Sử dụng phương pháp hàm số vào giải hệ phương trình

Câu1. (3,0 điểm) Cho hàm số 2 f x 2mx x 2x 2m( ) ,= + + với mlà tham số. Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. Câu 2. (3,0 điểm) Cho đờng tròn (C) có phơng trình: x 2 + y 2 2x 6y + 1 = 0 và A(1; 6) thuộc (C). Lập phơng trình đờng tròn đi qua M(2; -1) và tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A. Câu 3. (3,0 điểm) Giải phơng trình sin2x cosx = 1 + log 2 sinx ; với x 0 2 ( ; ) . Câu 4. (3,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y): 2 2 mx 2y m x y 2mx y 0 > + + = Câu 5. (2,0 điểm) Giả sử hàm số [ ] [ ] f 0 1 0 1: ; ; liên tục có đạo hàm trên khoảng (0;1), ngoài ra f(0) = 0, f(1) =1. Chứng minh rằng tồn tại a, b 0 1( ; ) sao cho a b và f(a)f(b)=1. Câu 6. (3,0 điểm) Với mọi x,y 0. Chứng minh rằng: 8 8 6 2 2 6 5 3 4 4 3 5 2 0+ + + + x y x y x y x y x y x y Câu 7. (3điểm) Cho a, b là các số dơng. Chứng minh: b a 1 a 1 e a 1 b 1( )ln( ) ( )( )+ + + + + Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Sở giáo dục - đào tạo Thái bình ***** đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THpt Năm học 2007-2008 Môn: toán Thời gian làm 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đáp án và biểu điểm Câu1(3đ) *)( 0,75đ) Điều kiện cần để hàm số nghịch biến trên R là hàm số phải xác định trên R hay bất phơng trình 2 x 2x 2m 0+ + (1) phải đúng với mọi x 1 1 2m 0 m 2 *) Điều kiện đủ: Xét 1 m 2 với hai trờng hợp sau: TH1: (0,75) Nếu 1 m 2 = thì 2 f x x x 2x 1( ) = + + 2x 1 R f x x x 1 f x với x> -1 1 với x 1 Do đó f(x) không nghịch biến với mọi x (loại) ( ) ( ) = + = TH2: (1) Nếu m > 1/2 thì 2 x 2x 2m 0 x R+ + > . Vậy x R ta có 2 x 1 2m x 2x 2m x 1 f x 2m f x 2 2 x 2x 2m x 2x 2m ( ) '( ) '( ) + + + + = = + + + + Do đó bất phơng trình f(x) < 0 2 2m x 2x 2m x 1 0( ) + + + < 2 2m x 2x 2m x 1 0 2( ) ( ) + + + + > Vì 1 m 2m 1 2 > > và 2 2 x 2x 2m x 2x 1 x 1 0+ + > + + = + 2 2m x 2x 2m x 1 x 1 x 1 0( ) + + + + > + + + (0,5) Vậy (2) đúng với mọi x hay f(x) < 0 đúng x khi m >1/2 KL: m >1/2. Câu2. (3điểm) *)(1) Đờng tròn (C) có tâm I(1;3). Gọi I là tâm của đờng tròn (C) tiếp xúc với (C) tại A(1;6) và đi qua M(2;-1) I thuộc đờng thẳng IA. Mà IA 0 3( ; )= uur ; vậy ta chọn n 0 1( ; )= r là véc tơ pháp tuyến của IA phơng trình đờng thẳng IA là x-1=0. *) (1) Mặt khác (C) qua A và M nên I thuộc đờng trung trực của đoạn AM Gọi J là trung điểm của AM 3 5 J 2 2 ( ; ) và AM uuuur =(1; - 7) Phơng trình đờng trung trực của đoạn AM là 3 5 x 7 y 0 x 7y 16 0 2 2 = + = ữ ữ *) (1) Vậy toạ độ I là nghiệm của hệ: x 1 x 1 0 17 I 1 17 x 7y 16 0 7 y 7 ; = = ữ + = = (C ) có bán kính là 2 24 25 r I M 1 7 7 ' = = + = ữ *) Phơng trình đờng tròn là 2 17 625 y 7 49 2 (x-1) + = ữ 2 C 1 2x c 0 1 t t v 0 1 ta c 1 0 t 0 1 2 2 âu 3. *)( đ) x 0; sinx,cosx>0 2 Phương trình log s in2x sin log osx - cosx *) (1đ) x 0; s in2x ( ; ], cosx (0;1) 2 Xét hàm số f(t)=log , ới t ( ; ) ó 1 f'(t)= ( ; ) f( t.ln2 ữ = ữ > t) đồng biến. *) (1đ) Mà phương trình có dạng f(sin2x)=f(cosx) sin2x=cosx sinx=1/2 x= . 6 2 2 2 2 C y 2mx y 0 x m y 1 2 m 1 4 2 âu 4(3 điểm). *) (2đ) Xét phương trình x ( ) ( / ) / (1) Bất phương trình: mx-2y > m mx-2y-m > 0 (2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta có (1) là phương trình đường tròn tâm I(m;- + + = + + = + 2 m 1 4 m 2 2 1/2); bán kính R mà R / . : ( ) là tập hợp các điểm M(x;y) thuộc nửa mặt phẳng (D) có bờ là đường thẳng (d):mx-2y-m=0 ((D) nằm phía trên (d) Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi đường tròn (I,R) và = + 2 1 2y m m 1 m 0 1 1 1 miền (D) có điểm chung *)(1đ) Gọi I(x ;y ) ta có : mx ,đúng với mọi m. vậy tâm I của đường tròn luôn thuộc miền (D). Do đó đường tròn (I,R) luôn có điểm chung với (D). Hệ có nghiệm với m = + > ọi m Câu5: *) (1đ) Giả sử hàm số f(x) thoả mãn điều kiện bài toán. Xét hàm số g(x)=f(x)+x-1 xác định trên đoạn [0;1]. Vì hàm số này liên tục (do f(x) liên tục), hơn nữa g(0)=-1, g(1)=1, nên tồn tại f 1 f c f b 1 c f a f b 1 a (0;c), b (c;1) để: f(c)-f(0) ( ) ( ) *)(1đ) f'(a)= , '( ) c '( ) '( ) = = Câu 6: (3đ) *) (1) Đặt ; |t| 2. x y t y x = + 2 2 2 2 2 2 x y t y x + = do đó 4 4 4 2 4 4 2 4 4 x y t t y x + + = + 4 2 2 4 2 ( ) 4 2 ( 2) = t 5 4 A f t t t t t t t = = + + + + *)(1) Có : 3 2 '( ) 4 10 1 "( ) 12 10 f t t t f t t = + = Vì | | 2 "( ) 0 '( )t f t f t > đồng biến nên: 2 '( ) '(2) 0 2 '( ) '( 2) 0 t f t f t f t f > > > < < < *) (1)Lập bảng biến thiên ta đợc MinA=Min ( )f t =- 2 với |t| 2 khi t=-2 hay x=-y Vậy 4 4 2 2 4 4 2 2 2 + + + + ữ x y x y x y y x y x y x đợc chứng minh. b c c c b c b c C c e e b 1 e c b e e 1 c x 0 5 N e e e c b c c x x âu7.(3đ) *) (1đ) Đặt c=ln(a+1) c>0 và a+1=e Bđt của đề bài e . ( ) ( ) ( ). xét hàm số f(x)=e , ó f'(x)=e *)( , đ) ếu c=b thì (1) đúng. ( ) *) (1đ) Nếu c>b ta có (1) + + c b t t e e 2 e 3 c b m e 4 c ( ) ( ). Theo định lý Lagăng tồn tại t (a;c) để: ( ), à c>t>b e ( ) . Từ (3) và (4) suy ra (2) đúng. Vậy (1) đúng. *)(0,5đ) Tương tự với b>c. Vậy (1) được chứng minh. Dấu bằng xảy r = > a khi c=b hay b=ln(a+1). Ngời thẩm định Ngời soạn đề GV: Vũ Văn Cẩn Hiệu trởng ký duyệt . điểm) Cho hàm số 2 f x 2mx x 2x 2m( ) ,= + + với mlà tham số. Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. Câu 2. (3,0 điểm) Cho đờng tròn (C) có phơng trình: . tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y): 2 2 mx 2y m x y 2mx y 0 > + + = Câu 5. (2,0 điểm) Giả sử hàm số [ ] [ ] f 0 1 0 1: ; ; liên tục có đạo hàm