Chuyên đề 3 chủ đề 8 tính chất ba đường trung trực

Toanhocsodo-ĐT:0945943199 CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định lí Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách đểu ba đỉnh tam giác Trên hình bên, điểm O giao điểm đường trung trực  ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường trịn ngoại tiếp  ABC Định lí Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy II BÀI TẬP YÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Phương pháp giải: Sử dụng tính chất giao điểm đường trung trực tam giác cách ba đỉnh tam giác 1A Cho A, B, C ba điểm phân biệt không thẳng hàng Hãy xác định đường tròn qua ba điểm A, B, C 1B Ơng Hùng có ba cửa hàng A, B, C khơng nằm đường thẳng muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng Phải chọn vị trí kho hàng đâu để khoảng cách từ kho đến cửa hàng nhau.? 2A Chứng minh tam giác vng, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền 2B Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh O trung điểm BC O tâm đường trịn ngoại tiếp  ABC 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 Dạng Vận dụng tính chất ba đưịng trung trực tam giác để giải toán khác Phương pháp giải: Từ Định lí 2, ta có tính chất tam giác, giao điểm hai đường trung trực thuộc đường trung trực cịn lại tam giác Lưu ý: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đường trung tuyến, đường phân giác đường cao Cho  ABC M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt  O Tính số đo góc OMB 3A 3B Cho  MNP Đường trung trực MN cắt đường trung trực MP I Hạ IH  NP Chứng minh H trung điểm NP  4A Cho  ABC có góc A = 110° Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh: a)  BIC cân;    b) BIC = 2(180° - BAC ) tính sốđo góc BIC 4B Cho  ABC vuông A Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh: a) OB = OC;   b) BOC = 2(180° - BAC ) O trung điểm BC 5A Cho  ABC (AB = AC) Đường trung trực BC cắt trung tuyến BD G Chứng minh G trọng tâm  ABC Cho  ABC cân A AM đường trung trực cạnh BC (M  BC) Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G cho AG = AM Chứng minh đường thẳng BG qua trung điểm đoạn thẳng AC 5B 6A Cho tam giác MNP cân M Trên cạnh MN lấy điểm K, cạnh MP lấy điểm D cho MK = DP Đường trung trực MP cắt đường trung trực DK O Chứng minh:   a) MKO PDO ; b) O thuộc đường trung trực MN;  c) MO tia phân giác NMP 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 6B Cho  ABC cân A Gọi O điểm cách ba đỉnh A, B, C Nối OA, OB, OC   a) Chứng minh OBA OAC b) Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho BM = AN Chứng minh O thuộc đường trung trực MN Dạng Chứng minh ba đường thẳng quy, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đồng quy ba đường trung trực tam giác 7A Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng 7B Cho tam giác MNP cân M, đường cao MH Các đường trung trực MN MP cắt D Chứng minh ba điểm M, D, H thẳng hàng 8A Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD Chứng minh đưòmg trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD, 8B Cho tam giác ABC cân có A góc tù Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, dựng tam giác BNC cân N Chứng minh đường thẳng AM đường trung trực NB, NC đồng quy III BÀI TẬP VỀ NHÀ  Tam giác ABC có A góc tù Các đường trung trực cạnh AB AC cắt O Các điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA hay khơng? Vì sao?  ABC nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối 10 tia OB lấy điểm D cho OB = OD a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh tam giác ABD, CBD vuông   c) Biết ABC = 70° Tính số đo góc ADC Cho  ABC có O giao điểm đường trung trực tam giác Biết BO tia phân  giác góc ABC Chứng minh: 11 a)  BOA =  BOC; b) BO trung trực AC 12 Cho tam giác ABC cân A Các đường trung trực AB AC cắt O Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Chứng minh: 3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 a)  DOB =  EOC; b) AO đường trung trực DE; c) DE // BC 13 AB  Cho tam giác ABC vng A có C = 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua a) Có nhận xét tam giác DBC ? Vì sao? b) Chứng minh AC = BC c) Trên tia BA lấy điểm O cho BO = BA Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp  DBC  14 Cho tam giác ABC có A > 90° Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD = BA, CE = CA Gọi I giao điểm tia phân giác tam giác ABC Chứng minh: a) BI, CI đường trung trực AD, AE; b) IA = ID = IE 15 Trên ba cạnh AB, BC CA tam giác ABC lấy điểm theo thứ tự M, N, P cho AM = BN = CP Gọi O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC  a) Tính số đo góc MAO b) Chứng minh  MAO =  OPC c) Chứng minh O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP 16 Cho  ABC cân (AB = AC ) Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC M N (M N nằm đoạn thẳng BC ) Chứng minh: a)  AMB  ANC cân; b)  AMC =  ANB; c) AO đường trung trực MN 17  Cho  ABC vuông A, C = 30° Kẻ đường trung trực đoạn thẳng AC, cắt AC H cắt BC D Nối A D 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 a) Chứng minh  ABD  b) Kẻ phân giác góc B cắt AD K, cắt DH kéo dài I Chứng minh I tâm đường qua ba đỉnh, tam giác ADC c) Gọi E, F hình chiếu vng góc I xuống đường thẳng BC, BA Chứng minh IE = IF = IK  d) Tính số đo góc DAI 18 Cho  ABC có góc A tù, tia phân giác B C cắt O Lấy E điểm cạnh AB Từ E hạ EP  BO (P thuộc BC), từ P hạ PF  OC (F thuộc AC) Chứng minh: a) OB OC đường trung trực PE PF; b) BE + CF = BC 19 Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng b) Kéo dài CO cắt AB D, kéo dài BO cắt AC E Chúng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy Cho tam giác ABC vng A Kẻ AH vng góc với BC, H  BC Tia phân giác   góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh điểm cách ba cạnh  ABC điểm cách ba đỉnh  ADE 20* 21* Cho  ABC có ba góc nhọn Các điểm F, K, I trung điểm, cạnh BC, BA, AC Gọi H giao điểm đường trung trực  ABC Trên tia đối tia FH lấy điểm A' cho A'F = FH Trên tia đối tia KH lấy điểm C' cho KH = KC' Trên tia đối tia IH lấy điểm B' cho IH = IB' a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song   b) Cho ABC 80 , BAC 60 Tính góc hình sáu cạnh A'BC'AB'C HƯỚNG DẪN 5.Đường gắn khơng không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 1A Gọi đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O Ta có OA = OB = OC Ba điểm phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng tạo thành tam giác ABC Vì OA = OB = OC nên O giao điểm ba đường trưng trực tam giác ABC 1B Tương tự 1A 2A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đó, OA = OB = OC     Suy ra: B  A2 ,C  A1  180  A  O 2    O 180  A1 =>      => BOC O1  O2 360  A 180 => B, O, C thẳng hàng, mà OB = OC => O trưng điểm BC 2B Tương tự 2A 3A Từ giả thiết suy O thuộc đường trung trực BC => OM đường trung trực BC  => OMB = 90° 3B Tương tự 3A 4A a) Từ giả thiết suy I thuộc đường trung trực BC => IB = IC =  BIC cân I     b) Có BIA 180  A2 ; AIC 180  A1    => BIC BIA  AIC 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199   = 180  A1  180  A2  = 2(180  BAC )  Từ đó, suy BIC = 140° 4B Tương tự 4A 5A Vì  ABC cân A nên đường trung trực cạnh đáy BC đồng thời trung tuyến  ABC ứng với cạnh BC Kết hợp với giả thiết suy G trọng tâm  ABC 5B Tương tự 5A 6A a) Từ giả thiết suy OK = OD, OM = OP   PDO  MKO =  PDO (c.c.c) => MKO   b)Từ kết ý a), suy OKN ODM Mặt khác MN = MP, MK = PD =>NK = MD Chứng minh  OKN =  ODM (c.g.c) => ON = OM => O thuộc đường trung trực MN c) Xét  MNP có O giao điểm đường trung trực MN MP => MO đường trung trực NP Mà  MNP cân M nên MO đồng  thời tia phân giác góc NMP 6B a) Từ giả thiết suy OA = OB = OC Suy  AOB =  AOC (c.c.c) Mà  AOB,  AOC tam giác 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199   cân đỉnh O nên OBA OAC b) Chứng minh  BMO =  ANO (c.g.c) => OM = ON => O thuộc đường trung trực MN 7A Chứng minh được:  ABM =  ACM (c.c.c) Từ đó, suy AM đường trung trực BC Theo tính chất ba đường trung trực tam giác, ta suy điểm E thuộc đường trung trực BC Vậy ba điểm A, E, M thẳng hàng 7B Tương tự 7A 8A Từ giả thiết, ta có: AB = AC, DB = DC => AD đường trung trực BC Xét  ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác ta có đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD 8B Tương tự 8A Từ giả thiết suy OA = OB = OC Vậy điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA 10 a) Ta có OA = OB = OC nên OA = OD = OC 8.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 => O giao điểm hai đường trung trực AD DC   b) Ta có : OA = OB => B2 BAO   OA = OD => D1 DAO Xét  BAD có:   BAO    180 B  DAO D 2    => 2( BAO  DAO) 180  BAD 90 Vậy tam giác ABD vuông A Tương tự, ta chứng minh tam giác BCD vuông C 1 Ta ý AO = BD OC = BD Suy kết  ABD vuông A  BCD vng C     c) Ta có: B2  D1 90 ; B1  D2 90     Suy B1  B2  D2  D1 180     => ABC  ADC 180  ADC 180  ABC 110 11   a) Ta có OA = OB = OC B1 B2     nên C1 B1 B2  A1   => AOB COB =>  AOB =  COB (c.g.c) b)  AOB =  COB => BA = BC Mà OA = OC => BO đường trung trực AC 12 Ta có OB = OC, AB = AC  C  , ABC  ACB   C  B  B 2 1 =>  DOB =  EOC (c.g.c) 9.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 b)  DOB =  EOC => OD = OE Mặt khác: AD = AB - BD = AC - CE = AE => AO đường trung trực DE c) AO đường trung trực DE BC nên AO  DE, AO  BC => DE // BC 13 a)Từ giả thiết suy AB đường trung trực CD Suy BD = BC  Mà C = 60° =>  BCD tam giác b) Ta có: AC = DA = CD Từ kết ý a), suy CD = BC Do AC = BC c) Xét  DBC có trung tuyến BA BO = BA => O trọng tâm  DBC => O giao ba đường trung trực  DBC => OA = OB = OC => O tâm đường tròn ngoại tiếp  DBC 14 a)  BAC =  BAD nên  BCD tam giác 1 b) AC = DC = BC c) Do BA trung tuyến nên O trọng tâm Suy CO, DO trung tuyến Mà  BCD nên DO,CO trung trực BC, BD Vậy A tâm đường tròn ngoại tiếp A 15 a) Vì  ABC O giao điểm ba đường trung trực nên AO tia phân 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  giác A  BAC  MAO  30 =>  b) Tương tự ý a), OCP 30 Chứng minh  MAO =  PCO (c.g.c) Ta có:  MAO =  OPC => OM = OP (1) Tương tự ý b),  MAO =  NBO (c.g.c) => OM = ON (2) Từ (1) (2) suy O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP 16 a) Từ giả thiết suy NA = NC, MA = MB nên  AMC cân N  ANB cân M    b) Ta có: A1 NAC  A2 A BAM    A (1) Từ ý a)  ABC cân A, ta có:   NAC  ACB  ABC BAM (2)   Từ (1) (2) suy A1  A3 Ta chứng minh  AMC =  ANB (c.g.c) c) O giao điểm trung trực  ABC => OB = OC Từ ý b), suy AN = AM Từ  OBN =  OCM suy OM = ON Vậy OA trung trực MN 17   a) C 30  B 60   Ta có: DA = DC => DAC C 30 11.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  => BAD = 60° =>  ABD b)  ABD => BK đường trung trực AD => IA = ID, Mà I  DH =>IA = IC.Vậy IA = IC = ID => I tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ADC  c) I thuộc phân giác góc B => IE = IF  DH đường trung trực AC => DH phân giác ADC => IK = IE Vậy IE = IF = IK  d) IK = IF => AI tia phân giác DAF   BAD 60  DAF 120  DAF  DAI  60 => 18 a) Gọi H giao điể PE với OB I giao điểm PF với OC Chứng minh được:  BEH =  BPH (cgv- gn) =>BE = BP, HE = HP => OB đường trung trực PE Tương tự,  FOC =  POC => CF = CP, IF = IP => OC đường trung trực PF b) Từ ý a), ta có: BE + CF = PB + PC = BC 19 a) Ta có:  ABE =  ACD (c.g.c) Từ suy AO đường trung trực đoạn DE 12.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 Xét  ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác nên O thuộc đường trung trực BC Vậy ba điểm A, D, O thẳng hàng     b) Ta có ABC  ACB, B2 C2   => B1 C1 Chứng minh  ADC =  AEB (g.c.g), suy AD = AE (1) Mặt khác, có OB = OC, BE = CD (vì  ADC =  AEB) nên OD = OE (2) Từ (1) (2) suy AK đường trung trực DE Xét  ADE, theo tính chất ba đường trung trực tam giác, ta có AK đường trung trực AD AE đồng quy 20* Vẽ tia phân giác B C  ABC, chúng cắt O Suy O cách ba cạnh  ABC       Ta có: AEB C  A4 , EAB HAB  A3    Vì C HAB (do phụ với góc B )     A4  A3 , nên AEB EAB Suy  ABE cân B  Vậy đường phân giác BO góc B đường trung trực cạnh AE Tương tự, ta có đường phân giác  CO góc C đường trung trực cạnh AD Từ đó, suy O cách ba đỉnh  ADE 21* a) Từ giả thiết suy 13.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  AKH =  BKC' (c.g.c) => AH = BC'   Mà A1 B1 => AH // BC' Tương tự,  AHI =  CB'J =>AH = CB', AH // CB' Vậy ta có BC' = CB' (= AH) BC' // CB'( //AH) Tương tự, ta có: AC' = CA' ( = BH ) AC' // CA' ( // BH); AB' = BA' (= CH ) AB' // BA' (//CH) Mà H giao điểm đường trung trực  ABC nên AH = BH = CH Vậy hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song  b) Tính ACB = 40°     Do  C'BH,  HBA' cân nên B1 B2 B3 B4   Suy C ' BA ' 2 ABC 160     Tương tự, C ' AB ' 2 ABC 120 B ' CA ' 2 ACB 80   AB '/ / BA '  AB ' C  A ' BC ' 160    CB '/ /  BC ' Do      Tương tự, AC ' B B ' CA ' 80 BA ' C 2C ' AB ' 120 14.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên