch bin rỗi sau õ bĂn cho ngữới tiảu dịng, h ng hâa â ÷ỉc chuy”n tł giai o⁄n n y sang giai o⁄n kh¡c ho°c ÷ỉc l÷u giœ ð giai o⁄n nh§t ành ” t¡i t⁄o ho°c ” bĂn Loi mổ hnh n y ữổc biu din dữợi dng phữỡng trnh sai phƠn sau: x n+1 =A x Bu + a n n n n m n k â xn R l vectì tr⁄ng th¡i, un R l vectỡ iãu khin mổ tÊ lữổng h m ng hõa ữổc tiảu thử, an R l vectì ƒu v o B¶n ngo i h» thŁng s£n xuĐt l mt th trữớng gỗm cĂc sÊn ph'm ữổc ch bin bi quĂ trnh sÊn xuĐt trản GiĂ tr cıa u n ÷ỉc x¡c ành bði sü 71 72 cƠn bng gia cung v cu V vy, liản quan ‚n tr÷íng l mºt vectì k gi¡ pn R ÷ỉc x¡c ành thỉng qua h m cƒu tuy‚n t‰nh k - chi•u = en Tnpn: C¡c nh s£n xu§t t…m c¡ch cüc ⁄i hâa lỉi nhu“n kho£ng thíi gian n = 0; 1; : : : ; N b‹ng c¡ch chån vectì un 3.1.1 C§u tróc cıa h» thŁng s£n xu§t X†t h» thŁng s£n xu§t thổng qua mổ hnh biu din dữợi dng phữỡng trnh sai phƠn thữớng sau: x n+1 =A x n n vỵi mưc ‰ch l m cüc ⁄i hâa h m mưc ti¶u T J = (pn un cho c¡c i•u ki»n ƒu x0 = x ; v i•u kiằn cui LxN+1 = g; ữổc thọa mÂn Ơy ma tr“n L R m cƒu qm q , q m, rankL = q, g R X†t h = en v Tnpn; iãu kiằn cƠn bng: mØi h m gi¡ pn ÷ỉc x¡c (3.5) ành bði u n = v n: (3.6) — ¥y cTn xn l chi ph‰ s£n xu§t mºt thíi ký, p Tn un l thu nh“p cıa nh s£n xu§t thỉng qua vi»c b¡n s£n ph'm câ sŁ l÷ỉng u n vợi giĂ pn iãu khin giĂ th trữớng cho læi nhu“n ⁄t cüc ⁄i, ta gi£i b i toĂn iãu khin ti ữu (3.1) - (3.4) 73 X†t h m Lagrange N X L = [p T T un c n xn + n T n+1(Anxn Bnun + an xn+1)] n=0 T + v (LxN+1 T n +1(an = [Hn T â Hn = n T÷ìng tỹ nhữ chữỡng 2, sò dửng phữỡng phĂp nhƠn tò Lagrange ta thu ữổc iãu kiằn cn b i to¡n tŁi ÷u l n = An T pn = Bn cn; n+1 T n+1 x0 = x ; LxN+1 = g; N+1 T = L v: Ngo i ra, chóng ta câ un = vn; v n = en Thay ph÷ìng tr…nh (3.9) v o ph÷ìng tr…nh (3.13) ta ÷ỉc Thay ph÷ìng tr…nh (3.14) v (3.12) v o ph÷ìng tr…nh (3.7), â ta thu ÷ỉc h» mỵi xn+1 = Anxn + BnTN Bn n = An T pn = Bn n+1 T cn; n+1 x0 = x ; LxN+1 = g; N+1 T = L v: T n+1 Bnen + an 74 3.1.2 i•u ki»n t tợi sỹ cƠn bng t tợi sỹ cƠn b‹ng mỉ h…nh kinh t‚ vỵi kho£ng thíi gian n = 0; 1; : : : ; N ta phÊi tm ữổc h m giĂ pn thọa mÂn sỹ c¥n b‹ng giœa cung v cƒu cho lỉi nhu“n thu ữổc cho nh sÊn xuĐt l ti a Do õ ta i n khĂi niằm vã sỹ cƠn bng nhữ sau: nh nghắa 3.1.1 Hằ (3.15) - (3.19) t tợi sỹ cƠn bng nu vợi mỉi x v mØi g th… h» ln câ nghi»m ” t…m ÷ỉc h m giĂ pn thọa mÂn sỹ cƠn bng gia cung v cƒu ta i ‚n b i to¡n t…m iãu kiằn t tợi sỹ cƠn bng cho hằ (3.15) - (3.19), tøc l t… m i•u ki»n cho h» (3.15) - (3.19) cõ nghiằm iãu kiằn t tợi sỹ c¥n b‹ng phư thuºc v o ma tr“n C sau: ành ngh¾a 3.1.2 Ta gåi ma tr“n N X C= (N + 1; n + 1)BnTnBn n=0 T (N + 1; n + 1) T l ma tr“n k‚t thóc cıa h» (3.15) - (3.19), â (N + 1; n + 1) = AN : : : An+1; (n; n) = I: nh lỵ 3.1.3 Hằ (3.15) - (3.19) t tợi sỹ cƠn bng v ch ma tr“n T LCL l khæng suy bi‚n Chøng minh Ta cõ phữỡng trnh (3.16) cõ nghiằm ữổc biu din dữợi d⁄ng T = (N + 1; n + 1) N+1 + c; â c l vectì h‹ng Nghi»m cıa phữỡng trnh (3.15) ữổc biu din dữợi dng n xN+1 = (N + 1; 0)x0 X N T +(N + 1; n + 1)BnTnBn n=0 n+1 + a; 75 â a l Thay ph÷ìng tr…nh (3.20) v o ph÷ìng tr…nh (3.21) ta ÷ỉc x N+1 = â b l NhƠn cÊ hai v phữỡng trnh trản vợi ma trn L v sò dửng phữỡng trnh (3.19) ta ữổc LxN+1 = LCL tữỡng ữỡng LCL q Theo nh lỵ Fredholm, g R tũy ỵ nản iãu kiằn cƒn v T ph÷ìng tr…nh (3.22) câ nghi»m l ma trn LCL khổng suy bin nh lỵ ữổc chứng minh 3.2 Mổ hnh mổ tÊ bi phữỡng trnh sai phƠn suy bin BƠy giớ ta xt hằ thng sÊn xuĐt thổng qua mổ hnh biu din dữợi dng phữỡng trnh sai ph¥n suy bi‚n sau: Ex n n+1 =A x n n vỵi mưc ‰ch cüc ⁄i h m mưc tiảu N X J= n=0 thọa mÂn iãu kiằn u E 1x = z 0; v i•u ki»n cuŁi LxN+1 = g; â L R X†t h m cƒu r m r , g R , rankL = r, g ImL = en 76 V iãu kiằn cƠn bng: mỉi h m giĂ pn ữổc xĂc nh bi un = vn: Vợi giÊ thi‚t ph÷ìng tr…nh (3.23)câ ch¿ sŁ 1, rankE n = r v E 2R mm ma tr“n thäa m¢n S0 \ kerE = f0g Ta chån ma tr“n A R mm cho c°p ma tr“n fE 1; A 1g câ ch¿ sŁ B‹ng c¡ch xƠy dỹng tữỡng tỹ nhữ mửc (3:1) ta thu ữổc iãu kiằn cn b i toĂn ti ữu l T Enxn+1 = Anxn + BnTnBn n+1 T En E 1x0 = z0; LxN+1 = g; B¥y gií ta s‡ ữa iãu kiằn t tợi sỹ cƠn bng cho b i to¡n ÷ỉc mỉ t£ bði ph÷ìng tr…nh sai phƠn suy bin Trữợc tiản ta nh nghắa ma trn k‚t thóc cıa h» (3.29) - (3.33) nh÷ sau: N 1N n X Y C =PN nh lỵ 3.2.1 Hằ (3.29) - (3.33) t tợi sỹ cƠn bng v T tr“n LCL Chøng minh Tł ph÷ìng tr…nh (3.33) ta câ EN T N+1 T = L v: NhƠn Gb;N v o trĂi hai v ca phữỡng tr…nh tr¶n ta T Gb;N EN T L v; â PN b N+1 T = Gb;N L v N+1 = Gb;N ÷ỉc 77 Tł ph÷ìng tr…nh (1.34), ta thu ~b b =P P N+1 N N ~b =P G N ữổc L b;N Theo nh lỵ (1.2.15) ta suy nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (3.30) l N n h n Y ~b =P ( n A ) b;n i=0 N 1j n T N+1 1+i n+i i X Y (G + b;n +U n Tł G QU AT )G 1+i G n n+i b;j 1c j+1 + G b;n c n c b;n n i•u ki»n ban ƒu ta câ E 1x = z0 G 1E 1x0 = G 1z0 , P 1x0 = G 1z0: Tł cæng thøc (1.26) ta câ nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (3.29) l , N h Y xN+1 =PN ( GN iAN i)P 1x0 i=0 N 1N k X Y + ( k=0 T + GN (BN TN BN Suy Q x + N N+1 : N 1N k h X Y xN+1 =PN( k=0 (B T B T P~ b( k k k k i=0 G ) A T b;k +i k +1+i + G 1B T B N N N T )i N + e + QN xN+1; N+1 â e l vectì h‹ng 78 m Tł i•u ki»n cuŁi LxN+1 = g, v… g Im L nản tỗn ti xN+1 R cho y xN+1 = L g Do QN l ph†p chi‚u l¶n kerEN n¶n PN = I ph†p chi‚u v o QN l imEN , suy rankPN = r Khi â, ta °t y r = LPN L g R : Ta nhƠn LPN v o trĂi hai v ca ph÷ìng tr…nh (3.34) ta ÷ỉc LPN xN+1 = LC N+1 + e~ + LPN QN xN+1; â e~ l vectỡ hng Tữỡng ữỡng vợi T = LCL v + e:~ r r V… h» (3.29) - (3.33) câ nghi»m vợi mồi g R nản R tũy ỵ Vy phữỡng trnh (3.35) cõ nghiằm th iãu kiằn cƒn v ı l LCL T khæng suy bi‚n ành lỵ ữổc chứn KTLUN Lun vôn nghiản cứu b i toĂn iãu khin ti ữu cho hằ phữỡng trnh sai phƠn tuyn tnh 'n Lun vôn  thu ữổc mt sŁ k‚t qu£ mỵi, mð rºng k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ D J Bender, A J Laub Łi vỵi hằ phữỡng trnh sai phƠn 'n hằ s bin thiản cho b i toĂn iãu khin ti ữu dng to n ph÷ìng v mỉ h…nh kinh t‚ cıa t¡c gi£ D G Luenberger cho hằ phữỡng trnh sai phƠn suy bi‚n ch¿ sŁ C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n v«n l : Tr…nh b y cỉng thøc nghi»m cho b i to¡n gi¡ trà ban ƒu v b i toĂn thọa mÂn iãu kiằn cui ca phữỡng trnh sai phƠn 'n ch s ữa cĂch giÊi b i toĂn iãu khin ti ữu dng to n phữỡng cho phữỡng trnh sai phƠn tuyn tnh 'n ch s ữa iãu kiằn cƠn bng kinh t gia cung v cu cho mổ hnh i vợi hằ phữỡng trnh sai phƠn tuyn tnh 'n ch s Hữợng nghiản cứu lun vôn n y cõ th tip tửc ph¡t tri”n ” câ nhœng k‚t qu£ trån vµn hìn CĂc hữợng nghiản cứu tip theo l Nghiản cứu b i toĂn iãu khin ti ữu rới rc cho phữỡng tr…nh sai ph¥n 'n tuy‚n t‰nh ch¿ sŁ lìn hìn Nghiản cứu b i toĂn iãu khin ti ữu vợi thới gian vổ hn Tip tửc nghiản cứu cĂc mổ hnh thỹc t cho phữỡng trnh sai phƠn 'n tuy‚n t‰nh 79 T i li»u tham kh£o [1] P K Anh, H T N Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems", J Math Anal, Appl, Vol 321 (2), 921 - 929 [2] P K Anh, N H D÷, L C Loi (2007), "Singular difference equations: An overview", Viet J Math, V.35(4), 339 - 372 [3] P K Anh, N H D÷, L C Loi (2004),"Conections between implicit difference equations and differential - algebraic equations", Acta Math-ematica Vietnamica, 1, 23-39 [4] P K Anh, D S Hoang (2006), "Stability of a class of singular difference equations", Int J Difference Eqns, 1, 181 - 193 [5] D J Bender and A J Laub (1987), "The linear-quadratic optimal regulator for discriptor systems: discrete-time case", Automatica, 23 No 1, 71-85 [6] L C Loi (2013), "Subadjoint equation of index-1 linear singular difference equations", Viet J Math, V 41(1), 89 - 96 [7] L C Loi, N H D÷, P K Anh (2002), "On linear implicit non autonomous systems of difference equations", J Diff Eq Appl (12): 1085-1105 [8] D G Luenberger (1986), "Control of linear dynamic market systems", J Econ Dyn Control 10, 339 - 351 [9] A P Sage (1977), Optimum Systems Control, Prentice - Hall, Engle-wood Cliffs, New Jersey, 07632 80 ... NHIÊN - NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... X Y 1 iGn iAn 1+ 1)PkGk qk i=0 (Pn + k=0 + Pn 1Gn 1qn 1: K‚t hỉp vỵi (1. 24), ta câ n h x =P n ~n ( Y P i=0 n 2n k n 1+ i G A n 11 +i n 1+ i )u i X Y (Pn + 1 1+iGn 1+ iAn 1+ i)PkGk qk 1qn + Pn 1Gn k=0... sai phƠn tu 1. 2 .1 1.2.2 1. 2.3 B i to¡n i•u khi”n ti ữu cho phữỡng trnh sai phƠn tuyn tnh suy bin 2 .1 B i toĂn iãu khin ti ữu ch 2 .1. 1 2 .1. 2 2 .1. 3 2.2 B i to¡n i•u khi”n tŁi ÷u cho 2.2 .1 2.2.2 2.2.3