Chuyên đề 3 chủ đề 9 tính chất ba đường cao của tam giác

Toanhocsodo-ĐT:0945943199 CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đường cao tam giác Đường cao tam giác đoạn vng góc kẻ tà đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện Tính chất ba đường cao tam giác Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Trong hình vẽ AD, BE, CF đường cao, H trực tâm tam giác ABC Về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác tam giác cân - Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác - Trong tam giác, có hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực,đường cao) trùng tam giác tam giác cân - Trong tam giác vng, trực tâm tam giác đỉnh góc vng tam giác II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định trực tâm tam giác Phương pháp giải: Để xác định trực tâm tam giác, ta cần tìm giao điểm hai đường cao tam giác 1A Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE CF cắt H 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 a) Chỉ đường cao tam giác HBC Từ trực tâm tam giác b) Chỉ trực tâm tam giác HAB HAC  1B Cho tam giác HBC có H > 90°, đường cao BD CE cắt A Tìm trực tâm tam giác ABC 2A Hãy giải thích trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vng? 2B Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM Chứng minh trực tâm tam giác ABC, MAB MAC thẳng hàng Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải: Nếu H giao điểm hai đường cao kẻ từ B C tam giác ABC AH  BC 3A Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt S   a) Chứng minh MS  NP b) Cho MNP = 65° Tính SMR 3B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE cắt I a) Chứng minh CI  AB    Cho ABC = 50° Tính AIE , DIE 4A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH D Chứng minh AK  CD 4B Cho tam giác MNP vuông M Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR  NP (R  NP) Gọi O giao điểm đường thẳng PM RQ Chứng minh PQ  ON 5A Cho tam giác MNP vuông M (MP < MN) Trên cạnh MN lấy điểm Q cho MQ = MP, tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh: a) PQ  NR b) RQ  NP 5B Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A, B), tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AD Tia ED cắt BC F Chứng minh: a) EF  BC b) DF = BF; c) CD  BE 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 Dạng Đường cao tam giác cân Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Trong tam giác cân đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác 6A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD H Chứng minh CH  AB 6B Cho tam giác MNP cân M, đường cao PQ cắt đường phân giác MS K Chứng minh NK  MP 7A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BD, CE cắt H  Chứng minh AH tia phân giác BAC 7B Cho tam giác DEF cân D, đường cao EM, FN cắt O Gọi I giao điểm DO với EF Chứng minh IE = IF Dạng Sử dụng tính chất trực tâm để chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Nếu ba đường thẳng ba đường cao tam giác chúng qua điểm 8A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường phân giác BM Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA a) Chứng minh BM  AD b) Gọi H hình chiếu vng góc D AC,K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy 8B Cho tam giác ABC vuông B, kẻ đường phân giác AD Trên cạnh AC lấy điểm E cho AB = AE a) Chứng minh DE  AC b) Gọi F hình chiêu vng góc C đường thẳng AD Chứng minh ba đường thẳng AB, ED, CF đồng quy III BÀI TẬP VỀ NHÀ Trong câu sau, câu đúng? Cho  MNP không vng, H trực tâm, đó: a) M trực tâm tam giác HNP; b) N trực tâm tam giác MPH; c) P trực tâm tam giác MHN; 3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 d) M trực tâm tam giác MNP 10 Cho tam giác MNO có ba góc nhọn Gọi K, P chân đường cao kẻ từ M N Gọi S giao điểm MK NP   b) Cho MNO = 70 Tính OSK a) Chứng minh OS  MN 11 Cho tam giác ABC cân A, kẻ đường cao CD Đường trung trực BC cắt CD M a) Chứng minh BM  AC   b) Tính BMD biết ABC = 70° 12 Cho tam giác ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác ABC 13 Cho tam giác ABC có BC cạnh lớn Gọi I giao điểm đường phân giác góc B góc C Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho CD = CA, BE = BA a) Chứng minh BI  AE CI  AD b) Gọi M giao điểm BI AD, N giao điểm CI AE Chứng minh AI  MN 14 Cho tam giác AMN cân A Đường trung trực d AM cắt đường thẳng MN P Gọi D hình chiếu vng góc M AP E trung điểm MN Chứng minh ba đường thẳng d,MD, AE đồng quy 15* Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Gọi M, N trung điểm HB, HA Chứng minh AM vng góc với CN HƯỚNG DẪN 1A Học sinh tự làm 1B Học sinh tự làm 2A Học sinh tự làm 2B Học sinh tự làm Các trực tâm nằm đường cao AH 3A Chú ý S trực tâm  MNP, từ 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 MS  NP b) Gọi H giao điểm MS với NP Chú ý  MHN vng, từ tính  SMR 25 3B a) Chú ý I trực tâm  ABC   b) Tính AIE 50 , DIE 130 4A Chú ý AB  AC, từ DK  AC Bởi K trực tâm  ADC, suy AK  CD 4B Chú ý Q trực tâm  PNO 5A a) Gọi S giao điểm PQ   NR Tính SPR SRP 45 , từ PQ  NR b) Từ kết ý a, ta có Q trực tâm  PNR => RQ  NP 5B   a) Chú ý FEC FCE 45  BDF vuông cân b) Dùng kết ý a, để có D trực tâm  EBC Từ CD  BE 6A Chú ý AD đường cao  ABC, từ H trực tâm 5.Đường gắn khơng không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  ABC suy CH  AB 6B Tương tự 6A, chứng minh K trực tâm  MNP 7A Chú ý H trực tâm  ABC, từ AH vừa đường cao vừa đường phân giác 7B Tương tự 7A, chứng minh AI đường trung tuyến  ABC, từ IE = IF 8A Chú ý tam giác ABD cân B nên BM đường phân giác đường Cao, từ BM  AD b) Chú ý AK, BM, DH ba đường cao  AMD 8B a) Chứng minh  ABD =  AED(c.g.c)  Từ AED = 90° => DE  AC b) Chú ý AB, ED, CF ba đường cao  ADC Học sinh tự làm 10 a) Tương tự 3A  b) OS cắt MN Q, ý  ONQ vng, từ OSK = 70° 11 Tương tự 6A, chứng minh M trực tâm  ABC   Tính BAC = 180° - 140° - 40° => ABM = 90° - 40° = 50°  Suy BMD = 40° 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 12 Chú ý AM đường cao, từ dùng Định lý Pytago tính AM = 12 cm 13 a) Tam giác ABE cân B có BI phân giác nên đường cao, từ BI  AE Tương tự CI  AD b) Từ kết ý a, chứng minh I trực tâm  AMN, từ AI  MN 14 Ta có tam giác AMN cân A, AE  MN Từ d, MD, AE ba đường cao  AMP, chúng đồng quy Chú ý: Điểm P M N chứng minh khơng thay đổi 15 Dùng tính chất đường trung bình cho  AHB ta có: MN // AB => MN  AC Chứng minh N trực tâm  AMC, từ dẫn đến AM  CN 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên