Chuyên đề 18 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm tam giác) Trọng tâm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua điểm (h.18.1) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM CN cắt G Trên tia GB GC lấy điểm F E cho G trung điểm FM đồng thời trung điểm EN Chứng minh ba đường thẳng AG, BE CF đồng quy Giải (h.18.2) * Tìm cách giải Để chứng minh ba đường thẳng AG, BE CF đồng quy ta chứng minh chúng ba đường trung tuyến tam giác GBC * Trình bày lời giải Gọi D giao điểm AG BC Vì G trọng tâm ABC nên AD đường trung tuyến, suy DB DC 1 Ta có GF GM BM ; GE GN CN 3 Do GF FB BM ; GE EC CN Xét GBC có GD, BE, CF ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy suy ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Bx // AC Lấy điểm D Bx điểm E thuộc tia đối tia CA cho BD = CE Chứng minh ABC ADE có trọng tâm Giải (h.18.3) * Tìm cách giải Tam giác ABC ADE có chung đỉnh A nên muốn chứng minh chúng có trọng tâm, cần chứng minh chúng có chung đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A * Trình bày lời giải x BCE Vì Bx // AC nên CB (so le trong) Gọi M trung điểm BC Ta có BMD CME (c.g.c) Suy MD ME 1 BMD CME Ta có BME CME 180o (kề bù) Do BME BMD 180o D, M, E thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy M trung điểm DE ABC ADE chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G hai tam giác trùng * Nhận xét: Để chứng minh hai tam giác có trọng tâm ta chứng minh chúng có chung đỉnh chung đường trung tuyến qua đỉnh Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD Trên tia đối tia DA lấy điểm K cho DK AD Qua B vẽ đường thẳng song song với CK cắt AC M Chứng minh M trung điểm AC Giải (h.18.4) * Tìm cách giải Để chứng minh M trung điểm AC ta chứng minh BM đường trung tuyến Muốn vậy, cần chứng minh BM qua trọng tâm G * Trình bày lời giải Gọi G giao điểm BM AD Ta có BDG CDK (g.c.g) Suy DG DK AD Xét ABC có điểm G nằm đường trung tuyến AD mà GD AD nên G trọng tâm Suy BM đường trung tuyến MA MC Ví dụ 4: Chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác Giải (h.18.5) * Tìm cách giải Để chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác, ta chứng minh ba đường trung tuyến tỉ lệ với ba cạnh tam giác * Trình bày lời giải Gọi AD, BE, CF ba đường trung tuyến ABC Ba đường trung tuyến cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm H cho DH DG Ta có CDG BDH (c.g.c) GC HB Theo tính chất ba đường trung tuyến ABC ta có: 3 3 AD GA GH ; BE GB; CF GC BH 2 2 Suy AD BE CF GH GB BH Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh tam giác GHB, ba đường trung tuyến ba cạnh tam giác C Bài tập vận dụng Chứng minh đồng quy, thẳng hàng 18.1 Chứng minh tam giác có hai cạnh khơng đường trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ đường trung tuyến ứng với cạnh bé 18.2 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ AH BC Cho biết AB 10cm, AC 13cm, AH 3cm Gọi O điểm AH cho AO 2cm Gọi M N trung điểm AB HC Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng Chứng minh trọng tâm 18.3 Cho tam giác ABC Gọi D E hai điểm cạnh BC cho BD DE EC Vẽ đường trung tuyến AO tam giác ABC Trên tia đối tia OA lấy điểm F cho OF OA a) Chứng minh D trọng tâm tam giác BAF; E trọng tâm tam giác CAF b) Tia AD cắt BF N, tia FE cắt AC M Chứng minh tam giác ABC tam giác AMN có trọng tâm 18.4 Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng a // BC Qua B vẽ đường thẳng b // AC qua C vẽ đường thẳng c // AB Các đường thẳng b c cắt A’ cắt đường thẳng a C’ B’ Chứng minh ABC ABC có trọng tâm 18.5 Cho góc xOy điểm G góc Hãy xác định điểm A Ox;B Oy cho G trọng tâm tam giác AOB Tính độ dài đường trung tuyến 18.6 Cho tam giác ABC cân A, AB 3 41cm, BC 24cm Tính độ dài đường trung tuyến BM 18.7 Cho tam giác ABC vuông A Các đường trung tuyến BE, CF cắt G Biết GB 4 61cm, GC 2 601cm Tính chu vi tam giác ABC 18.8 Cho tam giác ABC vuông A, AB 2 AC Chứng minh đường trung tuyến AM CN vng góc với 18.9 Chứng minh tổng ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi tam giác Chứng minh trung tuyến, trung điểm 18.10 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE CF Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh AG BC 18.11 Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD AC Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE CB Tia BD cắt AE điểm M Trên tia CM lấy điểm N cho M trung điểm NC Chứng minh AN BC 18.12 Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh tam giác ABC tam giác cân AB GB AC GC 18.13 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh AM BC A 90o 18.14 Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh BGC 90o AB AC 3BC Hướng dẫn giải 18.1 (h.18.6) Xét tam giác ABC có BE CF hai đường trung tuyến cắt G Giả sử AC AB, ta phải chứng minh BE CF Ta vẽ thêm đường trung tuyến AD, theo tính chất ba đường trung tuyến ta có AD qua G Xét ADB ADC có: DB DC , AD chung AB AC nên ADB ADC (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) Xét GDB GDC có: DB DC , GD chung ADB ADC (chứng minh trên) nên GB GC , suy 2 BE CF , BE CF 3 18.2 (h.18.7) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng ABH ACH ta tính HB = 1cm, HC = 2cm Vì N trung điểm HC nên HN NC 1cm Do HN HB 1cm Vậy AH đường trung tuyến ABN Mặt khác AH 3cm, AO 2cm nên AO AH , suy O trọng tâm ABN Ta có NM đường trung tuyến NAB, NM phải qua trọng tâm O Vậy ba điểm M, N, O thẳng hàng 18.3 (h18.8) a) Xét BAF có OA OF nên BO đường trung tuyến Điểm D nằm đường trung tuyến BO mà BD BC BO (vì BC 2 BO ) nên D trọng tâm 3 BAF Chứng minh tương tự ta E trọng tâm CAF b) Vì D trọng tâm BAF nên đường thẳng AD đường trung tuyến Vì AD cắt BF N nên FN BN BF 1 Chứng minh tương tự ta AM MC AC 2 Ta có OFB OAC (c.g.c) Suy BF AC 3 OFB OAC Từ (1), (2), (3) suy AM FN AOM FON (c.g.c), suy OM ON AOM FON Ta có AOM FOM 180o (kề bù) Suy FON FOM 180o , ba điểm M, O, N thẳng hàng (5) Từ (4) (5) suy O trung điểm MN AO đường trung tuyến AMN ABC AMN có chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AO nên có trọng tâm G 18.4 (h.18.9) Theo tinh chất đoạn chắn song song ta có AB BC , AC BC suy AB AC Chứng minh tương tự ta BC BA CA CB Xét ABC , ba đường thẳng AA, BB, C C ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy điểm G Gọi M giao điểm AA với BC; N giao điểm BB với AC; P giao điểm CC với AB Ta có AMC AMB c.g.c suy MC MB Vậy AM đường trung tuyến ứng với cạnh BC ABC Chứng minh tương tự ta BN, CP đường trung tuyến tương ứng với cạnh AC, AB ABC Ba đường trung tuyến AM, BN, CP ABC gặp điểm Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP ba đường thẳng AA, BB, C C Do trọng tâm G ABC trọng tâm ABC 18.5 (h.18.10) Tìm cách giải Giả sử vẽ tam giác AOB cho G trọng tâm Tia OG cắt AB trung điểm M Trên tia OG lấy điểm K cho OK 3OG Ta chứng minh AMK BMO c.g.c ; AMO BMK c.g.c Suy KA // Oy;KB // Ox Do xác định A B Trình bày lời giải - Vẽ tia OG, lấy điểm K cho OK 3OG - Từ K vẽ KA // Oy A Ox KB // Ox B Oy - Vẽ đoạn thẳng AB cắt OK M Khi G trọng tâm AOB Thực vậy, ta có AK OB (tính chất đoạn chắn song song) AMK BMO g.c.g , suy MA MB 1 MK MO Vì OK 3OG nên OM OG hay OG OM 2 Từ (1) (2) suy G trọng tâm AOB 18.6 (h.18.11) Vẽ đường trung tuyến AD, BM cắt G Ta có ADB ADC c.c.c Suy DB DC 12cm; ADB ADC 180o : 90o Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABD vuông D ta AD AB BD (3 41) 122 225 AD 15(cm) Vì G trọng tâm ABC nên GD AD 5cm Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác GBD vuông D ta GB GD BD 52 122 169 GB 13 cm 3 Suy BM BG 13 19,5 cm 2 18.7 (h.18.12) Vì G trọng tâm ABC nên 3 BE BG 61 6 61 cm 2 3 CF CG 601 3 601 cm 2 Xét ABE vuông A ta có: BE AB AE AB AC 61 2196 1 Xét ACF vng A ta có: AB CF AF AC AC 601 2 Từ (1) (2), suy 5409 2 AB AC 7605 2 Mặt khác AB AC BC Suy 3 BC 7605 BC 6084 BC 78 cm Ta viết (3) thành AB Mà theo (1) AB AC AC 6084 4 AC 2196 So sánh (*) (**) ta * ** AC 6084 2196 3888 AC 5184 AC 72 cm Từ ta tính AB BC AC 6084 5184 900 AB 30cm Vậy chu vi ABC là: 78 72 30 180 cm 18.8 (h.18.13) Đặt AC b Áp dụng định lí Py-ta-go cho ABC vng A ta có: BC AB AC 2 AC AC 3 AC 3b 3b BC 3b AM BC b 2 Áp dụng định lí Py-ta-go cho ACN vng A ta có: Gọi G trọng tâm ABC , ta có 2 6 CG CN b b CG b 3 3 2 3 AG AM b b AG b 3 3 2 2 2 Xét GAC có CG AG b b b mà 3 AC b nên AC CG AG Do theo định lí Py-ta-go đảo ta GAC vng G Suy AM CN 18.9 (h.18.14) Xét ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF cắt G Xét GBC ta có GB GC BC BE CF BC 1 Tương tự, ta có CF AD CA; AD BE BE CF BC 3 AB 2 (3) Cộng vế bất đẳng thức (1) (2) (3) ta được: BE CF AD BC CA AB Suy BE CF AD BC CA AB Nhận xét: Trong 17.7 ta chứng minh AD + BE + CF lớn nửa chu vi tam giác Như kết “mạnh” kết 17.7 18.10 (h.18.15) Xét ABC có BE CF hai đường trung tuyến BE CF 2 Vì G trọng tâm nên GB BE , GC CF 3 GB GC ; GE GF Ta có GBF GCE c.g.c BF CE , dẫn tới AB AC Gọi D giao điểm đường thẳng AG với BC Do G trọng tâm nên AG đường trung tuyến Suy DB DC Ta có ADB ADC c.c.c , ADB ADC 180o : 90o Vậy AG BC 18.11 (h.18.16) Xét ABE có AC đường trung tuyến Mặt khác D AC AD AC nên D trọng tâm ABE Suy đường thẳng BD chứa đường trung tuyến ứng với cạnh AE, MA ME Ta có AMN EMC c.g.c AN EC Do AN BC (vì BC EC ) 18.12 (h.18.17) Chứng minh mệnh đề AB GB AC GC ABC cân A Ta chứng minh phản chứng Giả sử AB AC 1 Vẽ tia AG cắt BC D Khi AD đường trung tuyến nên DB DC Xét ADB ADC có: AD chung; DB DC AB AC nên ADB ADC (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) Xét GDB GDC có: GD chung; DB DC GDB (chứng minh trên) nên GDC GB GC 2 Từ (1) (2) suy AB GB AC GC (trái giả thiết) Vậy điều giả sử AB AC sai (*) Nếu AB AC ta đến mâu thuẫn AB AC sai (**) Từ (*) (**) suy AB AC ABC cân A Chứng minh mệnh đề ABC cân A AB GB AC GC Gọi E giao điểm BG vơi AC; F giao điểm CG với AB Khi EA EC ; FA FB ABE ACF c.g.c BE CF , 2 BE CF , dẫn tới GB GC 3 Suy AB GB AC GC 18.13 (h.18.18) Chứng minh mệnh đề A 90o AM BC Ta chứng minh phản chứng Giả sử AM BC , A 90o , trái giả thiết Giả sử AM BC , tức AM BM AM MC A Xét ACM có AM CM C A Xét ABM có AM BM B C A A BAC Do B o C A A 180 90o trái giả thiết Suy A B Vậy A 90o AM BC Chứng minh mệnh đề AM Ta có AM BC A 90o BC tức AM BM AM CM A Xét ACM có AM CM C A Xét ABM có AM BM B o C A A 180 90o C A A BAC Do B Suy A B 2 18.14 (h.18.19) Gọi D giao điểm tia AG với BC Ta có DB DC GD đường trung tuyến tam giác GBC Xét GBC có BGC 90o (giả thiết) suy GD BC (xem 17.13) AD BC 1 Trên tia AD lấy điểm cho DK DA ACD KBD c.g.c Suy AC BK Xét ABK có AB BK AK Do AB AC AD Từ (1) (2), suy AB AC .BC 3BC