CHUYÊN đề 3 sự xác ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN (1)

LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHUYÊN ĐỀ 3: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN I/ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN M  Định nghĩa đường tròn R * Đường tròn tâm O bán kính R hình gồm điểm cách O O khoảng R N  P * Kí hiệu: (O ; R) (O) Điểm thuộc khơng thuộc đường tròn * Điểm M ∈ (O ; R) hay M nằm đường tròn hay (O) qua M  OM = R * Điểm N nằm ngồi đường tròn  ON > R * Điểm P nằm đường tròn  OP < R Đường kính đường tròn Đoạn thẳng nối hai điểm đường tròn qua tâm O gọi A  O B đường kính đường tròn tâm O Tâm O đường tròn trung điểm đường kính Cách xác định đường tròn Một đường tròn xác định biết tâm bán kính biết đường kính Chú ý * Qua ba điểm không thẳng hàng A , B , C ta vẽ đường tròn có tâm giao điểm ba đường trung trực ∆ABC * Qua hai điểm A , B cho trước ta vẽ vơ số đường tròn có tâm nằm đường trung trực đoạn AB * Khơng vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng Tâm đối xứng trục đối xứng đường tròn * Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn * Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn => Một đường tròn có tâm đối xứng có vơ số trục đối xứng II/ ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN Dây đường tròn Đoạn thẳng nối hai điểm đường tròn gọi dây đường tròn LUYỆN THI TỐN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Ví dụ: Dây MN (O) M Đường kính AB gọi dây (O) N So sánh độ dài đường kính dây Định lý 1: Trong dây đường tròn, dây lớn đường A  O B kính Quan hệ vng góc đường kính dây Định lý 2: Trong đường tròn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Định lý 3: Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây BÀI TẬP CHUN ĐỀ I/ PHƯƠNG PHÁP * Trong đường tròn đường kính dây lớn * Trong đường tròn: + Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc với dây * Để chứng minh điểm thuộc đường tròn: cần nhớ: + Trong tam giác vng trung điểm cạnh huyền tâm vòng tròn ngoại tiếp + Trong tam giác , tâm vòng tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác + Trong tam giác thường: - Tâm vòng tròn ngoại tiếp giao điểm đường trung trực cạnh tam giác - Tâm vòng tròn nội tiếp giao điểm đường phân giác tam giác - Các đỉnh hình chữa nhật thuộc đường tròn tâm giao điểm hai đường chéo - Các đỉnh hình vng thuộc đường tròn tâm giao điểm hai đường chéo => PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh điểm A1 ,A , , A n thuộc đường tròn ta chứng minh điểm A1 ,A , , A n cách điểm O cho trước II/ BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a điểm B, P, N,C AM, BN,CP đường trung tuyến Chứng minh thuộc đường tròn Tính bán kính đường tròn Giải LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Vì tam giác ABC nên trung tuyến đồng thời đường cao  AM, BN,CP vuông góc với  tam giác BC, AC, AB tam giác vuông với BC cạnh huyền BPC, BNC  MP  MN  MB  MC  Các điểm B, P, N,C thuộc đường tròn Đường kính BC  a , tâm đường tròn Trung điểm M BC D   90 Gọi Ví dụ Cho tứ giác ABCD có C Chứng minh điểm M, N, P, Q M, N, P, Q trung điểm thuộc đường tròn Tìm tâm đường tròn Giải Kéo dài AD,CB AB, BD, DC,CA T cắt điểm T tam giác TCD B M vng T A + Có MN đường trung bình tam giác ABD => NM / /AD N O Q C D P + MQ đường trung bình tam giác ABC => MQ / / BC Mặt khác AD  BC  MN  MQ Chứng minh tương tự ta có: Suy MN  NP, NP  PQ hình chữ nhật MNPQ Hay điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn có tâm giao điểm O hai đường chéo NQ,MP Ví dụ Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm AC ; G trọng tâm tam giác ABM Gọi tam giác Q giao điểm BM GO Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp BGQ A Giải P Vì tam giác ABC cân A nên tâm O vòng tròn ngoại tiếp N I tam giác nằm đường trung trực BC Gọi K giao điểm AO B BM Dựng đường trung tuyến trọng tâm G Do MN, BP MN / /BC  MN  AO tam giác ABM cắt Gọi K giao điểm BM AO K trọng tâm tam giác ABC suy GK / /AC G Q M K O C LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Mặt khác ta có OM  AC suy GK  OM hay K trực tâm tam giác OMG  MK  OG Như tam giác BQG vng Q Do tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác GQB trung điểm I BG B   90 BC  2AD  2a, Gọi H hình chiếu vng góc Ví dụ Cho hình thang vng ABCD có A B lên AC ; M trung điểm HC Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM Giải A D Gọi N trung điểm BH MN đường trung bình H tam giác HBC suy MN  AB , mặt khác BH  AM => N trực tâm tam giác ABM => AN  BM Do MN / /  BC  MN / /  AD nên ADMN hình bình hành Suy O E M N C B AN / / DM Từ ta có: DM  BM hay tam giác DBM vng M nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác DBM trung điểm O BD Ta có R  MO  BD  1 a AB2  AD2  4a  a  2 Ví dụ Cho lục giác ABCDEF tâm O Gọi Chứng minh điểm M,I, O, N, D nằm M, N trung điểm CD, DE AM cắt BN I đường tròn Giải B C K1 J M H1 H I N E A D O D K O N F ABCDEF lục giác => B A E OM  CD,ON  DE  M, N, C, D Vì tam giác OBN  OAM nên điểm O cách nằm đường tròn đường kính OD AM, BN => OI  phân giác góc AIN OH  AM Kẻ   DH1  2OH (Do OH đường trung bình tam giác DAH1  DH1  AM LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà OK  BN OK JO Kẻ   DK1  2OK (Do   với  DK1  BN DK1 JD J  AD  NB ) Do OK  OH  DH1  DK AM, BN   OID   90 hay ID phân giác AIN M,I, O, N, D nằm đường tròn đường kính OD => D cách Vậy điểm Ví dụ Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm AN  AC Chứng minh điểm M, N,C, D BC, N điểm thuộc đường chéo AC cho nằm đường tròn Giải   900 nên để chứng minh Ta thấy tứ giác MCDN có MCD điểm M, N,C, D E B M C nằm đường tròn ta chứng minh   90 MND Cách 1: Kẻ đường thẳng qua N song song với AB cắt BC, AD I N E, F K A Xét ∆vng NEM ∆vng DFN có EM  NF  AB,EN  DF  AB => Suy điểm M, N,C, D D => NEM  DFN   DNF,MNE    NDF   MNE   DNF   900 NME F => ∆ MND vuông N nằm đường tròn đường kính MD Cách 2: Gọi K trung điểm ID với I giao điểm hai đường chéo Dễ thấy MCKN hình bình hành nên suy Mặt khác NK  CD, DK  CN  K CK / /MN trực tâm tam giác CDN  CK  ND  MN  ND Ví dụ Cho tam giác ABC có trực tâm H Lấy điểm M, N thuộc tia BC cho MN  BC M nằm B, C Gọi D, E hình chiếu vng góc M, N lên AC, AB Chứng minh cácđiểm A, D, E, H thuộc đường tròn A Giải Giả sử MD cắt NE K Ta có HB / /MK D E   KMN  ( góc đồng vị) vng góc với AC suy HBC H K   KNM  kết hợp với giả thiết Tương tự ta có HCB BC  MN  BHC  KMN  S BHC  S KMN  HK / /BC B C M Mặt khác ta có BC  HA nên HK  HA hay H thuộc đường tròn đường tròn đường kính AK Dễ thấy E,D  (AK) nên cácđiểm A, D, E, H thuộc đường tròn N LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà II/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao BH CK a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn b) So sánh KH BC Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Vẽ (O) đường kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh: CD  AB; BE  AC b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh: AK  BC Bài 3: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm DE, DC, BC, BE Chứng minh điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn   60o Gọi O giao điểm hai đường chéo E, F, G, H theo thứ tự Bài 5: Hình thoi ABCD có A trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, B, F, G, D, H thuộc đường tròn Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB Điểm C thuộc đường (O) Đường tròn (I) đường kính OA cắt OC D Vẽ CH  AB a) Chứng minh A, C, D, H thuộc đường tròn b) Chứng minh OD = OH Từ HD // AC Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có C  D  600 , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Bài 8: Cho (O) đường kính MN, I thc OM, K thuộc ON Qua I, K vẽ dây AB CD vng góc với MN a) C/m MN đường trung trực AB CD b) C/m ABCD hình thang cân Bài 9: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm AB (điểm M khác O) Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Giả sử R = 6cm ; MA = 4cm Tính CD MC3 c)* Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh: MH MK  2R LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài 10: Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) a) Chứng minh CM = DN b) Giả sử  AOB  900 Tính OM theo R cho CM  MN  ND Bài 11: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường tròn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 300 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ BH vng góc với AC Trên cho AM  DN Chứng minh điểm AH DC M, B,C, N AC, CD nằm đường tròn   90 , chứng minh BMN   90 Gợi ý: BCN ta lấy điểm M, N ... dây Định lý 3: Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ I/ PHƯƠNG PHÁP * Trong đường tròn đường kính dây lớn * Trong đường tròn: + Đường. .. (O) M Đường kính AB gọi dây (O) N So sánh độ dài đường kính dây Định lý 1: Trong dây đường tròn, dây lớn đường A  O B kính Quan hệ vng góc đường kính dây Định lý 2: Trong đường tròn, đường. .. thuộc đường tròn Đường kính BC  a , tâm đường tròn Trung điểm M BC D   90 Gọi Ví dụ Cho tứ giác ABCD có C Chứng minh điểm M, N, P, Q M, N, P, Q trung điểm thuộc đường tròn Tìm tâm đường tròn