Chuyên đề 3 chủ đề 6 tính chất ba đường phân giác

Toanhocsodo-ĐT:0945943199 CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định lí: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Cụ thể: A  A  ,B  B  ,C  C  2 => ID = IE = IF Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao tam giác Ngược lại, tam giác có đường phân giác vẽ từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến (hoặc đường cao) tam giác tam giác cân đỉnh  ABC : AB = AC A  A  => BD = DC II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: • Giao điểm hai đường phân giác hai góc tam giác nằm đường phân giác góc thứ ba • Giao điểm đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199   Tìm x hình vẽ sau biết CI BI hai phân giác ACB ABC ,   EH FH hai phân giác DEF DFE 1A 1B Tìm x hình vẽ sau biết I, H giao điểm ba đường phân giác góc tam giác 2A Cho hình vẽ bên, biết KN = 12 cm, IN = 13 cm I giao điểm, phân giác tam giác MNL a) So sánh IP IH b) Tính IH 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 2B  Cho xOy , tia phân giác Oz Trên tia Ox lấy điểm A cho OA = 4cm Từ A kẻ đường thẳng vng góc với Ox cắt Oz H, cắt Oy K Lấy điểm B tia Ox cho A trung điểm OB Hạ HI  OK a) Chứng minh AH = HI b) Biết OH = cm, tính khoảng cách từ điểm H đến BK Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Vận dụng tính chất ba đường phân giác tam giác 3A BC Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M trung điểm a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy H HM c) Giả sử có MN = MP = NP, tính tỉ số MK 3B Cho tam giác MNP có MN = MP Hạ MK  NP (K  NP) Gọi NE, PF tia phân giác góc N P tam giác MNP Chứng minh: a) MK tia phân giác góc NMP; b) MK, NE, PF đồng quy 4A Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng 4B Cho góc xOy nhọn Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Trên tia Ox lấy điểm C cho BC tia phân giác góc ABy Gọi I giao điểm hai tia phân giác góc xAB xOy Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tam giác cân, đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao 5A Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm.I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng 3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 5B Cho tam giác ABC cân A Gọi I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh AI vng góc với BC 6A Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác góc A Chứng minh tam giác ABC cân A 6B Cho tam giác ABC có đường cao AH đồng thời đường phân giác góc A Chúng minh tam giác ABC cân A Dạng Chứng minh mối quan hệ góc Phương pháp giải: • Vận dụng tính chất tia phân giác góc để tìm mối liên hệ góc • Dùng định lí tổng ba góc tam giác 180° 7A Cho  ABC, Các tia phân giác góc B C cắt I  a) Biết A = 70°, tính số đo góc BIC  b) Biết BIC = 140°, tính số đo góc A A  c) Chứng minh BIC = 90° + 7B Cho tam giác DEF cân D Gọi I giao điểm tia phân giác EP, FQ  a) Biết EIF = 110°, tính số đo góc D  b) Biết D = 50°, tính số đo ba góc tam giác IPF 8A   Cho tam giác ABC có B  C Từ đỉnh A kẻ đường cao AH tia phân giác AD    a) Biết B 70 , C 50 , tính số đo HAD  C  B  HAD  B) Chứng minh 8B Cho  ABC (AB > AC), I giao điểm ba đường phân giác Tia AI cắt BC D Hạ IH vuông góc với BC H   a) Nếu B 40 , C 60 , Tính số đo góc HID  C  B  HID  b) Chứng minh III BÀI TẬP VỀ NHÀ Tìm x, y biết M giao điểm phân giác tam giác ABC 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 10 Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi H, J, K chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC, BC Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm a) Chứng minh  BHI =  BKI b) Chứng minh tam giác AHI tam giác vng cân c) Tính chu vi tam giác ABC 11 Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho MB = AB, tia đối tia CB lấy điểm N cho NC = AC Qua M kẻ đường thẳng song song với AB Qua N kẻ đường thẳng song song với AC Hai đường thẳng cắt P Chứng minh:   a) MA, NA tia phân giác PMB, PNC  b) Tia PA cắt BC K Chứng minh PA tia phân giác MPN , từ suy AK tia  phân giác BAC 12 K Cho tam giác ABC Các đường phân, giác góc ngồi đỉnh A C cắt a) Chứng minh BK phân giác góc ABC b) Cho tia phân giác góc A C tam giác ABC cắt I Chứng minh B, I, K thẳng hàng   c) Cho biết ABC = 70° Tính AKC 13 Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác Bx Cy cắt E 1  BEC  FEH Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy 14 Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng 15 Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách hai cạnh bên 16 Cho tam giác ABC cân A CP, BQ tia phân giác tam giác ABC (P  AB, Q  AC) Gọi O giao điểm CP BQ a) Chứng minh tam giác OBC tam giác cân b) Chứng minh điểm O cách ba cạnh tam giác ABC 5.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 c) Chứng minh đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vng góc với d) Chứng minh CP = BQ e) Tam giác APQ tam giác gì? Vì 17 Chứng minh tam giác cân, đường phân giác ứng với cạnh bên    18 Cho xOy = 50° Lấy điểm A  Ox, B  Oy Các tia phân giác xAB yBA cắt E a) Tính số đo góc AEB   b) Các đường AE, BE cắt phân giác ngồi góc xOy K, F Biết OBA = 40°.Tính góc tam giác KEF 19 Cho tam giác ABC vng A Kẻ AH vng góc với BC (H  BC)  Tia phân giác HAB cắt BC D a) Chứng minh tam giác ACD tam giác cân   b) Các tia phân giác HAC AHC cắt I Chứng minh CI qua trung điểm,  AD Từ tính góc AIC 20 Tam giác ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C Gọi D giao điểm AI BC Kẻ IH vng góc với BC (H  BC) Chứng minh:  a) AD tia phân giác A ;  B  CID 90  b)   c) BIH CID 21 Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B đến AI Chứng minh:   a) Các góc ICB BIH hai góc phụ nhau;   b) IBH  ACI 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 22* Cho tam giác ABC Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC hạ BM vuông góc với AC (M  AC) Qua C kẻ đường thẳng x'y' song song AB hạ CN vng góc vói AB (N  AB) Hai đường thẳng xy x'y' cắt P Chứng minh:  a) Đường phân giác A hai đường BM, CN đồng quy;  b) Đường phân giác A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy HƯỚNG DẪN 1A       a) Ta có B +C 2 IBC + ICB 2( IBC  ICB ) 120    = A 180  ( B + C ) 180  120 60   Mà BI, CI tia phân giác B C nên I giao điểm ba đường phân giác  ABC  A  x  A = 30° => AI tia phân giác    b) Ta có  DEF cân D => F E 2 HEF 64  DEF  DFE  x  32 => FH tia phân giác 1B Tương tự 1A a) x = 24° b) x = 33° 2A a) I giao điểm ba đường phân giác  MLN Do I cách ba cạnh  MLN => IP = IH 2 b) Xét  IKN vuông K : IK  IN  IK 5cm => IH = IK = cm 2B a) Do KA vừa đường cao vừa trung tuyến nên  OKB cân K  Suy KA phân giác OKB Vì H 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  nằm tia phân giác xOy nên H cách Ox, Oy => AH = HI b) Tính AH = 52  42 3cm Từ giả thiếp ta suy H giao điểm ba đường phân giác  OBK nên H cách ba cạnh tam giác Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK AH = 3cm 3A a) Chứng minh  AMB =  AMC (c.c.c) Từ suy AM tia phân giác góc BAC b) Xét  ABC có AM, BD,CE tia phân giác Từ tính chất ba đường phân giác tam giác, suy ba đường thẳng AM,BD,CE đồng quy 3B a) b) tương tự 3A c) Khi  MNP tam giác MN, KE, PF ba đường trung tuyến HM  Vậy H trọng tâm, hay MK 4A Gọi F,H,G hình chiếu vng góc điểm E xuống đường thẳng AB, AC BC Từ giả thiết suy EF = EG EH = EG => EF = EH nên E thuộc tia phân giác góc BAC Mà AD tia phân giác góc BAC 8.Đường gắn khơng khơng đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng 4B Tương tự 4A 5A I nằm tam giác cách ba cạnh tam giác nên MI tia phân giác góc M Do  MNP cân M nên đường giác MI đường trưng tuyến G trọng tâm  MNP nên G nằm MI Từ đó, suy M,G, I thẳng hàng 5B Tương tự 5A 6A Hạ MD  AB, ME  AC  Vì AM tia phân giác A nên MD = ME Do  BDM =  CEM (ch-cgv)   Suy B C Vậy  ABC cân A 6B Tương tự 6A Chứng minh  ABH =  ACH (g.c.g) =>  ABC cân A 7A   a) Xét  ABC, ta tính B  C = 110°   Do đó, IBC  ICB = 55° 9.Đường gắn khơng không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  Vậy BIC = 180° - 55° = 125° b) Xét  BIC, từ giả thiết suy   IBC  ICB = 40° Do đó, ta có: ABC  ACB = 80°  Vậy BAC = 100°    c) Ta có: = BIC 180 - ( IBC  ICB) 180 =  C  B 180  A 180 2 A  A  180 -  90 -  90 +    7B Tương tự 7A  a) D = 40°     b) EIF 115 ; IPF 82 30 '; IFP 32 30 ' ; EIF 115 8A a) Từ giả thiết, ta tính được:  BAC 60  BAC    DAC  30 DAB    => ADH DAC  C 80 Do đó, xét  AHD ta tính  HAD 10  Có thể tính BAH = 90° - 70° = 20°  Vậy HDA = 30°- 20° = 10°   b) HAD = 90° - HDA   C   A   180  A  2C B 90 -   C    2  2   = 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 8B Tương tự 8A Tương tự 1A a) x = 19° 10 b) x = 33°; y = 24° a)  BHI =  BKI (ch-gn) Do đó, BH = BK = 2cm A  HAI  45 b) AI tia phân giác góc A nên Do đó,  AHI tam giác vng cân c) Ta có IH = IK = IJ = 1cm Từ đó, suy AH = HI = lcm Tương tự ý b), ta có AJ = KI = cm  IKC =  IJC (ch-gn) => IC = KC = 3cm  IBH =  IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm Do đó, ta có: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm Vậy chu vi tam giác ABC 12cm 11   a)  ABM cân nên A1 M   Có AB // MP => M  A1 (so le trong)   Vậy M M , nên MA tia phân giác  PMB Tương tự,  ACN có NA tia phân giác  PNC b) Xét  PMN có A giao điểm hai tia phân giác góc M N nên PA tia phân giác góc MPN Có:   AB //MP => BAK P1 ( đồng vị) 11.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199   AC // PN => KAC P2 (đồng vị)   Mà P1 P2 (do PA tia phân giác góc MPN) nên Do đó, AK tia phân giác BAC 12 a) Tương tự 4A b) Vì I giao điểm tia phân giác   góc A C  ABC nên  BI phân giác ABC Suy B, I, K thẳng hàng c) Sử dụng 7A, ta có:  AIC 90  ACB 125   Chú ý IAK ICK = 90° nên suy  KAC = 180° - 125° = 55° 13 Từ 4A, ta chứng minh E  thuộc tia phân giác góc BAC Do đó, tia AD qua điểm E Chú ý: 1 1   BEG  FEG ; CEG  HEG 2 Suy ĐPCM 14 Vì  ABC cân A nên tia phân giác AK đồng thời đưòng trung tuyến Mà BD trung tuyến  ABC nên K trọng tâm  ABC 12.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 Do I, K, C thẳng hàng 15 Ta có  ABM =  ACM (c.c.c), suy  AM tia phân giác BAC Vậy điểm M cách hai cạnh bên AB, AC 16   a) Vì  ABC cân nên ABC  ACB ,   B2 C2 Vậy  OBC cân O b) Vì O giao điểm tia phân giác CP BQ  ABC nên O giao điểm ba đường phân, giác  ABC Do đó, O cách ba cạnh  ABC c) Ta có  ABC cân A, AO tia phân giác đỉnh A nên AO đồng thời trung tuyến đường cao  ABC Vậy đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vng góc với d)  PBC =  QCS (g.c.g) => CP = BQ e) Từ ý d), ta suy AP = AQ Vậy tam giác APQ cân A 17   Vì  ABC cân A nên ABC  ACB   Do , B1 C1  ABD =  ACE (g.c.g) => BD = CE 13.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 18  a) Xét  OAB, O = 50° nên ta có   OAB  OBA 130 Mặt khác   xAB 180    yBA 180   OAB  OBA nên  xAB  yBA 230 Do đó, 230   EAB  EBA  115 Xét  AEB, ta tính AEB 180  115 65 b) Tương tự, tính  EKF 70 Suy  KFE 45 19 a) Ta có:   DAC  A1 90   DAC  ADC     ADC  A2 90 =>  ACD cân C b) Vì  ACD cân C nên tia phân giác CI đồng thời đường trung tuyến Do CI qua trung điểm M AD   Do  AMI vuông cân M nên AIM 45 , hay AIC = 135° 20 Xét  ABC có I giao điểm   tia phân giác góc B C nên  AI tia phân giác A 14.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  => AD tia phân giác A       A  C 90  B CID  A2  C 2 b)    90  B BIH 90  B 2 c) Ta có   Kết hợp với câu b), suy BIH CID 21 a) Từ giả thiết suy IA, IB, IC tia phân giác  ABC Tương tự 20 ý b), chứng minh   I1 90  C1   Vậy góc ICB BIH hai góc phụ b) Vì  IBH vuông H nên:   ) C  C  IBH 90  I 90  (90  C 1   Vậy IBH  ACI 22* a) Vì  ABC nên đường cao BM,CN đồng thời đường phân giác  ABC  Vậy đường phân giác góc A hai đường BM, CN đồng quy b) Từ giả thiết suy BM  BP, mà BM tia phân giác  ABC nên BP tia phân giác ngồi  ABC Tương tự, ta có CP tia phân 15.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ khơng làm khơng nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 giác ngồi  ABC Từ 5A, ta chứng minh P thuộc đường phân giác góc A  Vậy đường phân giác góc A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy 16.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên