I PHƯƠNG PHÁP. Trong một đường tròn đường kính là dây lớn nhất. Trong một đường tròn:+ Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.+ Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. Để chứng minh các điểm thuộc một đường tròn: cần nhớ:+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp+ Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.+ Trong tam giác thường: Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó Các đỉnh của hình chữa nhật cùng thuộc đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo. Các đỉnh của hình vuông cùng thuộc đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo.=> PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm cách đều điểm cho trước.
CHỦ ĐỀ 3: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN M � R O� � P I/ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN �N Định nghĩa đường trịn * Đường trịn tâm O bán kính R hình gồm điểm cách O khoảng R * Kí hiệu: (O ; R) (O) Điểm thuộc khơng thuộc đường trịn * Điểm M ∈ (O ; R) hay M nằm đường tròn hay (O) qua M OM = R * Điểm N nằm ngồi đường trịn ON > R * Điểm P nằm đường tròn OP < R Đường kính đường trịn � O A� �B Đoạn thẳng nối hai điểm đường tròn qua tâm O gọi đường kính đường tròn tâm O Tâm O đường tròn trung điểm đường kính Cách xác định đường tròn Một đường tròn xác định biết tâm bán kính biết đường kính Chú ý * Qua ba điểm không thẳng hàng A , B , C ta vẽ đường trịn có tâm giao điểm ba đường trung trực ∆ABC * Qua hai điểm A , B cho trước ta vẽ vơ số đường trịn có tâm nằm đường trung trực đoạn AB * Không vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng Tâm đối xứng trục đối xứng đường tròn * Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn * Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn => Một đường trịn có tâm đối xứng có vơ số trục đối xứng II/ ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN Dây đường trịn Đoạn thẳng nối hai điểm đường trịn gọi dây đường trịn M � N� Ví dụ: Dây MN (O) Đường kính AB gọi dây (O) � O A� �B So sánh độ dài đường kính dây Định lý 1: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Quan hệ vng góc đường kính dây Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Định lý 3: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ I/ PHƯƠNG PHÁP * Trong đường trịn đường kính dây lớn * Trong đường trịn: + Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây * Để chứng minh điểm thuộc đường trịn: cần nhớ: + Trong tam giác vng trung điểm cạnh huyền tâm vòng tròn ngoại tiếp + Trong tam giác , tâm vòng tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác + Trong tam giác thường: - Tâm vòng tròn ngoại tiếp giao điểm đường trung trực cạnh tam giác - Tâm vòng tròn nội tiếp giao điểm đường phân giác tam giác - Các đỉnh hình chữa nhật thuộc đường trịn tâm giao điểm hai đường chéo - Các đỉnh hình vng thuộc đường trịn tâm giao điểm hai đường chéo => PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh điểm A 1,A , ,A n thuộc đường tròn ta chứng minh điểm A 1,A , ,A n cách điểm O cho trước II/ BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a AM ,BN ,CP đường trung tuyến Chứng minh điểm B,P,N ,C thuộc đường trịn Tính bán kính đường trịn Giải Vì tam giác ABC nên trung tuyến đồng thời đường cao AM ,BN ,CP vng góc với BC,AC,A B tam giác BPC,BNC tam giác vuông với BC cạnh huyền MP MN MB MC Các điểm B,P,N ,C thuộc đường trịn Đường kính BC a , tâm đường tròn Trung điểm M BC � � Ví dụ Cho tứ giác ABCD có C D 90 Gọi M ,N ,P,Q trung điểm AB,BD,DC,CA Chứng minh điểm M ,N ,P,Q thuộc đường trịn Tìm tâm đường trịn Giải Kéo dài AD,CB cắt điểm T tam giác TCD vng T + Có MN đường trung bình tam giác ABD => NM / /A D + MQ đường trung bình tam giác ABC => MQ / /BC Mặt khác AD BC � M N MQ Chứng minh tương tự ta có: Suy MNPQ Hay điểm MN NP, NP PQ hình chữ nhật M ,N ,P,Q thuộc đường trịn có tâm giao điểm O hai đường chéo NQ,MP Ví dụ Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm AC ; G trọng tâm tam giác A BM Gọi Q giao điểm BM GO Xác định tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BGQ Giải Vì tam giác ABC cân A nên tâm O vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm đường trung trực BC Gọi K giao điểm AO BM Dựng đường trung tuyến MN ,BP tam giác ABM cắt trọng tâm G Do MN / /BC � MN AO Gọi K giao điểm BM AO K trọng tâm tam giác ABC suy GK / /AC Mặt khác ta có OM AC suy GK OM hay K trực tâm tam giác OMG � MK OG Như tam giác BQG vng Q Do tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác GQB trung điểm I BG � � Ví dụ Cho hình thang vng ABCD có A B 90 BC 2A D 2a, Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC ; M trung điểm HC Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BDM Giải Gọi N trung điểm BH MN đường trung bình tam giác HBC suy MN AB , mặt khác BH AM => N trực tâm tam giác A BM => AN BM Do MN / / BC � MN / / AD nên ADMN hình bình hành Suy A N / /DM Từ ta có: DM BM hay tam giác DBM vng M nên tâm vịng trịn ngoại tiếp tam giác DBM trung điểm O BD Ta có R MO 1 a BD AB2 AD2 4a2 a2 2 2 Ví dụ Cho lục giác ABCDEF tâm O Gọi Chứng minh điểm M ,I,O,N ,D nằm M ,N trung điểm CD,DE AM cắt BN I đường tròn Giải ABCDEF lục giác => OM CD,ON DE � M ,N ,C,D nằm đường trịn đường kính OD Vì tam giác OBN OAM nên điểm O cách Kẻ � OH AM � DH 2OH � �DH AM (Do OH AM ,BN � => OI phân giác góc AIN đường trung bình tam giác DAH Kẻ � OK BN � DK 2OK � �DK BN (Do OK JO DK JD với J AD �NB ) Do OK OH � DH DK � � => D cách AM ,BN hay ID phân giác AIN � OID 90 Vậy điểm M ,I,O,N ,D nằm đường trịn đường kính OD Ví dụ Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC,N điểm thuộc đường chéo AC cho AN AC Chứng minh điểm M ,N ,C,D nằm đường tròn Giải � Ta thấy tứ giác MCDN có MCD 90 nên để chứng minh điểm M ,N ,C,D � nằm đường tròn ta chứng minh MND 90 Cách 1: Kẻ đường thẳng qua N song song với AB cắt BC,AD E,F Xét ∆vng NEM ∆vng DFN có EM NF 1 AB,EN DF AB 4 � � � � � � => NEM DFN => NME DNF,MNE NDF � MNE DNF 90 => ∆ MND vuông N Suy điểm M ,N ,C,D nằm đường trịn đường kính MD Cách 2: Gọi K trung điểm ID với I giao điểm hai đường chéo Dễ thấy MCKN hình bình hành nên suy Mặt khác NK CD,DK CN � K CK / /MN trực tâm tam giác CDN � CK ND � MN ND Ví dụ Cho tam giác A BC có trực tâm H Lấy điểm M ,N thuộc tia BC cho MN BC M nằm B,C Gọi D,E hình chiếu vng góc M ,N lên AC,AB Chứng minh cácđiểm A ,D,E,H thuộc đường tròn Giải Giả sử MD cắt NE K Ta có HB / /MK � � vng góc với AC suy HBC KMN ( góc đồng vị) � � Tương tự ta có HCB KNM kết hợp với giả thiết BC MN � BHC KMN � SBHC SKM N � HK / /BC Mặt khác ta có BC HA nên HK HA hay H thuộc đường trịn đường trịn đường kính AK Dễ thấy E,D �(AK ) nên cácđiểm A ,D,E,H thuộc đường tròn II/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao BH CK a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường trịn Xác định tâm đường trịn b) So sánh KH BC Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Vẽ (O) đường kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh: CD AB; BE AC b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh: AK BC Bài 3: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm DE, DC, BC, BE Chứng minh điểm M, N, P, Q thuộc đường trịn � 60o Bài 5: Hình thoi ABCD có A Gọi O giao điểm hai đường chéo E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, B, F, G, D, H thuộc đường trịn Bài 6: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm C thuộc đường (O) Đường tròn (I) đường kính OA cắt OC D Vẽ CH ^ AB a) Chứng minh A, C, D, H thuộc đường trịn b) Chứng minh OD = OH Từ HD // AC � � Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có C D 60 , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Bài 8: Cho (O) đường kính MN, I thuôc OM, K thuộc ON Qua I, K vẽ dây AB CD vng góc với MN a) C/m MN đường trung trực AB CD b) C/m ABCD hình thang cân Bài 9: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm AB (điểm M khác O) Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Giả sử R = 6cm ; MA = 4cm Tính CD c)* Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh: MH MK MC 2R Bài 10: Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) a) Chứng minh CM = DN � b) Giả sử AOB 90 Tính OM theo R cho CM MN ND Bài 11: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường trịn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 30 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ BH vng góc với AC Trên A C,CD ta lấy điểm M ,N cho AM DN AH DC Chứng minh điểm M ,B,C,N nằm đường tròn 0 � � Gợi ý: BCN 90 , chứng minh BMN 90 ... MN (O) Đường kính AB gọi dây (O) � O A� �B So sánh độ dài đường kính dây Định lý 1: Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính Quan hệ vng góc đường kính dây Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính... dây Định lý 3: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ I/ PHƯƠNG PHÁP * Trong đường trịn đường kính dây lớn * Trong đường tròn: + Đường. .. chữa nhật thuộc đường tròn tâm giao điểm hai đường chéo - Các đỉnh hình vng thuộc đường trịn tâm giao điểm hai đường chéo => PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh điểm A 1,A , ,A n thuộc đường tròn ta chứng