Chuyên đề 3 chủ đề 4 tính chất ba đường trung tuyến

Toanhocsodo-ĐT:0945943199 CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN\ CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1- Đường trung tuyến tam giác • Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC • Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Tính chất ba đường trang tuyến tam giác Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gọi trọng tâm tam giác đó, điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Nếu G trọng tâm tam giác AG BG CG    ABC AD BE CF II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt tỉ số liên quan tới trọng tâm tam giác Ví dụ Nếu  ABC có trung tuyến AM trọng tâm G ta có AG = = AM , AG = 2GM; GM = AM; 1A Cho  ABC có hai đường trung tuyến BD, CE 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 BG CG , a) Tính tỉ số BD CE b) Chứng minh BD + CE > BC 1B Cho  ABC có BC = cm, đường trung tuyến BD, CE cắt G Chứng minh BD + CE > 12 cm 2A Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt G Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE = PG Trên tia đối tia QG lấy điểm F cho QF = QG Chứng minh: a) GB = GE, GC = GE; b) EF = BC EF//BC 2B Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh: a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB AN // MB Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác Phương pháp giải: Để chứng minh điểm trọng tâm tam giác, ta dùng hai cách sau: - Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung tuyến tam giác - Chứng minh điểm thuộc đường trung tuyến tam giác thỏa mãn tỉ lệ tính chất trọng tâm tam giác 3A Cho  ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Lấy G thuộc cạnh AC cho AG = AC Tia DG cắt BC E Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng cắt F Gọi M giao điểm EF CD Chứng minh: a) G trọng tâm  BCD; b)  BED =  FDE, từ suy EC = DF; 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 c)  DMF =  CME; d) B, G, M thẳng hàng 3B Cho  ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = 2CM Vẽ điểm D cho C trung điểm AD Gọi N trung điểm BD, Chứng minh: a) M trọng tâm tam giác ABD; b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng; c) Đường thẳng DM qua trung điểm AB 4A Cho  ABC với đường trung tuyến AD Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE, tia BC lấy điểm M cho BC = CM Chứng minh C trọng tâm  AEM 4B Cho  ABC Trên đường trung tuyến AM tam giác đó, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EM Chứng minh E trọng tâm  ABC Cho  ABC Vẽ trung tuyến BM Trên tia BM lấy hai điểm G, K cho BG = BM G trung điểm BK Gọi E trung điểm CK; GE cắt AC I Chứng minh: 5A a) I trọng tâm  KGC; b) CI = AC Cho  ABC, M trung điểm AC Trên đoạn BM lấy điểm K cho KM = KB Điểm H thuộc tia đối tia MK cho BH = 2BK Gọi I điểm thuộc cạnh AC IC = CA Đường KI cắt HC E 5B a) Chứng minh I trọng tâm  HKC E trung điểm HC E IE IC , b) Tính tỉ số IK MC Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I trung điểm KC) 6A Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn Gọi M, N trung điểm BC, CD Đoạn thẳng AM, AN cắt BD I K Chứng minh: a) I trọng tâm  ABC K trọng tâm  ADC; b) BI = IK = KD 3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 6B Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = BD Gọi P, Q điểm BE cho BP = PQ = QE Chứng minh: a) CP, CQ cắt AB, AE trung điểm AB,AE b) CP//AQ CQ//AP Dạng Vấn đề đường trung tuyến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác Phương pháp giải: Chú ý tính chất tam giác vuông, tam giác cân, tam giác 7A Cho  ABC vuông A, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA  a) Tính ABD b) Chứng minh  ABD =  BAC c) Chứng minh AM = BC 7B Cho  ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Tính khoảng cách từ trọng tâm G  ABC tới đỉnh, tam giác 8A Cho  ABC , trung tuyến AM = BC     a) Chứng minh BMA 2 MAC CMA 2 MAB  b) Tính BAC 8B Cho hình vẽ, biết  ABC có hai đường trung tuyến BN,CP vng góc với G Tia AG cắt BC I BC = cm Tính độ dài GI,AG 9A Cho  ABC cân A có đường trung tuyến AM a) Chứng minh AM  BC 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm Tính độ dài đoạn vng góc kẻ từ B xuống AC 9B Cho  ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, trọng tâm G Tính độ dài GM 10A Cho  ABC có hai đường trung tuyến BM, CN a) Chứng minh  ABC cân A BM = CN b) Ngược lại BM = CN, chứng minh: i) GB = GC, GN = GM; ii) BN = CM; iii)  ABC cân A 10B Cho  ABC có hai đường trung tuyến BM CN cắt G Biết BM = CN Chứng minh AG  BC 11A Cho  ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AM = BN = CP Chứng  ABC 11B Cho  ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AG = BG = CG Chứng minh  ABC III BÀI TẬP VỀ NHÀ 12 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh: a) A trọng tâm  CDE; b) Đường thẳng CA qua trung điểm DE 13 Cho bốn điểm A, B,C, D khơng thẳng hàng hình vẽ Gọi O giao điểm AC BD Trung điểm BD AC M, N Chứng minh AC + DB > 2MN 14 Cho  ABC vuông A, AB = cm, AC = cm a) Tính BC b) Đường thẳng qua trung điểm I BC vng góc với BC cắt AC   D Chứng minh CBD DCB 5.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 c) Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Chứng minh  BCE vuông 15 Cho  ABC vuông A, trung tuyến AM Biết AB = 6cm, AC = 8cm a) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh  AMB =  DMC b) Chứng minh  BAC =  DCA c) Tính AM AB  AC D0 Chứng minh AM < 16 Cho  ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vng góc với nhau, trọng tâm G Biết AM = 4,5 cm, BN cm Tính độ dài cạnh  ABC HƯỚNG DẪN 1A Gọi giao điểm hai đường trung  GBC có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác) tuyến 2 2 Mà GB = BD, GC = CE nên: BD + CE > BC Do BD + CE > BC 1B Tương tự 1A BD + CE > = 12 cm 2A a) Vì G trọng tâm  ABC nên BG = 2GP, CG = 2GQ Lại có PE = PG, QF = QG nên GE = 2GP, GF = 2GQ Do BG = GE,CG = GF b) Suy  GBC =  GEF (c.g.c) 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên BD,CE G Toanhocsodo-ĐT:0945943199   Từ ta có EF = BC GEF GBC => EF // BC 2B Tương tự 2A 3A a) Vì AD = AB nên A trung điểm BD => CA đường trung tuyến  BCD Mà AG = AC => G trọng tâm  BCD   b) Ta có : BD || EF => BDE DEF   DE || BC => BED EDF =>  BED =  FDE (g.c g) => BE = DF (hai cạnh tương ứng) (1) Mặt khác G trọng tâm  BCD nên E trung điểm BC => BE = EC (2) Từ (1) (2) suy EC = DF c)  DMF =  CME (g.c.g) d) Do  DMF =  CME => MD = MC => M trung điểm DC => BM trung tuyến  BCD => G  BM => B, G, M thẳng hàng 3B Tương tự 3A a) M thuộc đường trung tuyến BC  ABD mà BM = 2CM nên M trọng tâm  ABD Do M thuộc trung tuyến AN => Ba điểm A, M, N thẳng hàng b) DM trung tuyến thứ ba  ABD nên DM qua trung điểm AB 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 4A Theo đề ta có AD = DE nên C thuộc MD đường trung tuyến tam giác AEM (1) Mặt khác ta có BC = 2CD BC = CM nên CM = 2CD (2) Từ (1) (2) suy C trọng tâm  AEM 4B Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE = AM Mà E thuộc trung tuyến AM nên E trọng tâm  ABC 5A a) Theo đề BG = BM Suy BG = 2GM => GK = 2GM =>M trung điểm GK Do I giao điểm ba đường trung tuyến  KGC b) I trọng tâm  KGC nên 2 1 CI = CM= AC = AC 5B Tương tự 5A a) M trung điểm KH Suy I trọng tâm  HKC Suy KI trung tuyến  KHC IE IC  ,  b) IK MC Suy HI trung tuyến  KHC 6A a)  ABC có hai đường trung BO, AM cắt I nên I trọng tâm  ABC 8.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 Tương tự ta có K trọng tâm  ADC b) Từ ý a) suy ta có: 2 BI = BO, DK = DO Mặt khác BO = DO 1 => BI = DK = BO = BD => IK = BC Suy ĐPCM Do BI = IK = KD 6B Tương tự 6A a) Chứng minh P,Q trọng tâm  ABC,  AEC.Suy ĐPCM b) Chú ý  ADP =  CQD  ADQ =  CDP 7A a)  AMC =  DMB (c.g.c)   => ADB DAC => BD //AC Mà AB  AC nên AB  BD  => ABD = 90° b)  ABD =  BAC (c.g.c) c)  ABD =  BAC (c.g.c) => AD = BC 1 Mà AM = AD => AM = BC 7B Áp đụng đinh lý Pytago tam giác vng ABC tínhđược BC = 10cm Gọi M trung điểm BC Do AM = 5cm 9.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 2 10 AM   cm 3 => AG = Tương tự tính 2 BG  BN  AB  AN  52 3 cm CG  8A 73 cm a) Ta có: MA = MB = MC = BC =>  MAB,  MAC tam giác cân M Do         BMA MAC  MCA 2MAC , CMA MAB  MBA 2MAB     b) Theo ý (a) ta có ( MAB  MAC ) MBA  CMA = 180°  => BAC = 90° 8B Vì GI đường trung tuyến kẻ từ G đến BC 1 => GI = BC = = 2,5 cm Lại có AI đường trung tuyến  ABC, G trọng tâm => AG = 2GI = 2.2,5 = 5cm 9A   a)  ABM =  ACM (c.c.c) AMB  AMC = 90° => AM  BC b) BC = 12cm => BM = 6cm Áp dụng Định lí Pytago cho tam giác vng AMB, ta tính được: AM = 8cm 1 Vẽ BC Chứng minh dt  ABC = BC AM = AC BN Từ tính BN = 9,6cm 9B Tương tự 9A BM = 12cm 1 => GM = BG = 12 = 4cm 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 10A a)  BMC =  CNB (c.g.c) => BM = CN b) i) Do G trọng tâm  ABC nên: GB = BM,GM = BM, GC = CN, GN = CN Mà BM = CN nên GB = GC,GN = GM ii) Từ ý i) suy  GBN =  GCM (c.g.c) => BN = CM iii) Vì BN = CM nên BN = CM => AB = AC Do  ABC cân A 10B Tương tự 10A Chứng minh tam giác ABC cân A Kéo dài AG cắt BC M Ta có  AMB =  AMC (c.c.c) Suy ĐPCM 11A Ta có BN = CP nên GB = GC,GP = GN Tương tự 10A, ta có AB = AC Tương tự, ta có AB = BC Vậy AB = BC = CA Suy  ABC 11B Ta có AG = BG = CG AG = AM, 2 BG = BN, CG = CP => AM = BN = CP Tương tự 11A suy ĐPCM 12 Tương tự 3B a) Ta có BD = BC, EB đường trung tuyến  CDE Mặt khác AE = 2AB nên A trọng tâm 11.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  CDE b) Vì A trọng tâm  CDE nên CA đường trung tuyến, suy ĐPCM 13 Ta có OD + OA > AD OA + OB > BC OB + OC > BC OC + OD > DC (OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA Sử dụng kết 12 trang 93, ta có: AB + BC + CD + DA > 4MN Suy ĐPCM Chú ý: Trung điểm G MN gọi trọng tâm hình ABCD 14 a) BC = 10 cm b)  BDI =  CDI (hai cạnh góc vng)   => CBD DCB c) Ta có  BCD cân D => DC = DB  CDE cân D => DE = D => CD = BE =>  BCE vuông C 15 a)  AMB =  DMC (c.g.c) b) Chứng minh CD ||AB mà AB  AC nên AC  DC Từ suy  BAC =  DCA (hai cạnh góc vng) 12.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 c) AM = cm d) Xét  ABC có BC < AB + AC, AB  AC mà BC = 2AM nên AM < 16 Vì G trọng tâm  ABC nên : 2 AG = AM = 4,5 = 3cm, 2 BG = BN = = 4cm  ABG vuông G nên : AB2 = AG2 + BG2 = 32 + 42 = 25 Suy AB = cm 13.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên