Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa đường trung trực Đường trung trực của một đoạn th[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa đường trung trực: Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Trên hình vẽ bên, d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói: A đối xứng B qua d Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Định lí 2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng MA = MB M thuộc đường trung trực AB Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 1A Cho hai điểm A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng MN, Chứng minh 1B Cho ABC cân B Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC Chứng minh 2A Tam giác ABC vng A có số đo góc MAB = ABD = NAB CBD = 30° Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Tính 2B Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết = 40° Tính số đo góc ABC 3A Tam giác DEF có DE < DF Gọi d đường trung trực EF M giao điểm d với DF a) Chứng minh DM + ME = DF b) Lấy điểm P nằm đường thẳng d (P M) Chứng minh DP + PE > DF c) So sánh chu vi hai tam giác DEM DEP 3B Tam giác ABC có a) Chứng minh = 30° Đường trung trực BC cắt AC K b) Tính số đo góc c) Biết AB = cm, AC = cm Tính chu vi tam giác ABK 4A Cho tam giác ABC Các đường trung trực AB AC cắt BC M N W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a) Biết = 30°, = 45° Tính số đo góc b) Chứng minh =2 - 180° 4B Cho tam giác ABC cân có > 90° Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự D E hai trung trực cắt F a) Biết = 110° Tính số đo góc b) Chứng minh c) Tính góc = +180° 5A Cho góc vng Trên tia Ox, Oy lấy hai điểm A B (không trùng với O) Đường trưng trực đoạn thẳng OA OB cắt M Chứng minh: a) A, M, B thẳng hàng b) M trung điểm AB 5B Cho D ABC vuông A Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC H, cắt BC D Nối A a) So sánh số đo góc b) Chứng minh D trung điểm BC Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Phương pháp giải: • Để chứng minh điểm M thuộc trung trực đoạn thẳng AB, ta dùng Định lí Định nghĩa đường trung trực • Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách A B, dùng định nghĩa đường trung trực 6A Cho đoạn thẳng AB = cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính cm đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường trịn cắt D, E Chứng minh: a) Điểm A thuộc đường trung trực DE; b) AB đường trung trực DE; c) = 90° 6B Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác cân MAB, NAB M N (M, N nằm khác phía so với AB) Chứng minh: a) Điểm M thuộc đường trung trực AB; b) MN đường trung trực AB 7A Cho DEF có DE = DF Lấy điểm K nằm tam giác cho KE = KF Kẻ KP vng góc với DE (P DE), KQ vng góc với DF (Q DF) Chứng minh: a) K thuộc đường trung trực EF PQ; b) DK đường trung trực EF PQ Từ suy PQ//EF W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 7B Cho góc khác góc bẹt Oz tia phân giác Gọi M điểm thuộc tia Oz Qua M vẽ đường thẳng a vng góc với Ox A, cắt Oy C vẽ đường thẳng b vng góc với Oy B, cắt Ox D Chứng minh.: a) Điểm O thuộc đường trung trực AB; b) OM đường trung trực AB; c) Điểm M thuộc đường trung trực CD Dạng Xác định vị trí điểm thỏa mãn yêu cầu đề Phương pháp giải: Sử dụng Định lí để xác định điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng 8A Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm A B 8B Cho tam giác ABC Một đường thẳng d qua A khơng cắt đoạn thẳng BC Tìm vị trí điểm D đường thẳng d cho D cách hai điểm B C Dạng Sử dụng tính chất đường trung trực vào toán cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất) Phương pháp giải: • Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng khác • Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 9A Hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d Tìm vị trí điểm C đường thẳng d cho giá trị tổng CA + CB nhỏ 9B Hai nhà máy xây dựng hai địa điểm A B nằm phía khúc sơng thẳng Tìm bờ sơng địa điểm C để xây trạm bơm cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A đến B nhỏ III BÀI TẬP 10 Cho góc qua Oy = 35° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Gọi C điểm đối xứng với A a) Chứng minh OAB = OCB b) Tính số đo góc 11 Cho tam giác ABC vng A có góc = 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB a) Chứng minh BCD tam giác b) Biết BC = Tính độ dài cạnh AB, AC 12 Cho ABC, đường phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh: a) DB = DE; b) AD đường trung trực BE 13 Cho ABC cân A, M trung điểm BC ME vng góc với AB, MF vng góc với AC Chứng minh: a) AM trung trực của BC; b) ME = MF AM trung trực EF; W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai c) EF// BC 14 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = AB Hai đường trung trực BD AC cắt E Chứng minh: a) ABE = CDE; b) Điểm E cách hai cạnh AB AC 15 Cho tam giác ABC cân A ( < 90°) Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh.: a) Chứng minh ADC cân; b) Chứng minh ; c) Chứng minh AD = CE; d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE 16 Cho ABC nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối xứng với H qua AB; AC a) Chứng minh AP = AQ b) Cho = 60° Tính số đo góc c) Gọi I , K giao điểm PQ với AB, AC Chứng minh d) Chứng minh HA tia phân giác 17 Cho = 90° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Kẻ đường trung trực HM đoạn thẳng OA (H OA, M AB) Chứng minh M thuộc đường trung trực OB 18 Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh: a) Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC; b) Khi H di động đoạn thẳng ỈC đường trung trực đoạn thẳng EF cố định 19 Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D AC cho DA + DB = AC 20 Cho góc , B C hai điểm thuộc hai tia Ax Ay Tìm điểm M cách hai cạnh góc cách hai điểm B C 21 Cho bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình có AB / / CD BC//AD hình vẽ Giao điểm AC BD O Từ O vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC, AD M, N Chứng minh AC trung trực MN AM = MC = CN = NA 22 Cho ABC có AB = 10 cm, AC = 13 cm, Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với BE M điểm đường thẳng d a) Chứng minh MB + MC W: www.hoc247.net EC F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho MB + MC đạt giá trị nhỏ cho biết giá trị 23 Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác góc ngồi đỉnh A cho tam giác EBC có chu nhỏ 24* Cho điểm A nằm góc nhọn a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM + AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho ABC có chu vi nhỏ HƯỚNG DẪN 1A Do A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng MN nên AM = AN, BM = BN Suy MAB = NAB (c.c.c) 1B Tương tự 1A 2A AB đường trung trực AC => BD = BC => DBC cân B => 2B Tương tự 2A Tính được: 3A Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF a) Có M thuộc đường trung trực EF nên ME = MF => DM + ME = DM + MF = DF b) Vì P thuộc đường trung trực EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF Xét DEF: DP + PF > DF Vậy DE + PE > DF c) Từ ý a) ý b) suy DP + PE > DM + ME Vậy chu vi tam giác DEP lớn chu vi tam giác DEM 3B Do nên AC > AB K thuộc cạnh AC a) K thuộc đường trung trực BC => KB = KC => BKC cân K => b) Ta có: c) Ta có: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai AK + BK = AK + KC = AC = 5cm => AB + AK + BK= + = cm Vậy chu vi tam giác ABK cm 4A a) Từ giả thiết suy AB > AC M nằm B N Ta có MA = MB, NA = NC Nên AN Xét ABC: BC = 105° Vậy b) Có: Vậy 4B Tương tự 4A Có 5A a) Gọi M1,M2 giao điểm trung trực đoạn OA,OB với AB M1A = M1O nên M2O = M2B nên => Vậy A, B, M thẳng hàng b) Từ kết ý a) MA = MB nên M trung điểm AB 5B a) Từ giả thiết suy DC = DA => b) => DA = DB Mà DC = DA => DC = DB => ĐPCM 6A a) Từ giả thiết suy AD = AE Suy điểm A thuộc đường trung trực DE b) Tương tự ý a), ta có điểm điểm B thuộc đường trung trực DE W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vậy AB đường trung trực DE c) Ta có AD2 + DB2 = 42 + 32 = 25 Mà AB2 = 25 Vậy ABD vuông D 6B Tương tự 6A 7A a) Ta có: DEK = => => nên K, D thuộc trung trực EF DFK (c.c.c) => DK đường phân giác góc DPK = DQK => KP = KQ DP = DQ Từ suy K, D thuộc trung trực PQ b) Từ ý a) ta có DK đường trung trực PQ DK đường trung trực EF Suy DK DK EF PQ, Vậy PQ // EF 7B a) OAM = OEM (ch-gn) => O thuộc trung trực AB b) Từ ý a) ta có OM trung trực AB OBD = OAC (cgv-gn) Tương tự 7A, ta có OM trung trực DC 8A Vì điểm M cách hai điểm A B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Vậy điểm M giao điểm đường thẳng d với đường trung trực AB Chú ý: Nếu A, B nằm cho AB d khơng tồn điểm cần tìm 8B Tương tự 8A 9A Lấy D điểm đối xứng, với A qua d Theo tính chất đường trung trực: CA = CD Do CA + CB = CD + CB Gọi M giao điểm BD d Nếu C khơng trùng với M xét W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai BCD, ta có: CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1) Nếu C trùng với M thì: CA + CB = MA + MB = MD + MB = BD (2) So sánh (1) (2) ta thấy điểm C trùng M hay C giao điểm BD d giá trị tổng CA + CB nhỏ Chú ý: Điểm C tìm vị trí M điểm Thật vậy, lấy E đối xứng với B qua d AE cắt d M vị trí mà BD cắt d 9B Tương tự 9A 10 a) Từ giả thiết suy OB đường trung trực AC => OA = OC, BA = BC => OAB = OCB (c c c) b) Từ ý a) suy ra: 11 a) Có AB đường trung trực CD nên BD = BC => BCD cân có => BCD b) BCD = 60° => CD = BC = Xét ABC vng A, ta có: AB = 12 =3 ABD = AED (c.g.c) => DB = DE (1) b) Theo giả thiết: AB = AE (2) Từ (1) (2) , suy AD đường trung trực BE 13 a) Từ giả thiết suy AB = AC MB = MC => AM trung trực của BC b) ABC cân A nên BEM = CFM ( ch-gn) => ME = MF BEM = CFM (ch-gn) => BE = CF Mà AB = AC =>AE = AF W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Mặt khác, ME = MF Do AM trung trực EF c) Ta có: AM đương trung trực BC EF => AM BC, AM EF => EF // BC 14 a) Vì hai đường trung trực BD AC cắt E nên EA = EC, EB = ED => ABE = CDE (c.c.c) b) ABE = CDE => Mà EA = EC => => AE tia phân giác góc => điểm E cách hai cạnh AB AC 15 a) Vì D thuộc đường trung trực AC nên DA = DC => ADC cân b) ADC cân => Vì AB = AC nên => c) Ta có : Từ kết ý a), suy Chứng minh EAC = DBA (c.g.c) => AD = CE d) Ta có: AD = CE, AD = CD nên CE = CD => CF đường trung trực DE 16 a) Từ giả thiết suy AP = AH AQ = AH nên AP = AQ b) Ta có: c) API = AHI (c.c.c) (1) AHK = AQK ( c.c.c) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai => (2) d) Có AP = AQ => PAQ cân A => (3) Từ (1),(2) (3) có: => HA tia phân giác 17 Ta có MA = MO => Mặt khác, => => MO = MB Vậy M thuộc trung trực OB 18 a) Vì HE // AI nên Mà (đồng vị) (so le trong) , => AE = AF => Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF//AI nên đường trung trực EF vng góc với AI Từ kết ý a), suy đường trung trực EF ln qua điểm A vng góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF ln cố định 19 Ta có: AC = DA + DC Suy ra: DA + DB = AC DA + DB = AD + DC DB = DC D thuộc đường trung trực BC Vậy D giao điểm AC với đường trung trực BC DA + DB = AC 20 Vì M cách hai cạnh góc nên M thuộc tia phân giác Vì M cách B C nên M thuộc đường trung trực BC Vậy M giao điểm tia phân giác góc đường trung trực BC W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chú ý: Nếu B, C vị trí mà AB = AC tìm vô số điểm M nằm trung trực BC 21 Chứng minh được: BAC = DCA (g.c.g) nên BC = AD; BOC = DOA (g.c.g) nên OC = AO Do BC // AD nên MOC = (so le trong) NO A => OM = ON, AC MN trung điểm MN nên AC trung trực MN Suy AM = AN CM = CN, MN trung trực AC nên AM = MC Suy ĐPCM 22 a) Gọi F giao điểm đường thẳng d với AB nên AF AEF = BE ABF (ch-cgv) => FE = FB => AF đường trung trực AB => ME = MB =>MB + MC = ME + MC Nếu điểm M khơng trùng điểm A, xét MEC có ME + MC > EC nên MB + MC > EC (1) Nếu điểm M trùng điểm A, đó: MB + MC = AB + AC = AE + AC = EC (2) Từ (1) (2) suy MB + MC EC b) Từ ý a) ta thấy điểm M trùng điểm A MB + MC đạt giá trị nhỏ Khi đó, ta có: MB + MC = EC = AB + AC = 23cm 23 Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AE => AE đường trung trực CD =>ED = EC => EB + EC = EB + ED Tương tự 9A suy điểm E trùng với điểm A giá trị tổng EB + EC nhỏ Khi đó, chu vi tam giác EBC nhỏ 24* a) Từ A vẽ AM Tương tự AN Ox Đoạn AM nhỏ đoạn từ A đến điểm Ox Oy Suy AM + AN tìm W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai có giá trị nhỏ b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A qua Oy Đường DE cắt Ox, Oy B, C cần tìm Thật vậy, lấy điểm B',C' khác B,C ta ln có: BD + BC + CE < B' D + B'C' + C' E Mặt khác, ta có: AB + BC + CA = BD + BC + CE, AB' + B'C' + C'A + B'D + B'C' + C'E Vậy B, C hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chun Gia -Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13