Tính chất ba đường phân giác trong tam giác (

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC.

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Bài toán: Cho , tia phân giác c a góc A và góc B c t nhau t i I ủ ắ ạ

Ch ng minh r ng: I cách đ u ba c nh c a ứ ằ ề ạ ủ

A

I

H

K

L

K t i H, t i K, t i L ẻ ạ ạ ạ

Vì I thu c phân giác (gt)ộ (tính ch t đi m thu c phân giác c a m t góc)ấ ể ộ ủ ộ

Vì I thu c phân giác (gt)ộ (tính ch t đi m thu c phân giác c a m t góc)ấ ể ộ ủ ộ

T ừ (1) và (2)

I cách đ u ba c nh c a ề ạ ủ

D

(1) (2)

TÍNH CH T BA Đ Ấ ƯỜ NG PHÂN GIÁC C A TAM GIÁC Ủ

I Đ ƯỜ NG PHÂN GIÁC C A TAM GIÁC Ủ

A

- Trong tam giác ABC, tia phân giác c a góc A c t ủ ắ

c nh BC t i đi m D ạ ạ ể , khi đó đo n th ng AD ạ ẳ đ c ượ

g i là ọ đ ng phân giác ườ (xu t phát t đ nh A) c a ấ ừ ỉ ủ tam giác ABC.

- Chú ý:

+) Đ ng th ng AD cũng g i là đ ng phân giác ườ ẳ ọ ườ

c a ủ +) M i tam giác có ba đ ng phân giác ỗ ườ

E F

B D C

A

GT

KL

cân t i Aạ

AD là đ ng phân giácườ

AD là đ ng trung tuy n c a ườ ế ủ

Xét và có:

Vì cân t i A (gt)ạ ⇒ AB= AC

AD là phân giác ⇒ ^ BAD=^ DAC

(cmt) (cmt)

AD chung (c.g.c) (2 c nh t ng ng)ạ ươ ứ

D là trung đi m BCể

AD là đ ng trung tuy n c a ườ ế ủ

Tính ch t: ấ Trong m t tam giác cân, ộ

đ ng phân giác xu t phát t đ nh ườ ấ ừ ỉ

đ i di n v i đáy đ ng th i là ố ệ ớ ồ ờ

đ ng trung tuy n ng v i c nh ườ ế ứ ớ ạ đáy

II TÍNH CH T BA Đ Ấ ƯỜ NG PHÂN GIÁC C A TAM GIÁC Ủ

Ba đ ng phân giác c a tam giác cùng đi qua m t đi m ườ ủ ộ ể

Đi m này cách đ u ba c nh c a tam giác đó ể ề ạ ủ Trong :

+) Ba đ ng phân giác AD, BE, CF cùng đi qua đi m I ườ ể (hay đ ng quy ồ t i đi m I) ạ ể

+)

A

I L

H

K D

E F

Tính ch t ba đ ấ ườ ng

phân giác trong tam giác

Đ ng phân giác trong tam giác ườ

Ba đ ng phân giác c a tam giác ườ ủ cùng đi qua m t đi m, đi m này ộ ể ể cách đ u ba c nh c a tam giác ề ạ ủ

đó.

Trong m t tam giác cân, đ ng ộ ườ phân giác xu t phát t đ nh đ i ấ ừ ỉ ố

di n v i đáy đ ng th i là đ ng ệ ớ ồ ờ ườ trung tuy n ng v i c nh đáy ế ứ ớ ạ

A

A

I L

H

K D

E F

A

III BÀI T P Ậ

Bài 1: Cho , các đ ng phân giác BD, CE c t nhau I ườ ắ ở

Trong các kh ng đ nh sau, kh ng đ nh nào đúng, kh ng đ nh nào sai? ẳ ị ẳ ị ẳ ị

b) Đi m I cách đ u ba đ nh c a ể ề ỉ ủ

BI = 23 BD

c) Đi m I cách đ u ba c nh c a ể ề ạ ủ Đúng

Sai Sai

C B

A

D

E

I F

c nh ạ

a)

Bài 2: Cho có , các đ ng phân giác BD và CE c t nhau t i I ườ ắ ạ a) Tính

b) Tính

c) Ch ng minh đi m I cách đ u ba c nh c a ứ ể ề ạ ủ

6 2o

A

D

GT

KL

,

BD là c a ủ

CE là c a ủ

BD c t CE t i Iắ ạ

a)

a) Tính

S đ phân tíchơ ồ

^

B1+ ^C1=?

^

B1= 12 ^ ABC

^

C1= 12 ^ ACB

^ ABC+^ ACB=?

BD, CE là

c a ủ

T ng 3 góc ổ trong

Vì BD là đ ng phân giác c a (gt) ườ ủ

Vì CE là đ ng phân giác c a (gt) ườ ủ

⇒ ^ B1+^C1= 12 ^ABC + 12 ^ ACB

⇒ ^ B1+^C1= 12 (^ABC + ^ ACB)

Xét có:

(t ng 3 góc trong tam giác) ổ

Mà (gt)

⇒ ^ ABC +^ ACB=118o

(1)

(2)

T ừ (1) và (2) B^1+ ^C1= 12 ⋅118 o=59o

Xét có:

(t ng ba góc trong tam giác) ổ

⇒ ^ BIC=180o− 59o=121o

1

2

12

⇒ ^ B1= 12 ^ABC

⇒ ^ C1= 12 ^ACB

b)

c) I cách đ u ba c nh c a ề ạ ủ

6 2o

A

D E

I

b) Tính

Xét có:

BD là

CE là

BD c t CE t i I ắ ạ

I là giao ba đ ng phân giác ườ

c a ủ

AI là tia phân giác c a ủ

⇒ ^ BAI= 12 ^ BAC

Mà (gt)

⇒ ^ BAI= 12 ⋅62 o=3 1o c) I cách đ u ba c nh c a ề ạ ủ

Vì I là giao ba đ ng phân giác ườ

c a (cmt) ủ

I cách đ u ba c nh c a ề ạ ủ (tính ch t giao ba đ ng phân ấ ườ giác trong tam giác)

a) Tính

Vì BD là đ ng phân giác c a (gt) ườ ủ

Vì CE là đ ng phân giác c a (gt) ườ ủ

⇒ ^ B1+^C1= 12 ^ABC + 12 ^ ACB

⇒ ^ B1+^C1= 12 (^ABC +^ ACB)

Xét có:

(t ng 3 góc trong tam giác) ổ

Mà (gt)

⇒ ^ ABC +^ ACB=118o

(1)

(2)

T ừ (1) và (2) B^1+ ^C1= 12 ⋅118 o=59o

Xét có:

(t ng ba góc trong tam giác) ổ

⇒ ^ BIC=180o− 59o=121o

⇒ ^ B1= 12 ^ABC

⇒ ^ C1= 12 ^ACB

GT

KL

,

BD là c a ủ

CE là c a ủ

BD c t CE t i Iắ ạ

a)

b)

c) I cách đ u ba c nh c a ề ạ ủ

Bài 3: Cho có đ ng phân giác DA đ ng th i là đ ng trung tuy n ườ ồ ờ ườ ế

Ch ng minh r ng cân t i Dứ ằ ạ

GT

KL

DA là đ ng trung tuy nườ ế

DA là đ ng phân giácườ

cân t i Dạ

Trên tia đ i tia AD l y đi m B sao cho ố ấ ể

D

B

Vì DA là đ ng trung tuy n c a (gt) ườ ế ủ

A là trung đi m c a EF ể ủ ⇒ AE= AF

Xét và có:

(cách vẽ) (cmt) (đ i đ nh) ố ỉ (c.g.c)

⇒{        (2 gó c  t ươ ng  ứ ng ) 

DE=BF(2c ạnht ươ ngứ ng)

Mà DA là đ ng phân giác c a (gt) ườ ủ

⇒

(1)

(2)

T ừ (1) và (2)

cân t i F ạ ⇒ FD=FB

Mà (cmt) cân t i D ạ

⇒ FD=DE

⇒ D A l à ph ân giá c ^ EDF

S đ phân tíchơ ồ

cân t i D ạ

DE=DF

cân

t i F ạ

^

B=^ D2

(cách vẽ) AE= AF ^ DAE=^ BAF

DA là đ ng trung tuy n ườ ế

1 2

^

D1=^ B

^

D1=^ D2

^

B=^ D2

^

D1=^ B

Đ nh lý: ị N u tam giác có ế

m tộ đ ng trung tuy nườ ế

đ ng th i là ồ ờ đ ng phân ườ giác thì tam giác đó là m t ộ tam giác cân

Bài 3: Cho có đ ng phân giác DA đ ng th i là đ ng trung tuy n ườ ồ ờ ườ ế

Ch ng minh r ng cân t i Dứ ằ ạ

GT

KL

DA là đ ng trung tuy nườ ế

DA là đ ng phân giácườ

cân t i Dạ

Trên tia đ i tia AD l y đi m B sao cho ố ấ ể

D

B

Vì DA là đ ng trung tuy n c a (gt) ườ ế ủ

A là trung đi m c a EF ể ủ ⇒ AE= AF

Xét và có:

(cách vẽ) (cmt) (đ i đ nh) ố ỉ (c.g.c)

⇒{        (2 gó c  t ươ ng  ứ ng ) 

DE=BF(2c ạnht ươ ngứ ng)

Mà DA là đ ng phân giác c a (gt) ườ ủ

⇒

(1)

(2)

T ừ (1) và (2)

cân t i F ạ ⇒ FD=FB

Mà (cmt) cân t i D ạ

⇒ FD=DE

⇒ D A l à ph ân giá c ^ EDF

1 2

^

D1=^ B

^

D1=^ D2

^

B=^ D2

H ƯỚ NG D N V NHÀ Ẫ Ề

- Ôn t p ph n lý thuy t và các bài t p đã làm ậ ầ ế ậ

- Làm các bài 48, 49, 50 (SBT – trang 46)

- Chu n b bài sau: ẩ ị “Ôn t p ch ng IV – Bi u th c đ i s ” ậ ươ ể ứ ạ ố