Chuyên đề sự xác định đường tròn – tính chất đối xứng của đường tròn - THCS.TOANMATH.com

Cho bảy điểm thuộc một hình tròn ( ; ) O r trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì không nhỏ hơn r. Chứng minh rằng một trong bảy điểm đó trùng với tâm của hình tròn. Xét  ABD có [r]

(1)

SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN – TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Đường tròn

Đường tròn tâm O, bán kính R R 0 hình gồm điểm cách điểm O

một khoảng R Kí hiệu: O R; 

Vị trí tương đối

Cho đường tròn O R;  điểm M

 M nằm đường tròn O R;  OM R

 M nằm đường tròn O R;  OM R

 M nằm đường tròn O R;  OM R

Cách xác định đường trịn

Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường trịn

Tính chất đối xứng

 Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường trịn tâm đối xứng đường trịn

 Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn

Độ dài đường tròn diện tích hình trịn Cho đường trịn có bán kính R đường kính d

 Độ dài đường trịn (hay cịn gọi chu vi) tính công thức:

C Rd

 Độ dài cung trịn: Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n tính theo công thức:

180 Rn l

 Diện tích hình trịn: SR2

(2)

2

360 R n lR S  

(với l độ dài cung n hình quạt trịn) Đường kính dây đường trịn

 Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính  Quan hệ vng góc đường kính dây:

+ Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây

+ Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây

Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây  Trong đường tròn:

+ Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm  Trong hai dây đường trịn:

+ Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn B CÁC DẠNG BÀI TẬP

I.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN

Dạng 1: Tính độ dài đường trịn diện tích hình trịn Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho đường trịn có bán kính cm Tính a) Chu vi diện tích hình trịn

b) Độ dài cung 60 đường trịn có bán kính cm c) Diện tích hình quạt trịn có số đo cung 30

Giải chi tiết

a) Chu vi hình trịn là: C 2R2 10 cm   Diện tích hình trịn là: SR2.5225 cm 2

b) Áp dụng cơng thức tính độ dài cung trịn với n 60 , R cm, ta có:

  5.60

cm 180 180

Rn

l   

c) Diện tích hình quạt trịn có số đo cung 30 là:

 

2

2 30 25 cm 360 360 12

R n

S    

(3)

Gọi R bán kính đường trịn

Theo đề ta có: 30 30 cm 180

R R

R

 

    

Chu vi hình trịn là: C2R2 30 60 cm  

Ví dụ 3: Biết diện tích bàn trịn 64 dm2 Tính độ dài cung 45 bàn trịn Giải chi tiết

Gọi R bán kính đường trịn

Theo đề ta có: 64  .R2 R 8 dm 

Độ dài cung 45 bàn là: 8.45 dm 180 180

Rn

l   

Ví dụ 4: Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp hình vng có cạnh cm Giải chi tiết

Đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có tâm O giao điểm hai đường chéo Suy bán kính là:

2 52 52 5 2 cm

2 2

AC AB BC

R     

Diện tích hình trịn ngoại tiếp hình vng ABCD là:

 

2 25 cm2

2

SR    

 

Ví dụ 5: Một bánh pizza có đường kính 40 cm John nói với chủ quán muốn ăn miếng bánh có diện tích hình quạt tròn 100 cm 2 Bác đầu bếp bối rối cắt cho đúng, bạn giúp bác đầu bếp để bác phục vụ vho John, đói

Để xác định nên cắt bánh nào, ta xác định xem cần cắt bánh góc độ từ tâm bánh

Bán kính bánh pizza là: 40 20 cm

R 

Diện tích hình quạt trịn 100 cm 2 nên từ công thức 360

R n S 

Suy 360 100 3602 2 90 20

S n

R



 

  

Vậy bác đầu bếp cần cắt bánh từ tâm góc 90 yêu cầu John Dạng 2: Chứng minh điểm thuộc đường tròn

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Chứng minh định lý sau:

(4)

b) Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông

a) Giả sử tam giác ABC vuông A Gọi O trung điểm BC

Suy

OA BC OB OC  (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông)

Do đó, điểm O cách ba đỉnh A B C, , hay O tâm đường trịn ngoại tiếp Vậy tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền b) Giả sử đường trịn  O đường kính BC ngoại tiếp tam giác

Ta có: OA OB OC  (vì bán kính) OA OB OC BC

   

Mà OA đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên ABC vuông A Nhận xét

Nếu tam giác vng có chung cạnh huyền đỉnh góc vng tam giác vng thuộc đường trịn có tâm trung điểm cạnh huyền chung

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Gọi M , , ,

N P Q trung điểm DE DC BC BE, , , Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , thuộc đường tròn

Phân tích đề

Đề cho trung điểm, ta nghĩ đến việc áp dụng tính chất đường trung bình để chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Mà ABC vng A nên ta chứng mính MNPQ hình chữ nhật Giải chi tiết

Ta có: //

1 MN EC

MN EC 



 

 (vì MN đường trung bình DEC)

Ta có: //

1 PQ EC

PQ EC 



 

 (vì MN đường trung bình BEC)

Suy ra: MN PQ// MNPQ MN PQ





 

 hình bình hành (1) Mặt khác QM BD// (do MQ đường trung bình BDE)

  90

QMN BAC

    (góc có cạnh tương ứng song song) (2)

Từ (1) (2) suy MNPQ hình chữ nhật Các tam giác vng QMN QPN có chung cạnh huyền QN nên bốn điểm M N P Q, , , thuộc đường trịn đường kính QN

(5)

Để chứng minh điểm E tâm đường trịn ngoại tiếp ABC thì: + Hướng 1: Chứng minh ABC vng có E trung điểm cạnh huyền

+ Hướng 2: Chứng minh E giao điểm đường trung trực ABC

Giả thiết cho ABCD hình thoi nên khả ABC vuông không xảy Lại có E thuộc đường trung trực cạnh AB nên ta chứng minh theo cách

Tương tự với chứng minh F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Giải chi tiết

Gọi O AC BD Vì ABCD hình thoi nên O trung điểm AC BDAC O BD

 đường trung trực đoạn AC

Mà EF đường trung trực AB (theo giả thiết) EFBD E Suy E tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Chứng minh tương tự, ta có F tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD

Ví dụ 4: Cho đường trịn  O đường kính AB Vẽ đường trịn  I đường kính OA Bán kính OC đường trịn  O cắt đường tròn  I D Vẽ CH AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân

ACDH hình thang cân  có OAC OCA  ACDH hình thang

 // DH AC

 OH OD

OA OC

 OH OD

 có OA OC ADO CHO

  

(6)

Xét ADO CHO có: ADO CHO  90  (giả thiết) 

AOD chung

OA OC (bán kính đường trịn  O ) ADO CHO

    (cạnh huyền – góc nhọn) OH OD (hai cạnh tương ứng)

// OH OD

DH AC OA OC

   (định lí Ta-lét đảo) ACDH hình thang (1)

Mà OAC OCA (do AOC cân O) (2) Từ (1) (2) suy ACDH hình thang cân

Dạng 3: Đường kính dây đường tròn Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho đường trịn tâm O, bán kính cm dây AB8 cm a) Tính khoảng cách từ O đến AB

b) Gọi I điểm thuộc dây AB cho AI 1 cm Kẻ dây CD qua I vng góc với AB Chứng minh CD AB

a) Kẻ OEAB E AB  , suy E trung điểm AB

4 cm

AB EB EA

    (quan hệ đường kính dây cung)

Áp dụng định lí Pytago tam giác vng OEB, ta có:

2 2 2 52 42 3 cm

OE EB OB OE OB EB    (1) Vậy khoảng cách từ O đến AB cm

b) Ta có IE AE AI   4 cm

Mà tứ giác OEIF hình chữ nhật nên OFIE3 cm (2)

Từ (1) (2) suy OE OF hay khoảng cách từ tâm đến hai dây AB CD AB CD

  (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây)

Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K, hình chiếu vng góc A B, lên CD

Chứng minh CH DK Giải chi tiết

Kẻ OECD E CD  E trung điểm CD (quan hệ đường kính dây cung)

EC ED

  (1)

(7)

Lại có OE AH BK// // O trung điểm AB nên OE đường trung bình hình thang AHBK E

 trung điểm HKEH EK (2) Từ (1) (2) suy CH DK (đpcm)

Ví dụ 3: Cho đường trịn O R;  Vẽ hai bán kính OA OB, Trên bán kính OA OB, lấy điểm M N, cho OM ON Vẽ dây CD qua M N, (M nằm C N )

a) Chứng minh CM DN

b) Giả sử  90AOB  Tính OM theo R cho CM MN ND Giải chi tiết

a) Kẻ OH CD H CD  HC HD (quan hệ đường kính dây

cung) (1) Theo giả thiết OM ON nên OMN cân OHM HN (2)

Lại có CH CM MH DH  ; DN NH (3) Từ (1), (2) (3) suy CM DN

b) Giả sử CM MN ND Đặt OH x x 0 Ta có: OM x (vì OMN vng cân);

; 3

MN NH x HD HN  x

Áp dụng định lí Pytago tam giác vng HOD có:  2

2 2 3 10 2

10

R R

OH HD OD x  x R  x R  x OM 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Xích đạo đường trịn lớn Trái Đất có độ dài khoảng 40 075 km Hãy tính bán kính Trái Đất

Câu 2: Tính diện tích hình quạt trịn có bán kính 20 cm số đo cung 30 Câu 3: Diện tích hình trịn thay đổi tăng bán kính lên gấp ba lần? Câu 4: Biết chu vi hình trịn 16 cm Tính diện tích hình quạt trịn có số đo cung 50

Câu 5: Một máy cày có hai bánh xe sau lớn hai bánh xe trước Biết bơm căng, bánh xe trước có đường kính 0,8 m, bánh xe sau có đường kính 1,5 m Hỏi bánh xe sau lăn 16 vịng bánh xe trước lăn vịng?

Câu 6: Cho tứ giác ABCD có C D  90   Gọi M N P Q, , , trung điểm AB BD DC, , CA Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , nằm đường tròn

Câu 7: Cho hình thoi ABCD có  60A   Gọi E F G H, , , trung điểm cạnh , , ,

AB BC CD DA Chứng minh điểm E F G H B D, , , , , nằm đường tròn

Câu 8: Cho hình thang ABCD AB CD AB CD // ,   có C D 60 , 2  CD AD Chứng minh điểm , , ,

(8)

Câu 9: Cho tam giác ABC có đường cao BH CK

a) Chứng minh: B K H, , C nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn b) So sánh KH BC

Câu 10: Cho đường tròn O R;  có AB đường kính, H trung điểm OB Vẽ dây CD vng góc với AB H, K trung điểm AC I điểm đối xứng A qua H

a) Bốn điểm C H O K, , , thuộc đường trịn b) ADIC hình thoi Tính diện tích theo R

Câu 11: Cho đường tròn O R;  có hai dây AB CD, vng góc với I Giả sử cm, cm

IA IB Tính khoảng cách từ tâm O đến dây

Câu 12: Cho đường tròn O R;  đường kính AB Gọi M N, trung điểm OA OB, Qua ,

M N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường trịn đường kính AB)

a) Chứng minh tứ giác CDFE hình chữ nhật

b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 30 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE HƯỚNG DẪN

Câu 1:

Đáp số: R6378,1 km Câu 2:

Đáp số: 100  cm2

S  

Câu 3:

Từ cơng thức diện tích hình trịn SR2, suy bán kính tăng lên gấp lần diện tích hình trịn sẽ tăng lên lần

Câu 4:

Đáp số: 8 cm , cm  80  2

R S  

Câu 5:

Bánh xe lăn vịng nghĩa độ dài chu vi bánh xe Chu vi bánh xe trước là: C1d 0,8 m

Chu vi bánh xe sau là: C2d 1,5 m

Bánh xe sau lăn 16 vịng nghĩa qng đường: s1,5 16 24 m  

Khi bánh xe trước lăn số vòng là: 24  ò g ,8 30 n

0 v



(9)

Câu 6:

Gọi IDA CB Theo giả thiết C D  90   DIC 90 Ta có MN PQ// (vì song song với AD)

Và

2 MN PQ AD

 

Suy MNPQ hình bình hành

Lại có MN AD MQ BC// , // nên NMQ DIC  90  (góc có cạnh tương ứng song song)

Do MNPQ hình chữ nhật Vậy bốn điểm M N P Q, , , thuộc đường trịn đường kính NQ Câu 7:

Dễ dàng chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật Gọi O AC BD

//

OE AD (vì OE đường trung bình ABD)

  60

OEB DAB

    (đồng vị) (1)

Ta có E O G, , thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit, OE OG song song với AD)

Mặt khác, ,

2

OE AD OG BC OE OG hay O trung điểm EG

Suy O tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật EFGH

Lại có: ;

2

EB AB OE  AD mà AB AD OE EB  OEB cân E (2)

Từ (1) (2) suy OEB OE OB B thuộc đường tròn  O

Tương tự có D thuộc đường trịn  O

Vậy điểm E F G H B D, , , , , thuộc đường tròn  O Câu 8:

Gọi I trung điểm CD Theo giả thiết suy ID IC AD IAD cân D Mà D 60  nên IAD IA ID IC  (1)

ACD

  vng A 90DAC  Lại có ACD BDCc.g.c

  90

CBD DAC BCD

      vuông B

(10)

a) Dễ thấy BHCvà BCK hai tam giác có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B C H K, , , thuộc đường tròn tâm I trung điểm BC b) BC HK đường kính dây cung đường trịn  I Do HK BC

Câu 10:

a) Vì K trung điểm AC nên OK AC (quan hệ đường kính dây cung)

COK

 COH hai tam giác vuông chung cạnh huyền CO nên bốn điểm C H O K, , , thuộc đường trịn đường kính

CO

b) Tứ giác ADIC có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường nên ADIC hình thoi

1

2

2 ADIC ACD

S S AH CD AH CD

   

Mà

2

2 2

3

; 2

2

R R

AH CD CH  OC OH  R  R

2

3 3

2

ADIC

R R

S R

  

Câu 11:

Ta có: AB IA IB  6 cm Do H trung điểm AB nên AH3 cm Lại có IH  AH AI 1 cmOK IH1 cm (do OHIK hình chữ nhật) Do hai dây AB CD nên OH OK 1 cm

Câu 12:

a) Kẻ OH CD H CD  CHDH (quan hệ đường kính dây cung)

Gọi K OH EF Do OHM  OKNOH OK CD EF (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây)

Mà CD EF// nên suy CDFE hình bình hành , ,

HOD KOE D O E

    thẳng hàng CDEF

 hình chữ nhật

b) Ta có ; R

OM  OC R Trong tam giác vng HMO có:

 30 ; sin30

4

R R

HMO  OH OM   DF HK OH 

(11)

2

2 2 2 15 2 15

16

R R R

OH CH OC CH  OC OH  R   CD CH 

Vậy diện tích hình chữ nhật CDFE là:

2

15 15

2

CDFE

R R R

S CD EF  

II.CÁC BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY

Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn

Bài Cho năm điểm A, B, C, D, E Biết qua bốn điểm A, B, C, D vẽ đường tròn, qua bốn điểm B, C, D, E vẽ đường tròn Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường trịn

Bài Cho tứ giác ABCD có C D  90   Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm E, F, G, H nằm đường tròn

Bài Cho đường tròn ( ; )O R điểm A ngòai đường tròn Lấy bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn ( )O Trên tia AM, AN, AP, AQ lấy điểm M N P Q   , , , cho M, N, P, Q trung điểm AM AN AP AQ, , ,  Chứng minh bốn điểm M N P Q   , , , nằm đường tròn

Bài Cho hình thoi ABCD,  60A  Gọi E, F,G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm B, D, E, F, G, H thuộc đường tròn

Bài Cho hình chữ nhật ABCD, AB a BC b a b ,  (  ) Gọi H hình chiếu D AC K hình chiếu C BD

a) Chứng minh bốn điểm C, D, H, K thuộc đường tròn

b) Gọi M trung điểm AB, tìm điều kiện a b để điểm C, D, H, K M thuộc đường tròn

Bài Cho tam giác ABC Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, K trung điểm HA, HB, HC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC CA Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm M, P, K, J thuộc đường tròn; b) Sáu điểm M, P, K, J, I, N thuộc đường trịn;

c) Chín điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F thuộc đường trịn • Chứng minh điểm thuộc đường tròn cố định

Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đường trung tuyến BM 1,5cm Chứng minh điểm A thuộc đường tròn cố định

Bài Cho đường tròn ( ;3O cm) Lấy điểm A đường trịn Qua A vẽ tia AxOA Trên tia Axlấy điểm B cho AB 4cm Gọi H hình chiếu A OB Chứng minh H thuộc đường trịn cố định

(12)

• Dựng đường tròn

Bài 10 Dựng đường tròn qua hai điểm A B cho trước có tâm nằm đường thẳng d cho trước

Bài 11 Cho đường thẳng d điểm A cách d 1cm Dựng đường trịn ( )O có bán kính 1,5cm qua A có tâm nằm đường thẳng d

• Các dạng khác

Bài 12 Cho tam giác ABC Trên tia BC lấy điểm M, tia CB lấy điểm N cho ,

BMBA CN CA Vẽ đường tròn ( )O ngoại tiếp tam gác AMN Chứng minh tia AO tia phân giác góc BAC

Bài 13 Cho hình thoi ABCD cạnh Gọi R1 R2lần lượt bán kính đừơng trịn ngoại tiếp tam giác ABD ABC Chứng minh

2 2

1

R R  R R

Bài 14 Cho đường tròn qua điểm A Chứng minh có hình trịn chứa tâm hình trịn khác

Bài 15 Cho 99 điểm cho ba điểm tồn hai điểm có

khỏang cách nhỏ Chứng điểm cho có 50 điểm nằm đường trịn có bán kính

Bài 16 Đố Hai người chơi trò chơi sau:

Mỗi người đặt đồng xu lên bìa hình trịn Người cuối đặt đồng xu lên bìa người thắng Muốn thắng phải chơi nào? (Các đồng xu không chồng lên nhau)

Bài 17 Cho đường tròn ( ;3)O Lấy sáu điểm bên đường trịn, khơng có điểm trùng với O khơng có hai điểm thuộc bán kính Chứng minh tồn hai điểm điểm có khỏang cách nhỏ

Bài 18 Cho sáu điểm thuộc hình trịn ( ; )O r , điểm khơng có điểm trùng với O Chứng minh tồn hai điểm sáu điểm có khỏang cách nhỏ r

Bài 19 Cho bảy điểm thuộc hình trịn ( ; )O r khoảng cách hai điểm khơng nhỏ r Chứng minh bảy điểm trùng với tâm hình trịn

HƯỚNG DẪN

Bài Đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D đường trịn qua bốn điểm B, C, D, E có ba điểm chung B, C, D nên chúng phải trùng

(13)

Suy EF AD//

2 AD EF

Chứng minh tương tự ta đựơc:

// HG AD

2 AD HG

Vậy EF HG// EFHG

Suy tứ giác EFGH hình bình hành

Ta có FGD BCD HGC ; ADC (cặp góc đồng vị)

Do  FGD HGC BCD ADC   90  , dẫn tới FGH 90  Hình bình hành EFGH có G 90  nên hình chữ nhật Suy bốn điểm E, F, G, H nằm đường tròn Bài Trên tia AO lấy điểm O cho O trung điểm AO Xét AO M có OM đường trung bình nên O M  2OM 2R Chứng minh tương tự ta được: O N O P O Q 2R

Vậy bốn điểm M N P Q   , , , thuộc đường tròn ( ; )O R Bài Vì ABCD hình thoi nên ACBD (tại O) AC đường phân giác góc A

Do A1 A2 30

Đặt độ dài cạnh hình thoi a Xét tam giác AOB, AOD vuông O có:

 

1 30 A  A   nên

2 a OB OD 

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ta có:

2 a OE OF OG OH   

Vậy

2 a OB OD OE OF OG OH     

Suy điểm B, D, E, F, G, H thuộc đường tròn ; a O

 

 

 

với O giao điểm hai đường chéo hình thoi Bài

a) Gọi O trung điểm CD

(14)

2 a OH OK OC OD   

Vậy bốn điểm H, K, C, D nằm đường tròn

; a O

 

 

 tức đường trịn đường kính CD

b) Dễ thấy tứ giác AMOD hình chữ nhật Suy OM AD b

Điểm M thuộc đường trịn đường kính CD

2

a a

OM OC OD b a b

       

Vậy điểm C, D, H, K, M thuộc đường tròn a2b

Bài

a) Dùng tính chất đường trung bình tam giác ta chứng minh tứ giác MPKJ hình bình hành Ta có JK BC MJ AD// ; //

Mà ADBCnên MJ JK

Do tứ giác MPKJ hình chữ nhật

Suy bốn điểm M, P, K, J thuộc đường tròn ( )O đường kính MK PJ b) Chứng minh tương tự ta tứ giác MIKN hình chữ nhật

Suy bốn điểm M,I, K, N thuộc đường trịn ( )O đường kính MK IN

Hai đường trịn ( )O có chung đường kính MK nên chúng trùng

Suy điểm M, P, K, J, I, N thuộc đường trịn đường kính MK IN c) Tam giác FMK vuông F nên điểm F nằm đường trịn

đường kính MK Chứng minh tương tự ta điểm E thuộc đường trịn đường kính PJ, điểm D thuộc đường trịn đường kính IN

Từ suy điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F thuộc đường tròn

Bài Trên tia đối tia BC lấy điểm O cho BO BC Suy BM đường trung bình ABC

Do OA2BM 3cm

Điểm A cách điểm O cho trước khoảng 3cm nên điểm A thuộc đường trịn ( ;3O cm) Đó đường trịn cố định

(15)

2 2 32 42 25 OB OA AB    Do OB5(cm)

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AOB ta có

OH.OB OA

2 32

1,8( )

OA

OH cm

OB

   

Vậy điểm H đường trịn ( ;1,8O cm) Đó đường tròn cố định

Bài AMC ABM có:

A chung; AMCABM (giả thiết) nên AMC∽ABM (g.g)

suy AM AC AB  AM

2 . 4.1 4 AM AB AC

   

(2 )

AM cm

  Do M đường trịn (A;2cm) Đó đường trịn cố định

Bài 10

• Phân tích:

Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện: - O d ;

- O nằm đường trung trực AB • Cách dựng:

- Dựng đường trung trực AB cắt đường thẳng d O - Dựng đường trịn ( ;O OA), đường trịn phải dựng • Chứng minh:

Theo cách dựng, đường trịn ( ;O OA) có tâm O nằm đường thẳng d

Mặt khác, O nằm đường trung trực AB nên OA OB Do đường tròn ( ;O OA) qua A B

• Biện luận:

- Nếu d khơng vng góc với AB tốn có nghiệm hình

- Nếu d  AB đường trung trực AB tốn khơng có nghiệm hình - Nếu d đường trung trực AB tốn có vơ số nghiệm hình

Bài 11

(16)

Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện: - O d ;

- O( ;1,5A cm) • Cách dựng:

- Dựng đường tròn ( ;1,5A cm) cắt đường thẳng d tạo O - Dựng đường trịn (O;1,5cm) Đó đường trịn phải dựng • Chứng minh: Bạn đọc tự giải

• Biện luận:

Bài tốn có hai nghiệm hình, đường trịn (O;1,5cm) (O ;1,5cm) Bài 12 Đường tròn (O) qua hai điểm A M nên điểm O nằm

trên đường trung trực AM

Mặt khác BAM tam giác cân nên đường trung trực AM đường phân giác góc B

Tương tự, điểm O nằm đường trung trực AN đường phân giác C

Xét ABC, hai đường phân giác góc B góc C cắt O, suy tia AO tia phân giác góc BAC

Bài 13 Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Mỗi đường chéo đường trung trực đường chéo

Vẽ đường trung trực AB cắt AB M, cắt AC I cắt BD K Xét ABD có I tâm đường tròn ngoại tiếp IA R 1

Xét ABC cso K tâm đường tròn ngoại tiếp KB R 2

AOB AMI

 ∽ (g.g), suy OA AB MA AI

2

1 1

2

1 OA

OA OA

R R R

      (1)

AOB KMB

 ∽ (g.g), suy OB AB MB  KB

2

2 2

1 1

2

1 OB

OB OB

R R R

      (2)

Từ (1) (2) suy  2

2

1

4 OA OB R  R  

Do

2 2 2 2 4 R R AB R R

(17)

Bài 14 Gọi O O1, 2, ,O6 tâm đường tròn qua A Nối A với O O1, 2, ,O6 ta tia

• Nếu có hai tia AOm AOn trùng độ dài đoạn thẳng

m

AO lớn độ dài đoạn thẳng AOn hình trịn tâm Om chứa tâm On

• Nếu tia phân biệt, chúng tạo thành góc đỉnh A khơng có điểm chung, tổng chúng 360 tồn góc nhỏ 60, giả sử O AO1 2 60

Xét O AO1 2, giả sử O A O A1  2 O2O1, từ O2 60 , dẫn tới O2 A Suy O A O O1  1 2 Khi hình trịn ( )O1 chứa tâm O2

Nếu O A O A1  2 chứng minh tương tự ta có hình trịn ( )O2 chứa tâm O1 Bài 15 Gọi A số 99 điểm cho

Vẽ đường tròn ( ;1)A Nếu tất 98 điểm lại nằm đường trịn tốn giải xong

Nếu B điểm không nằm đường trịn ( ;1)A AB1 Vẽ đường trịn ( ;1)B Gọi C điểm số 97 điểm lại

Theo đề bài, ba điểm tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ Ta có AB1 AC1, C nằm đường trịn ( ;1)A

1

BC , C nằm đường tròn ( ;1)B Như hai đường tròn ( ;1)A ( ;1)B chứa tất 99 điểm cho

Theo nguyên lí Đi-rich-lê, phải có hai đường trịn chứa 50 điểm

Bài 16 Tấm bìa hình trịn nên tâm đối xứng tâm bìa Người trước thắng chơi theo “chiến thuật” sau”

A: Đặt đồng xu tâm miếng bìa

B: Đặt đồng xu thứ hai lên bìa vị trí

A: Đặt đồng xu thứ ba vị trí đối xứng với đồng xu thứ hai qua tâm

Cứ B cịn đặt đồng xu vị trí bìa A đặt đồng xu tạo vị trí đối xứng với qua tâm Như A thắng

Bài 17 Vẽ bán kính qua sáu điểm cho Có sáu bán kính nên tồn hai bán kính tạo với góc nhỏ 360 : 60  

Giả sử bán kính OM, ON theo thứ tự qua hai điểm A B

(18)

Vậy AB3

Bài 18 Vẽ bán kính qua sáu điểm cho

Nếu có hai điểm sáu điểm thuộc bán kính khoảng cách hai điểm nhỏ r, toán chứng minh

Nếu khơng có hai điểm sáu điểm thuộc bán kính có sáu bán kính, tồn hai bán tạo với góc nhỏ 360 : 60  , giả sử  60AOB 

Xét OABcó  60AOB  nên tồn hai góc A B phải lớn 60

Giả sử B 60  Do O B  suy AB OA r  Bài 19 Ta chứng minh phương pháp phản chứng

Giả sử khơng có điểm trùng với tâm hình trịn Vẽ bán kính qua bảy điểm cho

Khơng có hai điểm thuộc bán kính (vì chúng thuộc bán kính khoảng cách chúng nhỏ bán kính, trái giả thiết)

Bảy góc đỉnh O khơng có điểm chung, có tổng 360 nên tồn góc nhỏ 60, giả sử góc AOB

Xét AOB có  60AOB  nên hai góc cịn lại phải lớn 60 Giả sử B 60 , suy AB OA r  (trái giả thiết)

Vậy tồn điểm trùng với tâm hình trịn C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ

Sự xác định đường tròn – Tính chất đối xứng đường trịn Câu 1: Số tâm đối xứng đường tròn là:

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 2: Tâm đối xứng đường trịn là:

A Điểm bên đường trịn B Điểm bên ngồi đường trịn C Điểm đường trịn D Tâm đường tròn

Câu 3: Khẳng định sau nói trục đối xứng đường trịn A Đường trịn khơng có trục đối xứng

B Đường trịn có trục đối xứng đường kính

C Đường trịn có hai trục đối xứng hai đường kính vng góc với D Đường trịn có vơ số trục đối xứng đường kính

Câu 4: Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Đường trịn có … trục đối xứng”

A 1 B 2 C Vô số D 3

(19)

A Giao ba đường phân giác B Giao ba đường trung trực C Giao ba đường cao D Giao ba đường trung tuyến Câu 6: Giao ba đường trung trực tam giác là:

A Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (đường tròn qua ba đỉnh tam giác) B Tâm đường tròn nội tiếp tam giác (đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác) C Tâm đường tròn cắt ba cạnh tam giác

D Tâm đường tròn qua đỉnh cắt hai cạnh tam giác

Câu 7: Cho đường tròn ( ; )O R điểm M bất kỳ, biết OM =R Chọn khẳng định đúng? A Điểm M nằm ngồi đường trịn B Điểm M nằm đường tròn

C Điểm M nằm đường trịn D Điểm M khơng thuộc đường trịn

Câu 8: Cho đường tròn ( ; )O R điểm M bất kỳ, biết OM >R Chọn khẳng định đúng? A Điểm M nằm ngồi đường trịn B Điểm M nằm đường tròn

C Điểm M nằm đường tròn D Điểm M khơng thuộc đường trịn

Câu 9: Xác định tâm bán kính đường trịn qua bốn đỉnh hình vng ABCD cạnh a

A Tâm giao điểm A bán kính R=a

B Tâm giao điểm hai đường chéo bán kính R=a

C Tâm giao điểm hai đường chéo bán kính

2

a R =

D Tâm điểm B bán kính 2

a R =

Câu 10: Tính bán kính R đường trịn qua bốn đỉnh hình vng ABCD cạnh 3cm

A R=3 2cm B

2

R= cm C R=3cm D 3

2

R= cm

Câu 11: Tâm đường ngoại tiếp tam giác vuông là:

A Trung điểm cạnh huyền B Trung điểm cạnh góc vng lớn C Giao ba đường cao D Giao ba đường trung tuyến

Câu 12: Chọn câu Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông A Bằng cạnh nhỏ tam giác vng B Bằng nửa cạnh góc vuông lớn C Bằng nửa cạnh huyền D Bằng 4cm

Câu 13: Cho tam giác ABC có đường cao BD CE, Biết bốn điểm B E D C, , , nằm đường trịn Chỉ rõ tâm bán kính đường trịn

A Tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

R= AI với I trung điểm BC

B Tâm trung điểm AB bán kính

2

(20)

C Tâm giao điểm BD EC, bán kính

2

BD R =

D Tâm trung điểm BC bán kính

2

BC R =

Câu 14: Cho tam giác ABC có đường cao BD CE, Chọn khẳng định A Bốn điểm B E D C, , , nằm đường tròn

B Năm điểm A B E D C, , , , nằm đường tròn C Cả A, B sai

D Cả A, B

Câu 15: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định vị trí tương đối điểm A( 1; 1)- - đường trịn tâm gốc toạ độ O, bán kính R =2

A Điểm A nằm ngồi đường trịn B Điểm A nằm đường tròn C Điểm A nằm đường trịn D Khơng kết luận

Câu 16: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định vị trí tương đối điểm A - -( 3; 4) đường tròn tâm gốc toạ độ O, bán kính R =

A Điểm A nằm ngồi đường trịn B Điểm A nằm đường tròn

C Điểm A nằm đường trịn D Khơng kết luận

Câu 17: Cho tam giác ABC vng A, có AB=15cm AC; =20cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

A R =25 B 25

2

R = C R =15 D R =20

Câu 18: Cho tam giác ABC vng A, có AB=5cm AC; =12cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

A R =26 B R =13 C 13

2

R = D R =6

Câu 19: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm BC, =5cm Tính bán kính đường trịn qua bốn đỉnh A B C D, , ,

A R=7, 5cm B R=13cm C R=6cm D R=6, 5cm

Câu 20: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm BC, =6cm Tính bán kính đường trịn qua bốn đỉnh A B C D, , ,

A R=5cm B R=10cm C R=6cm D R=2, 5cm

Câu 21: Cho hình vng ABCD Gọi M N, trung điểm AB BC, Gọi E giao điểm CM DN Tâm đường tròn qua bốn điểm A D E M, , , là:

(21)

Câu 22: Cho hình vng ABCD cạnh 4cm Gọi M N, trung điểm AB BC, Gọi E giao điểm CM DN Bán kính đường trịn qua bốn điểm A D E M, , , là:

A R=5cm B R=10cm C R=2 5cm D R= 5cm

Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH =2cm BC, =8cm Đường vng góc với AC C cắt đường thẳng AH D

D H

C B

A

Câu 23: Các điểm sau thuộc đường tròn?

A D H B C, , , B A B H C, , , C A B D H, , , D A B D C, , , Câu 24: Tính đường kính đường trịn qua điểm A B D C, , ,

A d =8cm B d =12cm C d =10cm D d =5cm

Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH =4cm BC, =6cm Đường vng góc với AC C cắt

đường thẳng AH D

D H

C B

A

Câu 25: Chọn câu đúng?

A ABD = 90 B DC =DB

C Bốn điểm A B D C, , , thuộc đường tròn D Cả A, B, C Câu 26: Tính đường kính đường trịn qua điểm A B D C, , ,

A d =6, 25cm B d =12, 5cm C d =6cm D d =12cm

(22)

Câu 27: Đường tròn qua bốn điểm B N M C, , , là:

A Đường tròn tâm D bán kính

BC B Đường trịn tâm

D bán kính BC

C Đường trịn tâm B bán kính

2

BC

D Đường tròn tâm C bán kính

2

BC

Câu 28: Gọi G giao điểm BM CN Xác định vị trí tương đối điểm G điểm A với đường trịn tìm ý trước

A Điểm G nằm ngồi đường trịn; điểm A nằm đường tròn B Điểm G nằm đường trịn; điểm A nằm ngồi đường trịn C Điểm G A nằm đường tròn

D Điểm G A nằm ngồi đường trịn

Câu 29: Bốn điểm sau thuộc đường tròn?

A B N M C, , , B A B M N, , , C A C M N, , , D Cả A, B, C sai

Cho tam giác ABC cạnh 3cm, đường cao BM CN Gọi O trung điểm cạnhBC Câu 30: Tính bán kính đường trịn qua bốn điểm A N G M, , , với G giao BM CN

A 2 3 B

2 C D

3 HƯỚNG DẪN

1 Lời giải:

Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường trịn tâm đối xứng đường trịn Nên đường trịn có tâm đối xứng tâm đường tròn

Đáp án cần chọn A 2 Lời giải:

Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn Nên đường trịn có tâm đối xứng tâm đường tròn

Đáp án cần chọn D 3 Lời giải:

Đường tròn hình có trục đối xứng Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường tròn Nên đường trịn có vơ số trục đối xứng

Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường trịn Nên đường trịn có vơ số trục đối xứng

Đáp án cần chọn C 5 Lời giải:

(23)

Đáp án cần chọn B 6 Lời giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực tam giác Đáp án cần chọn A

7 Lời giải:

Cho điểm M đường tròn ( ; )O R ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:

Vị trí tương đối Hệ thức

M nằm đường tròn ( )O OM =R

M nằm đường tròn ( )O OM <R

M nằm ngồi đường trịn ( )O OM >R Đáp án cần chọn B

8 Lời giải:

Vì OM >R nên điểm M nằm bên ngồi đường trịn Đáp án cần chọn A

9 Lời giải:

O

B A

D C

Gọi O giao hai đường chéo hình vng ABCD Khi theo tính chất hình vng ta có OA=OB =OC =OD nên O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD, bán kính

2

AC R=OA=

Xét tam giác ABC vuông cân B ta có 2 2 2

a AC =AB +BC AC =a R=

Vậy tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD cạnh a giao điểm hai đường chéo, bán kính

2

a R =

(24)

O

B A

D C

Gọi O giao hai đường chéo hình vng ABCD Khi theo tính chất hình vng ta có

OA=OB =OC =OD nên O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD, bán kính

2

AC R=OA=

Xét tam giác ABC vuông cân B ta có 2 32 32 18 3 2

AC =AB +BC = + = AC = R=

Vậy

2

R =

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền tâm đường tròn ngoại tiếp Đáp án cần chọn A

12 Lời giải:

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền tâm đường trịn ngoại tiếp Do bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng nửa cạnh huyền

I E

D A

C B

Gọi I trung điểm BC

Xét tam giác BEC vng E có

2

BC

EI =IB =IC = (vì EI đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền)

Xét tam giác BDC vng D có

2

BC

DI =IB=IC = (vì DI đường trung tuyến ứng với cạnh

(25)

Từ ta có

2

BC

ID=IE =IB =IC = nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC bán kính

2

BC R =

I E

D A

C B

Gọi I trung điểm BC

Xét tam giác BEC vng E có

2

BC

EI =IB =IC = (vì EI đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền)

Xét tam giác BDC vng D có

2

BC

DI =IB=IC = (vì DI đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền)

Từ ta có

2

BC

ID=IE =IB=IC = nên bốn điểm B E D C, , , nằm đường trịn có bán

kính

2

BC R =

Ta thấy IA>ID nên điểm A khơng thuộc đường trịn Đáp án cần chọn A

Ta có OA= ( 0)- - 2+ - -( 0)2 = 2< =2 R nên

A nằm đường trịn tâm O bán kính R =2 Đáp án cần chọn C

Ta có OA= ( 3- -0)2+ - -( 4 0)2 = > =5 3 R nên A nằm bên ngồi đường trịn tâm O bán kính

3

R =

(26)

E B A

C

Vì tam giác ABC vng A nên tâm đường trịn ngoại tiếp trung điểm cạnh huyền BC , bán kính

là

2

BC R =

Theo định lý Pytago ta có BC = AC2+AB2 =25 nên bán kính 25

2

R =

E B

A

C

Vì tam giác ABC vng A nên tâm đường trịn ngoại tiếp trung điểm cạnh huyền BC , bán kính

là

2

BC R =

Theo định lý Pytago ta có BC = AC2+AB2 =13 nên bán kính 13

2

R =

I

C

A B

D

Gọi I giao hai đường chéo, ta có IA=IB =IC =ID (vì BD =AC I trung điểm đường) Nên bốn điểm A B C D, , , thuộc đường tròn tâm I bán kính

2

(27)

Theo định lý Pytago tam giác vng ABC ta có AC = AB2+BC2 =13 nên

6,

AC

R= = cm Vậy bán kính cần tìm R=6, 5cm

I

C

A B

D

Gọi I giao hai đường chéo, ta có IA=IB =IC =ID (vì BD =AC I trung điểm đường) Nên bốn điểm A B C D, , , thuộc đường tròn tâm I bán kính

2

AC R =

Theo định lý Pytago tam giác vuông ABC ta có AC = AB2+BC2 = 82+62 =10 nên

10

2

AC

R= = = cm

Vậy bán kính cần tìm R=5cm

E

I N

M B

A

C D

+ Ta có DDCN = DCMB (c – g – c)

 

CDN ECN

 = nên CNE+ECN =CNE+CDN =90 suy CEN=90 CM ^DN + Gọi I trung điểm DM

Xét tam giác vng ADM ta có

2

DM

AI =ID=IM = Xét tam giác vng DEM ta có

2

DM EI =ID=IM =

Nên

2

(28)

Do bốn điểm A D E M, , , thuộc đường trịn tâm I bán kính

2

DM

E

I N

M B

A

C D

+ Ta có CDN =ECN (vì phụ với CNE) nên CNE+ECN =CNE+CDN =90 suy

 90

CEN =  CM ^DN + Gọi I trung điểm DM

Xét tam giác vuông ADM ta có

2

DM

AI =ID=IM = Xét tam giác vng DEM ta có

2

DM EI =ID=IM =

Nên

2

DM EI =ID=IM =IA=

Do bốn điểm A D E M, , , thuộc đường trịn tâm I bán kính

2

DM R =

Xét tam giác ADM vuông A có ; 2

AB

AD = cm AM = = cm nên theo định lý Pytago ta có

2 42 22 2 5

DM = AD +AM = + =

Suy bán kính đường trịn qua điểm A D E M, , , 5

2

DM

R= = = cm

D H

C B

A

(29)

Suy DACD = DABD (c – g – c) nên ABD =ACD=90 Lấy I trung điểm AD Xét hai tam giác vng ABD ACD có

2

AD IA=ID=IB=IC =

Nên I điểm cách A B D C, , , hay A B D C, , , nằm đường trịn tâm I đường kính AD Đáp án cần chọn D

I

D H

B C

A

Từ câu trước ta có bốn điểm A B D C, , , thuộc đường trịn đường kính AD suy ta cần tính độ dài

AD

Vì BC =8cm BH =4cm Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta

2 4 16 2 5

AB= AH +BH = + =

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABD ta có . 20 10

AB AB AH AD AD

AH

=  = = =

Vậy đường kính cần tìm 10cm Đáp án cần chọn C

I

D H

B C

A

Ta có DABC cân A có đường cao AH nên AH đường phân giác CAD=DAB Suy DACD = DABD (c – g – c) nên ABD =ACD=90 CD =DB nên A, B Lấy I trung điểm AD Xét hai tam giác vng ABD ACD có

2

AD IA=ID=IB=IC =

Nên I điểm cách A B D C, , , hay A B D C, , , nằm đường tròn tâm I đường kính AD nên đáp án C

(30)

Từ câu trước ta có bốn điểm A B D C, , , thuộc đường trịn đường kính AD suy ta cần tính độ dài

AD

Vì BC =6cm BH =3cm Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta

2 42 32 5

AB= AH +BH = + =

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABD ta có . 52 6, 25

AB AB AH AD AD

AH

=  = = =

Vậy đường kính cần tìm 6, 25cm Đáp án cần chọn A

D

N M

A

B C

Gọi D trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông BNC BMC có ND MD, hai đường trung tuyến

2

BC DN DB DC DM

 = = = = nên bốn điểm B N M C, , , thuộc đường tròn tâm D bán kính

2

BC

G

D

N M

A

B C

Từ câu trước ta xác định vị trí tương đối điểm G với đường tròn tâm D bán kính

2

BC

Gọi cạnh tam giác ABC a (a >0)

Ta có G trực tâm DABC nên G trọng tâm DABC suy

3

GD= AG

D trung điểm ;

2

(31)

Theo định lý Pytago cho tam giác vng ADC ta có 2

2

a AD = AC -DC =

1 3

3

a a GD

 = =

Nhận thấy

6 2

a a BC

GD = < = nên điểm G nằm đường trịn tâm D bán kính

2

BC

Và

2 2

a a BC

AD = > = nên điểm A nằm ngồi đường trịn tâm D bán kính

2

BC

D

N M

A

B C

I

G

D

N M

A

B C

Vì G giao điểm hai đường cao BM CN, nên G trực tâm DABC

Ta có G trực tâm DABC nên G trọng tâm DABC suy

3

AG = AD

D trung điểm ;

2

BC BC AD ^BD DC = =

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có 2 3

AD = BC -DC =

2 3

3

AG

 = =

Gọi I trung điểm AG Xét tam giác vng ANG có IN =IA=IG, xét tam giác vng AMG

có IM =IA=IG nên

2

AG IM =IN =IA=IG=

Hay điểm A N G M, , , thuộc đường trịn bán kính

2

AG

(32)

Đáp án cần chọn D