Phương pháp giải bài tập chủ đề Tính chất ba đường trung trực của tam giác Toán 7

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định lí 1 Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một[.]

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định lí Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách đểu ba đỉnh tam giác Trên hình bên, điểm O giao điểm đường trung trực tâm đường trịn ngoại tiếp ABC ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O Định lí Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy II BÀI TẬP YÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Phương pháp giải: Sử dụng tính chất giao điểm đường trung trực tam giác cách ba đỉnh tam giác 1A Cho A, B, C ba điểm phân biệt không thẳng hàng Hãy xác định đường tròn qua ba điểm A, B, C 1B Ơng Hùng có ba cửa hàng A, B, C khơng nằm đường thẳng muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng Phải chọn vị trí kho hàng đâu để khoảng cách từ kho đến cửa hàng nhau.? 2A Chứng minh tam giác vng, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền 2B Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh O trung điểm BC O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Dạng Vận dụng tính chất ba đưịng trung trực tam giác để giải toán khác Phương pháp giải: Từ Định lí 2, ta có tính chất tam giác, giao điểm hai đường trung trực thuộc đường trung trực cịn lại tam giác Lưu ý: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đường trung tuyến, đường phân giác đường cao 3A Cho đo góc ABC M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt O Tính số W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 3B Cho MNP Đường trung trực MN cắt đường trung trực MP I Hạ IH minh H trung điểm NP 4A Cho a) ABC có góc NP Chứng = 110° Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh: BIC cân; b) = 2(180° - 4B Cho ) tính sốđo góc ABC vng A Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh: a) OB = OC; b) = 2(180° - ) O trung điểm BC 5A Cho ABC (AB = AC) Đường trung trực BC cắt trung tuyến BD G Chứng minh G trọng tâm ABC 5B Cho ABC cân A AM đường trung trực cạnh BC (M điểm G cho AG = BC) Trên đoạn thẳng AM lấy AM Chứng minh đường thẳng BG qua trung điểm đoạn thẳng AC 6A Cho tam giác MNP cân M Trên cạnh MN lấy điểm K, cạnh MP lấy điểm D cho MK = DP Đường trung trực MP cắt đường trung trực DK O Chứng minh: a) ; b) O thuộc đường trung trực MN; c) MO tia phân giác 6B Cho ABC cân A Gọi O điểm cách ba đỉnh A, B, C Nối OA, OB, OC a) Chứng minh b) Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho BM = AN Chứng minh O thuộc đường trung trực MN Dạng Chứng minh ba đường thẳng quy, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đồng quy ba đường trung trực tam giác 7A Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng 7B Cho tam giác MNP cân M, đường cao MH Các đường trung trực MN MP cắt D Chứng minh ba điểm M, D, H thẳng hàng 8A Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD Chứng minh đưòmg trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD, 8B Cho tam giác ABC cân có A góc tù Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, dựng tam giác BNC cân N Chứng minh đường thẳng AM đường trung trực NB, NC đồng quy III BÀI TẬP Tam giác ABC có góc tù Các đường trung trực cạnh AB AC cắt O Các điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA hay khơng? Vì sao? 10 ABC nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB = OD W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh tam giác ABD, CBD vuông c) Biết 11 Cho = 70° Tính số đo góc ABC có O giao điểm đường trung trực tam giác Biết BO tia phân giác góc Chứng minh: a) BOA = BOC; b) BO trung trực AC 12 Cho tam giác ABC cân A Các đường trung trực AB AC cắt O Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Chứng minh: a) DOB = EOC; b) AO đường trung trực DE; c) DE // BC 13 Cho tam giác ABC vuông A có = 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB a) Có nhận xét tam giác DBC ? Vì sao? b) Chứng minh AC = BC c) Trên tia BA lấy điểm O cho BO = BA Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp DBC 14 Cho tam giác ABC có > 90° Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD = BA, CE = CA Gọi I giao điểm tia phân giác tam giác ABC Chứng minh: a) BI, CI đường trung trực AD, AE; b) IA = ID = IE 15 Trên ba cạnh AB, BC CA tam giác ABC lấy điểm theo thứ tự M, N, P cho AM = BN = CP Gọi O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC a) Tính số đo góc b) Chứng minh MAO = OPC c) Chứng minh O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP 16 Cho ABC cân (AB = AC ) Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC M N (M N nằm đoạn thẳng BC ) Chứng minh: a) AMB b) AMC = ANC cân; ANB; c) AO đường trung trực MN 17 Cho ABC vuông A, D Nối A D a) Chứng minh W: www.hoc247.net = 30° Kẻ đường trung trực đoạn thẳng AC, cắt AC H cắt BC ABD F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Kẻ phân giác góc cắt AD K, cắt DH kéo dài I Chứng minh I tâm đường qua ba đỉnh, tam giác ADC c) Gọi E, F hình chiếu vng góc I xuống đường thẳng BC, BA Chứng minh IE = IF = IK d) Tính số đo góc 18 Cho ABC có góc A tù, tia phân giác B C cắt O Lấy E điểm cạnh AB Từ E hạ EP minh: BO (P thuộc BC), từ P hạ PF OC (F thuộc AC) Chứng a) OB OC đường trung trực PE PF; b) BE + CF = BC 19 Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng b) Kéo dài CO cắt AB D, kéo dài BO cắt AC E Chúng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy 20* Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC, H BC Tia phân giác góc cắt BC D, tia phân giác góc cắt BC E Chứng minh điểm cách ba cạnh điểm cách ba đỉnh ADE ABC 21* Cho ABC có ba góc nhọn Các điểm F, K, I trung điểm, cạnh BC, BA, AC Gọi H giao điểm đường trung trực ABC Trên tia đối tia FH lấy điểm A' cho A'F = FH Trên tia đối tia KH lấy điểm C' cho KH = KC' Trên tia đối tia IH lấy điểm B' cho IH = IB' a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song b) Cho Tính góc hình sáu cạnh A'BC'AB'C HƯỚNG DẪN 1A Gọi đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O Ta có OA = OB = OC Ba điểm phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng tạo thành tam giác ABC Vì OA = OB = OC nên O giao điểm ba đường trưng trực tam giác ABC 1B Tương tự 1A 2A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đó, OA = OB = OC Suy ra: => W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai => => B, O, C thẳng hàng, mà OB = OC => O trưng điểm BC 2B Tương tự 2A 3A Từ giả thiết suy O thuộc đường trung trực BC => OM đường trung trực BC => = 90° 3B Tương tự 3A 4A a) Từ giả thiết suy I thuộc đường trung trực BC => IB = IC = BIC cân I b) Có => = = Từ đó, suy = 140° 4B Tương tự 4A 5A Vì ABC cân A nên đường trung trực cạnh đáy BC đồng thời trung tuyến với cạnh BC Kết hợp với giả thiết suy G trọng tâm ABC ứng ABC 5B Tương tự 5A 6A a) Từ giả thiết suy OK = OD, OM = OP MKO = PDO (c.c.c) => b)Từ kết ý a), suy Mặt khác MN = MP, MK = PD =>NK = MD Chứng minh OKN = ODM (c.g.c) => ON = OM => O thuộc đường trung trực MN c) Xét MNP có O giao điểm đường trung trực MN W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai MP => MO đường trung trực NP Mà MNP cân M nên MO đồng thời tia phân giác góc 6B a) Từ giả thiết suy OA = OB = OC Suy Mà AOB = AOB, AOC (c.c.c) AOC tam giác cân đỉnh O nên b) Chứng minh BMO = ANO (c.g.c) => OM = ON => O thuộc đường trung trực MN 7A Chứng minh được: ABM = ACM (c.c.c) Từ đó, suy AM đường trung trực BC Theo tính chất ba đường trung trực tam giác, ta suy điểm E thuộc đường trung trực BC Vậy ba điểm A, E, M thẳng hàng 7B Tương tự 7A 8A Từ giả thiết, ta có: AB = AC, DB = DC => AD đường trung trực BC Xét ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác ta có đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD 8B Tương tự 8A Từ giả thiết suy OA = OB = OC Vậy điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA 10 a) Ta có OA = OB = OC nên OA = OD = OC => O giao điểm hai đường trung trực AD DC b) Ta có : OA = OB => OA = OD => Xét BAD có: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai => Vậy tam giác ABD vuông A Tương tự, ta chứng minh tam giác BCD vng C Ta ý AO = ABD vuông A BD OC = BD Suy kết BCD vuông C c) Ta có: Suy => 11 a) Ta có OA = OB = OC nên => => AOB = COB (c.g.c) b) AOB = COB => BA = BC Mà OA = OC => BO đường trung trực AC 12 Ta có OB = OC, AB = AC => DOB = EOC (c.g.c) b) DOB = EOC => OD = OE Mặt khác: AD = AB - BD = AC - CE = AE => AO đường trung trực DE c) AO đường trung trực DE BC nên AO DE, AO BC => DE // BC 13 a) Từ giả thiết suy AB đường trung trực CD Suy BD = BC Mà = 60° => BCD tam giác b) Ta có: AC = DA = CD Từ kết ý a), suy CD = BC W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Do AC = c) Xét BC DBC có trung tuyến BA BO = => O giao ba đường trung trực BA => O trọng tâm DBC => OA = OB = OC => O tâm đường tròn ngoại tiếp 14 a) BAC = BAD nên DBC DBC BCD tam giác b) AC = DC = BC c) Do BA trung tuyến nên O trọng tâm Suy CO, DO trung tuyến Mà BCD nên DO,CO trung trực BC, BD Vậy A tâm đường trịn ngoại tiếp A 15 a) Vì ABC O giao điểm ba đường trung trực nên AO tia phân giác => b) Tương tự ý a), Chứng minh Ta có: MAO = Tương tự ý b), MAO = PCO (c.g.c) OPC => OM = OP (1) MAO = NBO (c.g.c) => OM = ON (2) Từ (1) (2) suy O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP 16 a) Từ giả thiết suy NA = NC, MA = MB nên AMC cân N ANB cân M b) Ta có: (1) Từ ý a) ABC cân A, ta có: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai (2) Từ (1) (2) suy AMC = Ta chứng minh ANB (c.g.c) c) O giao điểm trung trực ABC => OB = OC Từ ý b), suy AN = AM Từ OBN = OCM suy OM = ON Vậy OA trung trực MN 17 a) Ta có: DA = DC => => b) = 60° => ABD ABD => BK đường trung trực AD => IA = ID, Mà I DH =>IA = IC.Vậy IA = IC = ID => I tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ADC c) I thuộc phân giác góc => IE = IF DH đường trung trực AC => DH phân giác => IK = IE Vậy IE = IF = IK d) IK = IF => AI tia phân giác => 18 a) Gọi H giao điể PE với OB I giao điểm PF với OC Chứng minh được: BEH = BPH (cgv- gn) =>BE = BP, HE = HP => OB đường trung trực PE Tương tự, FOC = POC => CF = CP, IF = IP => OC đường trung trực PF b) Từ ý a), ta có: BE + CF = PB + PC = BC 19 a) Ta có: ABE = W: www.hoc247.net ACD (c.g.c) Từ F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai suy AO đường trung trực đoạn DE Xét ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác nên O thuộc đường trung trực BC Vậy ba điểm A, D, O thẳng hàng b) Ta có => Chứng minh ADC = AEB (g.c.g), suy AD = AE (1) Mặt khác, có OB = OC, BE = CD (vì ADC = AEB) nên OD = OE (2) Từ (1) (2) suy AK đường trung trực DE Xét ADE, theo tính chất ba đường trung trực tam giác, ta có AK đường trung trực AD AE đồng quy 20* Vẽ tia phân giác B C của ABC ABC, chúng cắt O Suy O cách ba cạnh Ta có: Vì (do phụ với góc Suy , nên ) ABE cân B Vậy đường phân giác BO góc đường trung trực cạnh AE Tương tự, ta có đường phân giác CO góc đường trung trực cạnh AD Từ đó, suy O cách ba đỉnh ADE 21* a) Từ giả thiết suy AKH = BKC' (c.g.c) => AH = BC' Mà Tương tự, => AH // BC' AHI = CB'J =>AH = CB', AH // CB' W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vậy ta có BC' = CB' (= AH) BC' // CB'( //AH) Tương tự, ta có: AC' = CA' ( = BH ) AC' // CA' ( // BH); AB' = BA' (= CH ) AB' // BA' (//CH) Mà H giao điểm đường trung trực ABC nên AH = BH = CH Vậy hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song b) Tính Do C'BH, = 40° HBA' cân nên Suy Tương tự, Do Tương tự, W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12