Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán hệ phương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu bài và tìm tòi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực , tư duy, sáng tạo trong giải toán. Với mỗi người giáo viên việc đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học. Trong SKKN này tôi sẽ nêu hai vấn đề chính: + “ Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình ” Giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán. + “ Cách ra hệ phương trình sử dụng hàm số ”. Giáo viên ra đề.

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong đề thi THPT Quốc gia năm học 2015 - 2016, năm học 2016 - 2018 đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2014 - 2015 trở trước, đề thi học sỉnh giỏi Toán lớp 12 Tỉnh Vĩnh Phúc và tỉnh toàn quốc năm gần đây, đề thi thử THPT Quốc gia trường THPT toàn quốc hay gặp bài toán giải phương trình và hệ phương trình Các bài toán này là bài toán mức độ vận dụng Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán hệ phương trình này ta dùng cách giải hệ phương trình học lớp 10 như: Biến đổi tương đương thông thường để đưa hệ thức Viet, hệ phương trình đối xứng loại I, loại II,…để giải Trong đề thi THPT quốc gia 2017 thi Toán hình thức trắc nghiệm kiến thức thi chương trình 12, đề thi THPT quốc gia 2018 thi Toán hình thức trắc nghiệm kiến thức thi chương trình lớp 11,12, đề thi thử Toán 12 THPT quốc gia 2019 theo hướng dẫn Bộ Giáo dục và Đào tạo thi Toán hình thức trắc nghiệm kiến thức thi chương trình Toán 11, 12 trọng tâm là kiến thức Toán 12 Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán hệ phương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu bài và tìm tịi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực , tư duy, sáng tạo giải toán Với người giáo viên việc đổi phương pháp dạy học thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm học sinh học được gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được gì qua việc học Trong SKKN này nêu hai vấn đề chính: + “ Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình ” Giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán 1 + “ Cách hệ phương trình sử dụng hàm số ” Giáo viên đề Tên sáng kiến: “Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình” Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bài tập Đại số 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, thi THPT quốc gia theo lộ trình Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10/12/2017 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Nội dung sáng kiến: 7.1.1 Nội dung: NỘI DUNG ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f (x) đồng biến ( nghịch biến) và liên tục tập D: 1/ Nếu tồn x ∈ D cho f (x ) = thì D phương trình f (x) = có nghiệm x = x 2/ Nếu f (u) = f (v) ↔ u = v, u,v ∈ D 3/ Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài tốn có hướng giải sau: a/ Từ phương trình hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y vào phương trình lại để giải phương trình ẩn 2 b/ Từ phương trình hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y vào phương trình lại để giải phương trình ẩn phương pháp hàm số II Áp dụng A/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn Cho hàm số y = f (x) đồng biến ( nghịch biến) và liên tục tập D nếu tồn tại x ∈ D cho f (x ) = thì D phương trình f (x) = có nghiệm x = x Bài tập Giải hệ phương trình:  x y + y = x + x ( 1)  ( x + 2) y + = x +10x+10 ( 2) Hướng dẫn: Điều kiện y ≥ −1 (*) Ta thấy x =0 không là nghiệm hệ phương trình Xét x ¹ Từ phương trình (1) chia hai vế cho x ta được  y  y +  ÷ = x + 2x  ÷  x x (3) Xét hàm số f (t) = t + 2t với t ∈ R , f '(t) = 3t +2>0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng biến và liên tục R y  y f  ÷ = f (x) ↔ = x ↔ y = x x Từ (3)  x  thay vào (2) ta được: ( x + 2) x +1 = 3( x + 2) - 2( x +1) « 2 x +2 « x2 +1 x +2 =1 x2 +1 =- æx + ữ ỗ ữ 3ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ è x +1ø x +2 x2 +1 - 2= 3 x +2 + Với x2 +1 =1 ìï x ³ - x + = x +1 ô ùớ x =- đ y = ïï ( x + 2) = x2 +1 16 ô ợ ô x +2 + Với - 3( x + 2) = x2 +1 « =3« x2 +1 « x= - 18- 164 ® y= ìï x £ - ï í ïï 9( x + 2) = x2 +1 ïỵ ( ) 488+ 36 164 25 ỉ - 18- 164 488+ 36 164 ỉ 9ư ÷ ç ÷ ÷ ; ç ç ÷ ( x;y) = çç- ; ÷ ç ÷ ÷ç 25 è ø è ø 16 Vậy nghiệm hệ phương trình , Bài tập Giải hệ phương trình: ìï x3 + 3x = ( y + 4) y +1 ï í ïï x + 2x + y + y +1- 17 = ïỵ ( 1) ( 2) Hướng dẫn: Điều kiện y ≥ −1 (*) « Phương trình (1) x3 + x = ( ) y +1 + y +1 ( 3) Xét hàm số f (t) = t + 3t với t ∈ R , f '(t) = 3t +3>0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng biến và liên tục R Từ (3) f ( x ) = f ( y + 1) ↔ x = y + ↔ y = x − thay vào (2) ta được: x3 + x2 + 3x - 18 = ô x = đ y = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x;y) = ( 2;3) Bài tập Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ìï ïï 3x + 9x2 + - ( 4y + 2) 1+ 1+ y + y2 = ( 1) í ïï 2 ( 2) ïïỵ x - 6x + 4y + 6y +1= Hướng dẫn: Phương trình (1) « ỉ ổ 2 3xỗ + ( 3x) + 3ữ = ( 2y +1) ỗ + ( 2y +1) + 3ữ ( 3) ữ ữ ữ ữ ỗ ç è ø è ø Xét hàm số ( f (t) = t + t + ) với t ∈ R f '(t) = + t + 3+ t2 , t2 + >0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng biến và liên tục R Từ (3) f ( 3x ) = f (2y + 1) ↔ 3x = 2y + thay vào (2) ta được: x3 + 3x2 + 3x - 1= « ( x +1) = ô x =- 1+ đ y = æ Vậy nghiệm hệ phương trình ( x;y) = ççç- 1+ 2; ç è ( ) - + 33 2 - + 33 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø ( )  y y + 3x2 = x x +   x y − x + − x + = 4038 2019 Bài tập Giải hệ phương trình: ( ) ( 1) ( 2) Hướng dẫn: Điều kiện y − x + ≥ (*) Từ phương trình (1) → y ³ Ta nhận thấy x = ® y = khơng là nghiệm hệ phng trinh Xet x Phng trinh (1) ô ổ ử3 ổ 2yữ 2yữ ỗ ỗ + =x +3x ( 3) ữ ữ ỗ ỗ ỗ çx ÷ èx ÷ ø è ø f (t) = t + 3t f '(t) = 3t +3>0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng t ∈ R Xét hàm số với , biến và liên tục R 2y  2y  f  ÷ = f (x) ↔ = x ↔ 2y = x  x x Từ (3) thay vào (2) ta được: 2019 x ( ) x − x + − x + = 4038 ↔ 2019 x   Đặt u = x - 1phương trình (4) « Xét hàm số g( u) = 2019u+1 ( ( 2019u+1 ) u2 + - u ( x − 1) + − ( x − 1)  =4038 ) u2 + - u = 4038 (4) (5) R ỉ ư u ữ ữ ỗ ữ ữ Do ln2019 > 2, - 1< < 1ữ 1ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ÷ ÷ è ø ø u2 + æ u ç ln2019 + ç ç è u2 + u+1ç g'( u) = 2019 → Hàm số đồng biến và liên tục R Ta thấy u=0 là nghiệm phương trình (5) « x=1 → Vậy nghiệm hệ phương trình y= thỏa mãn (*) æ 1ử ( x;y) = ỗỗỗ1; ữ ữ ữ ố 2ứ ( )( ) ìï ïï x + x2 +1 y - + y2 - 4y + = ( 1) í ïï x + y2 + 2x + y + - = ( 2) Bài tập Giải hệ phương trình: ïïỵ Hướng dẫn: Điều kiện x + y + ≥ (*) 2 Ta nhận thấy x < x +1 ® x +1 ± x > Phương trình (1) « 2 y - + ( y - 2) + = ( - 2x) + ( - 2x) + f '(t) = + Xét hàm số f (t) = t + t + với t ∈ R , t t2 + (3) >0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng biến và liên tục R Từ (3) f ( y − 2) = f ( −2x) ↔ y − = −2x thay vào (2) ta được: é x = 0® y = ê 5x - 8x = « ê - êx = ® y = ê thỏa mãn (*) ë Vậy nghiệm hệ phương trình ( x;y) = ( 0;1) ổ 6ử ( x;y) = ỗỗỗ ;- ữ ữ ÷ è5 5ø  x - y3 + 3y - 3x - =0  x + − x - 2 y − y +1=0   Bài tập Giải hệ phương trình: ( 1) ( 2)  −1 ≤ x ≤  Hướng dẫn: Điều kiện  ≤ y ≤ ( *) x3 - 3x = ( y - 1) - 3( y - 1) « Phương trình (1) (3) f '(t) = 3t - 0 ∀t ∈ R → Hàm số nghịch biến và liên tục R Từ (3) f ( x + y ) = f (2x) ↔ x + y = 2x ↔ x = y thay vào (2) ta được: x - x +2- 2= Điều kiện x ³ - ìï x2 = u + ( 4) ï í ï u = x + ( 5) u = x + u ³ Đặt (*) Ta được ïïỵ Trừ vế với vế ta được ( x - u) ( x + u +1) = + Với x=y thay vào (4) ta được x =u =2 x = u = ® x = y = là nghiệm + Với x+y+1=0 thay vào (4) ta được Vậy nghiệm hệ phương trình Bài tập Cho hệ phương trình: ® x= y= - 1- là nghiệm æ - 1- - 1- 5ư ÷ ÷ ; ÷ ÷ ç 2 è ø ( x;y) = ( 2;2) ;ỗỗỗ ổ ùỡù 1+ + 2y + y2 ÷ = ( 1) ÷ ïï x(2 + x + 3) +( 2y + 2) ỗ ç ÷ ç è ø ïí ïï x- ïï ( x - 2) ( 5+ y) + x - + 5+ y = + x +1 ( 2) ïỵ n Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x1;y1) , ( x2;y2) ( xn;yn ) A 10 17 C B 15 Hướng dẫn: Điều kiện ≤ x ≤ (*) Phương trình(1) ( ( ) ↔ x + x + = [ − (y + 1)] + ( ) f (t) = t + t + ∀ t ∈ R k=1 26 D [ −(y + 1)] + f '(t) = + t + + Xét hàm số , → Hàm số đồng biến R T = å xk ) (3) t2 t +3 >0 ∀t ∈ R Từ (3) f (x) = f ( − y − 1) ↔ x = − y − ↔ y = − x − Thay vào (2) ta được ( x − 2) ( − x ) + x−2 + 4− x = Đặt t = x − + − x điều kiện t2 − ↔ +t = Phương trình (1) ( ) x −1 + x +1 2 ≤ t ≤ (**) x +1 − + x +1 (2) k2 − g(k) ↔ + k ∀k ∈[ 2; 4] g '(k) = k + > ∀k ∈[ 2; ] → , Hàm số g(k) đồng biến ↔ [ 2; 4] Từ (2) ta có g(t) = g( x + 1) ↔ t = x + 26  11  ↔ x = 3;  ® T = å xk = 5 x +1 = x − + − x  k=1 Chọn (D) ( )( ) ìï ïï x + x2 +1 y - 3+ y2 - 6y +13 = 2( 1) í ïï x + 2y + 3y2- = ( 2) Bài tập 10 Hệ phương trình: ïïỵ Có nghiệm? A.1 B.2 C.3 D.4 x2 +1 > x ≥ x → x2 +1 > x ↔ x2 +1 − x > Hướng dẫn: Do Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với x + − x ta được ( −2x ) + ( −2x ) + = y − + ( y − 3) + Xét hàm số f (t) = t + t + , ∀t ∈ R Ta có Do t + > t → −1 < t t +4 < → 1+ t t +4 >0 f '(t) = + (3) t t +4 >0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng biến [ -1;+∞ ) Từ phương trình (3) ta có f (y − 3) = f ( −2x) ↔ y − = −2x 9 Thay y − = −2x vào (2) ta được 11y + 2y - 13 = phương trình có nghiêm nên hệ phương trình có nghiệm chọn (B) Nhận xét: Trong 10 bài tập đã cho hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán góc nhận biêt, thơng hiểu như: Từ phương trình hệ có chuyển phương trình đơn giản được khơng, có phân tích nhân tử được khơng … Tiếp theo ta thấy có phương trình hệ dùng phương pháp hàm số để giải đưa mối quan hệ x và y sau vào phương trình lại để được phương trình ẩn để giải… Bài tập Giải hệ phương trình sau ìï ( 2x + 2) 2x +1 +( y - 3) 2- y = ï í ï 8x + - ( 2- y) 2- y = 1/ ïïỵ ( ) ìï 4x2 +1 x +( y - 3) 5- y = ïï í ïï 2 2/ ïỵ 4x + y + 3- 4x = ìï 2( 2x +1) + 2x +1= ( 2y - 3) y - ï í ï 4x + - 2y + = 3/ ïïỵ ìï x5 + x.y4 = y10 + y6 ïï í ï 4x + + y2 + =6 4/ ïïỵ ìï x6 - y3 + x2 - 9y2 - 30 = 28y ï í ï 5/ ïỵ 2x + + x = y B/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn dùng phương pháp hàm số để giải 10 10 Cho hàm số y = f (x) đồng biến ( nghịch biến) và liên tục tập D nếu tồn tại x ∈ D cho f (x ) = thì D phương trình f (x) = có nghiệm x = x ìï x2 + y3 - xy2 - ( y + 6) x + 6y = ( 1) ï í4 ï 4- x + y - = (2) Bài tập 11 Giải hệ phương trình: ïỵ x ≤  Hướng dẫn: Điều kiện  y ≥ ( *) éx = y x - y + y +6 x + y y +6 = 0« ê êx = y2 + 6( VN do(*)) ê ë « Phương trình (1) ( Thay vào (2) ta được ) ( ) x − + 4− x = 4 Điều kiện ≤ x ≤ Xét hàm số f (x) = x − + − x f '(x) = Ta có 4 ( x − 2) Bảng biến thiên: − [ 2;4] 4 ( − x) x , f '(x) = ↔ x = + y’ - y Ta có liên tục f ( 3) = → x =3 là nghiệm phương trình f ( x ) = Với x=3 → y=3 thỏa mãn (*) Vậy nghiệm hệ phương trình ( x;y) = ( 3;3) ìï x3- 6y3+ 4xy2+x2y =0 ( 1) ïï í ï x2+15 =3y - + y2+8 (2) Bài tập 12 Giải hệ phương trình: ïïỵ 11 11 Hướng dẫn:Ta thấy y =0 không là nghiệm hệ phương trình Xét y ¹ chia hai vế phương trình (1) cho y ta được ổx ổxử x x ữ ữ ỗ +ỗ +4 - =0 ô = 1ô x = y ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ốyứ ữ y y èyø thay vào (2) ta được x +15 =3x-2+ x +8 ↔ 3x - + x +8 2 Xét hàm số: f (x) = 3x − + x + − x + 15 f '( x) = + x x +8 − x x + 15 > ∀x ∈ R x +15=0 (3) liên tục R → Hàm số đồng biến và liên tục R x;y) = ( 1;1) Ta có f ( 1) = ↔ x = → y =1 Vậy nghiệm hệ phương trình ( ìï 7x3 - 3x2y - 3xy2 - y3 = (1) ïï í ï x +3 + y2 + + y2- =0 (2) Bài tập 13 Giải hệ phương trinh: ùùợ 3 ô x + y) = ( 2x) « x + y = 2x « x = y Hướng dẫn: Phương trình (1) ( Thay vào (2) ta được x2+3 + x2 + + x2- =0 Xét hàm số f (t) = t+3 + t + + t - =0 f '(t) = (3) t³ 1 + + 1>0 " t ³ t+3 t + ® Hàm số đồng biến và liên tục [ 0;+¥ ) Ta có f (t) = « t = Từ (3) « x = 1« x = ±1… x;y) = ( 1;1) ,( - 1;- 1) Vậy nghiệm hệ phương trình (  x − y + 3x − y = x + x ( 1)  x + y + x + = ( x + 8) y + ( ) Bài tập 14 Giải hệ phương trình:  ïìï 2x - y ³ ïï ï 3x - y ³ í ïï x ³ ïï Hướng dẫn: Điều kiện ïỵ y + ³ 12 12 Phương trình (1) « x +( x - y) + 2x +( x - y) = x + 2x (3) Xét x > y « x - y > từ phương trình (3) vế trái lớn vế phải Xét x < y « x - y < từ phương trình (3) vế trái nhỏ vế phải Xét x=y vế trái vế phải Vậy x=y thay vào (2) x + 3x + 4x + = ( x + 8) x + (1) Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −7 (*) ↔ ( x + 1) + x + = Phương trình (1) ( ) x+7 + x+7 (2) Xét hàm số f (t) = t + t t ∈ R , f '(t) = 3t +1>0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng biến R  x ≥ −1 f (x + 1) = f ( x + 7) ↔ x + = x + ↔   x + x − = ↔ x = ® y=2 là nghiệm Từ (2) phương trình Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y)=(2;2) Bài tập 15 Giải hệ phương trình:  x + 2x y +12xy - 40y3 =0   x − x3 + y −  x = y3 − 2x2 + y  ( 1) ( 2) x ≥ (*)  8y − 2x + 4y ≠  Hướng dẫn: Điều kiện (*) Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình  x  x  x + +3 - 5=0  y ÷  y ÷  y ÷    y ¹ 8y Xét chia hai vế (1) cho ta được x =1 « 2y « x = 2y thay vào (2) ta được ↔ Phương trình (3) 13 x − 2x + 2x − x= x − 2x + 2x (3) x + 1) ( x − 1) ( x= ↔ x ( x − 1) + 1 (   ( x ) = ( x-1) x ) + ( x − 1) + 3 (4) 13 Xét f (t) = t f '(t) = ( ) 3t t + − 2t.t t +1 , ( ) t2 +1 = t + 3t ( ) t2 +1 ≥0 → hàm số đồng biến R Từ phương trình (4) ta có f x ≥ 3+ 3+ x = f ( x − 1) ↔ x = x − ↔  ↔x= →y= x − x −1 = ( ) Vậy nghiệm hệ phương trình là  3+ 3+ 5 ; ÷   ( x; y) =  ( )  x - y − − y x - y y -3y=0   y2 − y − y +1  x +1 = 2x +1 − Bài tập 16 Cho hệ phương trình:  ( 1) ( 2) Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm ( x1;y1) , ( x2;y2) và M ( x1;y1) , N ( x2;y2) MN bằng? A B + 10 C.3 D.4 Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −1, x ≠ 13, y ≥ (*) ìï x = y ïí ï x =- 3Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được ïỵ Với x=y thay vào (2) ta được y ( loai do(*)) x − x − 2x + x +1 = 2x + − x2 − x − (x + 2)( x + − 2) ↔ x +1 + = ⇔1= 2x + − 2x + − ↔ 2x + + 2x + = ( ) x +1 + x +1 (2) Xét f (t) = t +t t ∈ R , f '(t) = 3t +1>0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng biến R Từ phương trình (2) ta có 14 f ( ) ( 2x + = f ) x + ↔ 2x + = x + 14 ↔ x = 0; x = Vậy 1+ 1+ 1+ x = ® y = 0, x= ® y= là nghiệm cần tìm Với 2 æ 1+ 1+ M ( 0;0) , N ỗỗỗ ; ỗố 2 Bi 17 5ữ + 10 ữ đ MN = ÷ ÷ ø Chọn (B)  x - ( y − 4) x - 4y=0 ( 1) 4 + x + − y = + ( 2) Cho hệ phương trình:  x ;y , x ;y M x ;y , N ( x2;y2) Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm ( 1) ( 2) và ( 1) trung điểm MN có tọa độ là? A.(0;0) B.(1;2) C.(3;-1) D.(2;-3) Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −3, y ≤ (*) ìï x = y ïí ï x =- 4( loai do(*)) Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được ïỵ Với x=y thay vào (2) ta được + x + − x = 1+ 4 Điều kiện −3 ≤ x ≤ Hàm số f (x) = x + + − x là hàm chẵn [ −3;3] y' = ( + x) − ( − x) ∀x ∈[ 0;3) → hàm số nghịch biến [ 0;3] Ta có f ( 2) = + → x = là nghiệm y' = Xét −3 ≤ x < biến [ −3;0) Ta có ( + x) 0 ∀x ∈( −3;0) → hàm số đồng f ( −2 ) = + → x = - là nghiệm M - 2;- 2) , N ( 2;2) Với x =- ® y =- 2, x=2 ® y = Vậy ( ® Tọa độ trung điểm MN là (0;0) 15 Chọn (A) 15  x + x y + xy - 3y3 = ( 1)  x + x + − y − y + = + ( 2)   Bài tập 18 Hệ phương trình: nghiệm? A.0 B.1 C.2 có D.3 Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình  x  x  x + +  ÷  ÷  y ÷ - 3=0  y   y   y ¹ y Xét chia hai vế (1) cho ta được x =1 y « « x = y thay vào (2) ta được x2 + x + − x2 − x + = + 2 Xét hàm số f (x) = x + x + − x − x + f '(x) = 2x + x2 + x +1 g(t) = Xét t t +3 − 2x − x2 − x +1 g '(t) = t ∈R , ∀x ∈ R 2x + = ( 2x + 1) + 3 (t + 3) t + − >0 t ∈ R 2x − ( 2x − 1) + → g(t) là hàm số đồng biến R 2x + > 2x − ↔ Ta có 2x + ( 2x + 1) + > 2x − ( 2x − 1) + → f '(x) > ∀x ∈ R nên f(x) đồng biến R Ta có f(1)= 3+1 ↔ x =1 → y=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) =(1;1) ( Chọn (B) )  x - y − − y x - 2y - y y =0 ( 1)    y − + x ( y − y + 3) = y + + x + ( 2) Bài tập 19 Cho hệ phương trình: Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0;y0 ) T = x0 + 4y0 thuộc khoảng nào khoảng sau? A.( 10;12) B.( 12;14) C.( 14;16) D.( 16;18) Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ 0, y ≥ (*) 16 16 ìï x = y ïí ï x =- 2Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được ïỵ y ( loai do(*)) x − + x(x − 3x + 3) = 2x + + 2x + (3) Với x=y thay vào (2) ta được Phương trình (3) ↔ Xét ( x − 1) + = x + + x −1+ f (t) = t + t + ∀t ∈[ -1;+∞ ) f '(t) = + , 3t 2 t +1 ( ) 2x + + (4) >0 → Hàm số đồng biến [ -1;+∞ ) 3 Từ (4) f (x − 1) = f ( 2x + 2) ↔ x − = 2x + ↔ x = ® y = Vậy nghiệm hệ phương trình là ( x0;y0) = ( 3;3) đ T = 15 ẻ ( 14;16) Chọn (C)  x y − 2x + y = (1)  Bài tập 20 Giải hệ phương trình:  2x + 3x + 6y − 12x + 13 = (2) ↔ y2 = Hướng dẫn: Phương trình (1)  x≥0 2x → (*) x +  −1 ≤ y ≤ Phương trình (2) ↔ 6y = 2x + 3x − 12x + 13 (3) Xét hàm số f ( x) = x + x − 12 x + 13 với −1 ≤ x ≤ ta có bảng biến thiên x - f’(x) f(x) -1 26 17 17 Phương trình (3) có ìïï - £ VT £ í ïïỵ £ VP £ 26 phương trình (3) « VT = VP = « x = y = Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y)=(6;6)  x − y + x − y = x + x  2  y +6y +1 - y =2 1- x Bài tập 21 Giải phương trình )( ( ) ( 1) ( 2) ìï 3x - y ³ ïï ïï 7x - y ³ í ïï x ³ ïï Hướng dẫn: Điều kiện ïïỵ 1- x ³ (*) Phương trình (1) « 2x +( x - y) + 6x +( x - y) = 2x + 6x (3) Xét x > y « x - y > từ phương trình (3) vế trái lớn vế phải Xét x < y « x - y < từ phương trình (3) vế trái nhỏ vế phải Xét x=y vế trái vế phải ( x +6x +1) ( - x ) =2 Vậy x=y thay vào (2) 2 1- x (4) Giải phương trình (4) Điều kiện −1 ≤ x ≤ x + 6x + = Phương trình (4) ↔ 0≤ Ta thấy vế phải có bảng biến thiên − x2 1+ ( ) 1− x x -1 y 1+ ( 1− x ) (5) ≤1 Xét hàm số y = x + x + với −1 ≤ x ≤ ta - y’ 18 − x2 + 18  x3 + x + =  ↔ x = 0→ y =  − x2 =1  2 − x  ↔ Phương trình là nghiệm cần tìm Vậy (x;y)=(0;0) 2x + x y + xy - 4y = ( 1)  x + y + y x − y − x − = ( 2)   Bài tập 22 Giải hệ phương trình: ) ( Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình  x  x  x + + - 4=0  y ÷  y ÷  y ÷    Xét y ¹ chia hai vế (1) cho y ta được x =1 x4 + x3 + x2 x = y y « « thay vào (2) ta được ( ) x − x − x − = (3) Ta thấy x=0 không là nghiệm phương trình (3) Xét x>0 chia hai vế phương trình (3) cho x x ta được: x3 + x + x = + ( x) ( x) + x Xét f (t) = t +t +t ∀t ∈ R , f '(t) = 3t +2t+1>0 ∀t ∈ R → Hàm số đồng biến R   f (x) = f  ↔ x = → y = ÷   x Từ phương trình (2) ta có Vậy nghiệm hệ phương trình là (x;y)=(1;1) Nhận xét: Trong 12 bài tập đã cho hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán góc nhận biêt, thơng hiểu như: 19 19 Có biến đổi phương trình hệ phương trình tìm mối liên hệ x,y có phân tích nhân tử được khơng … đã có mối quan hệ x và y ta thay vào phương trình lại hệ và dùng hàm số để giải Cách “Hệ phương trình sử dụng hàm số để giải” Bước 1: Xây dựng phương trình hai ẩn để mối quan hệ x và y sử dụng éx = u( y) ùx + u( y) v( y) = « ê x2 - é u y + v y ( ) ( ) ë û êx = v( y) ë 1/ Viét đảo 2 2/ Đẳng cấp ví dụ a.u ( x) + b.u ( x) v( y) + c.u( x) v ( y) + d.v ( y) = 3/ Đánh giá được mối quan hệ x và y Bước 2: Xây dựng phương trình hai ẩn để thay mối quan hệ x và y sử dụng bước thay vào được phương trình ẩn sử dụng hàm số 1/ 2/ 4/ x + αx = ax + b ( ax + b + α ) α >0 ( x + βx + αx = ax + b ax + b + β ax + b + α ( ax α + ( ax ) + β ) = ±bx ( α + ( bx ) + β ) ) với y = x + βx + αx ( y = ax α + ( ax ) + β ) là hàm số đồng biến nghịch biến R 5/ 6/ ax + b + ( ax + b) + α = cx + d + ( cx + d ) + α ax + b + ax + b + α = cx + d + cx + d + α với ac>0 Bước 3: 20 20 Với phương trình đã lập bước ta giải bài toán này cách biến đổi theo chiều xi kiểm tra tính xác, mức độ đề để điều chỉnh và kết thúc đề Bài tập Giải hệ phương trình sau ( ) ( ) ìï x2 - y - y - x - y y + = ïï í ïï x3 + y = y + x + ( ) 1/ ïỵ ìï x3 + x2y + xy2 - 3y3 = ïï í ïï x + x2 + 2y +1+ y2 + y +1 =3 2/ ïỵ ( )( ) ìï x3 - 2y +1= ï í ï ( 3- x) 2- x - 2y 2y - = 3/ ïïỵ ìï x11 + xy10 = y22 + y12 ïï í ïï 7y +13x + = 2y4.3 x 3x2 + 3y2 - 4/ ïỵ ( ) ìï y3 + y = x3 + 3x2 + 4x + ïï í ï 1- x2 - y = 2- y - 5/ ïïỵ 7.1.2 Danh mục tài liệu tham khảo: [1] Đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi THPT quốc gia mơn Tốn [2] Đề thi HSG Tốn 12 Tỉnh Vĩnh Phúc [3] Sách giáo khoa Bài tập giải tích 12 nâng cao Nxb.Giáo dục [4] Các đề thi thử ĐH khối chuyên ĐHSP Hà Nội 7.2 Khả áp dụng sáng kiến: SKKN này đã được áp dụng cho học sinh 12, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 21 21 SKKN này đã được áp dụng cho giáo viên: Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên cách bài tập hệ phương trình vô tỷ sử dụng hàm số Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12 sau học tính đơn điệu hàm số, bồi dưỡng học sinh giỏi, kiến thức áp dụng thi THPT quốc gia theo lộ trình Tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng thường xuyên 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến có thể thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: - So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu áp dụng giải pháp đơn so với trường hợp khơng áp dụng giải pháp đó, so với giải pháp tương tự biết sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu kinh tế, lợi ích xã hội cao khắc phục đến mức độ nhược điểm giải pháp biết trước - giải pháp cải tiến giải pháp biết trước đó); - Số tiền làm lợi (nếu tính được) nêu cách tính cụ thể 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến có thể thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Đề tài này đã được tác giả dạy cho học sinh lớp 12 lớp đầu cao, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia năm học trước Giúp học sinh làm tốt bài tốn giải phương trình vơ tỷ sử dụng phương pháp hàm số Sáng kiến kinh nghiệm này là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên và học sinh Độc giả quan tâm bổ sung thêm làm cho tài liệu thêm phong phú và hấp dẫn 22 22 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến có thể thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ Địa TT chức/cá nhân ., ngày… tháng năm Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Bình Xuyên, ngày 18.tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Lê Văn Vượng 23 23 ... “ Cách hệ phương trình sử dụng hàm số ” Giáo viên đề Tên sáng kiến: ? ?Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình? ?? Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng... Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài tốn có hướng giải sau: a/ Từ phương trình hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y vào phương trình lại để giải phương. .. dung: NỘI DUNG ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f (x) đồng biến ( nghịch biến) và liên tục tập D: 1/ Nếu tồn x ∈ D cho f (x ) = thì D phương trình