Chuyên đề : HỆ THỨC LIÊN HỆ TRONG TAM GIÁC VUÔNG

DẠNG 1: Tính độ dài CẠNH – ĐƯỜNG CAO – HÌNH CHIẾU trong tam giác vuông. DẠNG 2: Tam giác vuông liên quan tới các đường: phân giác, trung tuyến, trung trực. DẠNG 3: Nhận biết tam giác vuông rồi dùng hệ thức tam giác vuông để tính. DẠNG 4: Kết hợp tỉ số đồng dạng và hệ thức lượng để tìm dộ dài đoạn thẳng. DẠNG 5: Kẻ thêm đường phụ để tạo yếu tố đặc biệt có liên quan. DẠNG 6: Các bài toán về tứ giác có dùng hệ thức của tam giác vuông để tính toán, chứng minh.

CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LIÊN HỆ TRONG ∆ VUÔNG Cạnh góc vng – Cạnh huyền – Đường cao – Hình chiếu cạnh góc vng A B H C Cạnh huyền: BC Cạnh góc vng AB, có hình chiếu lên cạnh huyền BH Cạnh góc vng AC, có hình chiếu lên cạnh huyền CH Đường cao AH 1/ Hệ thức: Cạnh góc vng – cạnh huyền (Định lý Pitago) BC2 = AB2 + AC2 Trong tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vng 2/ Hệ thức: Cạnh góc vng – cạnh huyền – hình chiếu cạnh góc vng AB2 = BC BH AC2 = BC CH Trong tam giác vng, bình phương độ dài cạnh góc vng tích độ dài cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền 3/ Hệ thức: Đường cao – hình chiếu cạnh góc vng AH2 = BH CH Trong tam giác vng, bình phương độ dài đường cao tích độ dài hình chiếu hai canh góc vng lên cạnh huyền 4/ Hệ thức: Đường cao – cạnh góc vuông 1 = + 2 AH AB AC Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương độ dài đường cao tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vng 4/ Hệ thức: Đường cao – cạnh góc vng – cạnh huyền AB AC = BC AH Trong tam giác vuông, tích độ dài hai cạnh góc vng tích độ dài cạnh huyền với đường cao tương ứng CÁC DẠNG TỐN DẠNG 1: Tính độ dài CẠNH – ĐƯỜNG CAO – HÌNH CHIẾU tam giác vng I/ Phương pháp Đây tốn tính tốn trực tiếp tam giác vuông cho trước Để giải toán ta làm sau: - Xác định u cầu tính: “cạnh góc vng” hay “đường cao” hay “hình chiếu cạnh góc vng”? - Kiểm tra cho kiện - Xác định hệ thức liên hệ cho cần tính II/ Bài tập vận dụng * Bài tập cho trước hình vẽ: Bài 1: (Trang 68 SGK – Tốn 9): Tìm x y hình sau: Bài 2: (Trang 68, 69 SGK – Tốn 9): Tìm x y hình sau: a) b) c) d) * Bài tập khơng cho hình vẽ Bài a) Biết tỉ số cạnh góc vng tam giác vng 5:6 ; cạnh huyền 122cm Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền a) Biết tỉ số cạnh góc vng tam giác vuông 3:7 ; đường cao ứng với cạnh huyền 12cm Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền Bài Cho ∆ABC vuông A, kẻ đường cao AH Biết AB = 4cm, AC = 7,5cm Tính HB, HC Bài Cho ∆ABC vuông A, kẻ đường cao AH Biết AB = 15cm, HC = 16cm Tính BC, AC, AH Bài Cho ∆ABC vuông A, kẻ đường cao AH Biết AH = 12cm, BC = 25cm Tính AB, AC Bài Cho ∆ABC vng A, kẻ đường cao AH Biết AB = 6cm, BH = 3cm Tính AH, AC, CH Bài Cho ∆ABC vng A, đường cao AH Tính diện tích ∆ABC biết AH = 12cm, BH = 9cm Bài Cho tam giác vng, biết tỉ số cạnh góc vng 12 , cạnh huyền 26 Tính độ dài cạnh góc vng hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền AB = Bài 10 Cho ∆ABC vuông A Biết AC Đường cao AH = 15cm Tính HB, HC HB = Bài 11 Cho ∆ABC vuông A Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, HC DẠNG 2: Tam giác vuông liên quan tới đường: phân giác, trung tuyến, trung trực I/ Phương pháp - Trong tam giác vuông, hệ thức tam giác vuông áp dụng - Chú ý: + Đường phân giác => Tỉ lệ đoạn thẳng theo tính chất đường phân giác + Đường trung tuyến liên quan tới trung điểm + Đường trung trực liên quan tới vng góc trung điểm II/ Bài tập vận dụng Bài Cho ∆ABC vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH Tính HD, HB, HC BD = Bài Cho ∆ABC vuông A, phân giác AD, BC , BC = 20 Tính AB, AC Bài Cho ∆ABC vuông A, phân giác AD, gọi E, F hình chiếu D lên AB AC Biết BD = 3, DC = Chứng minh ADEF hình vng, tính diện tích nó? · Bài Cho ∆ABC vng A, góc B > C Trong góc ABC kẻ tia Bx tạo với BA góc µ · góc C Tia Bx cắt AC M Gọi E hình chiếu M lên BC Phân giác góc MEC cắt MC MD = D Biết DC MC = 15cm a) Tính ME, CE b) Chứng minh AB2 = AM.AC Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = 24, AC = 32 Đường trung trực BC cắt AC, BC theo thứ tự D E Tính DE? Bài Trong tam giác vng tỉ số đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng 40:41 Tính tỉ số độ dài cạnh góc vng tam giác vng đó? Bài Trong tam giác vng, phân giác góc nhọn chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với 4:5 3:5 Biết chu vi tam giác 72 Tính cạnh tam giác đó? Bài Trong tam giác vuông, phân giác góc vng chia cạnh huyền thành hai phần có độ dài 1cm 3cm Hỏi đường cao tương ứng với cạnh huyền chia cạnh huyền theo tỉ số nào? Bài Tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD Tia phân giác góc A cắt BD I Biết IB = 10 cm, ID = 5 cm, tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn AB BI BC AB = =2 ; = =2 CD AD Tính chất phân giác: AD ID Đặt AD = x, CD = y => AB = 2x ; BC = 2y ∆vADB có BD2 = AB2 + AD2 => x ∆vABC có BC2 = AB2 + AC2 => y AB.AC Từ => AB, AB => S∆ABC = DẠNG 3: Nhận biết tam giác vuông dùng hệ thức tam giác vng để tính I/ Phương pháp - Tính bình phương cạnh tam giác, tổng bình phương hai cạnh bình phương cạnh cịn lại => tam giác vng - Áp dụng hệ thức tam giác vng để tính II/ Bài tập vận dụng Bài Cho ∆ABC biết BC = 7.5cm, AC = 4.5cm, AB = 6cm a) ∆ABC tam giác gì? Tính đường cao AH ∆ABC b) Tính độ dài cạnh BH, HC Bài Cho ∆ABC biết BC = 50cm, AC = 14cm, AB = 48cm Tính độ dài phân giác góc C? DẠNG 4: Kết hợp tỉ số đồng dạng hệ thức lượng để tìm dộ dài đoạn thẳng I/ Phương pháp - Có thể gọi ẩn độ dài đoạn thẳng cần tính - Từ tam giác đồng dạng => Tỉ số độ dài => liên hệ ẩn độ dài - Từ hệ thức lượng => Liên hệ ẩn độ dài (1) (2) - Từ (1) (2), giải hệ tìm ẩn độ dài II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vng A, BC = cm Hình vng ADEF cạnh 2cm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC Tính độ dài AC, AB Hướng dẫn x = y Đặt x = BD, y = FC ∆BDE ~ ∆EFC => Lại có AB2 + AC2 = BC2 => (2 + x)2 + (2 + y)2 = 50 Từ hai phương trình giải tìm x, y => AC, AB Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC Hướng dẫn Đặt BC = 2x, từ tính chất tam giác cân ta suy CH = x A 2 Áp dụng định lí Pitago tính AC = 15, + x Từ ∆ KBC ∆ HAC BC KB ⇒ = AC AH hay 15,6 2x 12 = 2 15, 15, + x K 12 // B H // C 2x Đưa phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 => x Bài 3: Cho ∆ ABC vuông A Đường cao AH, kẻ HE, HF vng góc với AB, AC EB  AB  = ÷ FC  AC  a) Chứng minh A b) Chứng minh BC BE CF = AH E Hướng dẫn a) Trong ∆AHB có HB2 = BE BA (1) ; B ∆AHC có HC2 = CF CA (2 ) HB BE AB = HC FC AC Từ (1) (2) có : (1) Trong ∆ABC có: AB2 = BH BC AC2 = HC BC HB AB  HB   AB  = ⇔ ÷ = ÷ AC  HC   AC   HC (2) EB  AB  = ÷ FC  AC  Từ (1) (2) Ta có : F C H b) ∆ABC Thay ∆EBH ⇒ BH = BE BH = BA BC AB AB → BE = BC BC AC CF = BC Tương tự ta có (3) (4) AB AC Từ (3) (4) Ta có : BE CF = BC AB AC  AB ×AC  × × BC =  ÷ 2  BC  = AH3 Mà AB AC = BC AH nên BC BE CF = BC BC DẠNG 5: Kẻ thêm đường phụ để tạo yếu tố đặc biệt có liên quan I/ Phương pháp - Yếu tố đặc biệt thường gặp kẻ thêm hình: + Tam giác cân (đều) có chứa cạnh cần tính + Tam giác vng có chứa cạnh biết cạnh cần tính II/ Bài tập vận dụng Bài 1: Tam giác ABC vuông A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết AB = 5cm, IC = 6cm Tính độ dài BC Bài 2: Tam giác ABC vuông A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IB = cm, IC = 10 cm Tính độ dài AB, AC Hướng dẫn 1, chung hình vẽ Từ C kẻ đường thẳng vng góc với BI H cắt AB D Bài 1: Có ∆CBD cân B => BC = BD Góc HIC = góc IBC + góc ICB = 45o (góc ngồi I)  Tính HC => Tính DC = 2HC = Gọi x = BC = BD => AD = x – Ta có: AC2 = x2 - 25 DC2 = AD2 + AC2 => x = Bài 2: Có ∆CBD cân B => HC = HD Góc HIC = góc IBC + góc ICB = 45o (góc ngồi I)  Tính HC = HI = HD => Tính DC = 2HC BH = IB + HI DA ∆DHB ~ ∆DAC => Tính AC => AC theo AD Có AC2 + AD2 = CD2 => AC = Có BC2 = BH2 + HC2 = BA2 + AC2 => AB = Bài 3: Tam giác ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác góc A góc B Biết IA = cm, IB = 3cm Tính độ dài AB Hướng dẫn Ở này: Nếu kẻ AH ⊥ phân giác BI H ∆AHI khơng phải ∆ cân 1, trên, Nhưng kẻ đường vng góc với AB A cắt BI K ∆IAK cân A ∆IAK cân A => AK = AI = Đặt x = HK => IK = 2HK = 2x => BK = BI + IK = + 2x ∆vAKB có AK2 = KH.KB => x.(3 + 2x) = 20 => x => BH BK AB2 = BH.KB = DẠNG 6: Các tốn tứ giác có dùng hệ thức tam giác vng để tính tốn, chứng minh Bài Cho hình chữ nhật ABCD, qua A kẻ đường vng góc với BD H Biết AB = 20, AH = 12 Tính chu vi hình chữ nhật ABCD o µ µ Bài Cho hình vuông ABCD, A = D = 90 , AB = 15cm, áp dụng đường chéo AC BD vuông góc với O, tính: a) OB, OD, AC c) Diện tích hình vng ABCD Bài Cho hình thang ABCD vuông A D Biết AB = 45cm, cạnh đáy CD = 10cm, BC = 37cm Tính chiều cao diện tích hình thang Bài Cho hình thang ABCD có chu vi 52cm, đáy nhỏ AB cạnh bên AD BC, đáy lớn DC = 22cm Tính chiều cao hình thang Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với 2 2 Chứng minh: AD + BC = AB + CD o µ µ Bài Cho hình thang ABCD có B = C = 90 Hai đường chéo vng góc với H Biết AB = cm, HA = 3cm Chứng minh: a) HA : HB : HC : HD = : : : 1 1 − = − 2 2 b) AB CD HB HC ... 3: Nhận biết tam giác vuông dùng hệ thức tam giác vng để tính I/ Phương pháp - Tính bình phương cạnh tam giác, tổng bình phương hai cạnh bình phương cạnh cịn lại => tam giác vng - Áp dụng hệ thức. .. trực I/ Phương pháp - Trong tam giác vuông, hệ thức tam giác vuông áp dụng - Chú ? ?: + Đường phân giác => Tỉ lệ đoạn thẳng theo tính chất đường phân giác + Đường trung tuyến liên quan tới trung... Tính DE? Bài Trong tam giác vuông tỉ số đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng 4 0:4 1 Tính tỉ số độ dài cạnh góc vng tam giác vng đó? Bài Trong tam giác vng, phân giác góc nhọn